小波去噪算法在含噪盲源分離中的應(yīng)用*

吳 微 彭 華 王 彬

(解放軍信息工程大學(xué)信息系統(tǒng)工程學(xué)院，鄭州，450002)

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小波去噪算法在含噪盲源分離中的應(yīng)用*

吳 微 彭 華 王 彬

(解放軍信息工程大學(xué)信息系統(tǒng)工程學(xué)院，鄭州，450002)

無噪模型下的盲源分離算法在信噪比較低的情況下并不適用。針對該情況一種解決方案就是先對含有高斯白噪聲的混合信號進(jìn)行去噪預(yù)處理，然后使用盲源分離算法進(jìn)行分離。為此，本文提出了一種適用于信噪比較低條件下的基于平移不變量的小波去噪算法。該算法首先使用高頻系數(shù)滑動窗口法準(zhǔn)確估計(jì)含噪混合信號的噪聲方差，然后使用Bayesshrink閾值估計(jì)算法得到更加合理的閾值，最后在不降低去噪效果的同時縮小了平移不變量的范圍，減少了運(yùn)算量。實(shí)驗(yàn)仿真表明，在信噪比較低的情況下，與傳統(tǒng)小波去噪算法相比，該算法可以更加有效地去除噪聲，在很大程度上提升盲源分離算法的性能。

小波閾值收縮算法；平移不變量；含噪盲源分離；貝葉斯收縮算法

引 言

盲源分離(Blind sources separation，BSS)是指在多個源的傳輸過程中，不知源信號和傳輸通道參數(shù)的情況下，僅根據(jù)輸入源信號的統(tǒng)計(jì)特性，由若干個觀測信號恢復(fù)出源信號的過程。由于無噪條件下的BSS估計(jì)問題本身已相當(dāng)困難[1]，因此很多BSS算法的研究都是在不含噪聲的條件下進(jìn)行的，如廣泛使用的快速獨(dú)立分量分析(Fast independent component analysis，F(xiàn)astICA)[1]和穩(wěn)健獨(dú)立分量分析(Robust independent component analysis，RobustICA)[2]等算法。含噪情況下，若信噪比(Signal to noise ratio，SNR)較高，雖然分離后信號的質(zhì)量有所下降，但這些算法仍然有效。但在信噪比較低的情況下這些算法的分離性能會急劇惡化，甚至完全分離失敗，此時已有的無噪BSS算法并不適用。

為了解決含噪盲源分離問題，最直接有效的方法就是對含噪觀測信號進(jìn)行去噪預(yù)處理。目前，去噪方法主要有小波去噪、卡爾曼濾波去噪、粒子濾波去噪和曲線閾值去噪等等。對于盲源分離問題而言，幾乎無法獲得關(guān)于原始信號的任何先驗(yàn)信息，因此也無法建立準(zhǔn)確的信號模型。而基于小波理論[3-4]的小波去噪算法模型簡單，幾乎不需要含噪信號的任何先驗(yàn)信息，且小波變換具備良好的時頻特性，在去噪領(lǐng)域中也受到了許多學(xué)者的重視，并應(yīng)用小波去噪獲得了非常好的效果[5-7]，因此將小波去噪作為含噪盲源分離中去噪預(yù)處理方法是十分合適的。然而，小波去噪在信噪比較高時去噪效果較為理想，但在信噪比較低時則會出現(xiàn)較大的偏差。本文主要針對信噪比比較低(0 dB≤SNR≤15 dB)情況下的小波去噪算法進(jìn)行了深入研究，提出了一種適用于該信噪比區(qū)間的小波去噪算法，并將其應(yīng)用于含噪盲源分離，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法能夠有效去除噪聲，顯著提升BSS算法的性能。

1 含噪盲源分離概述

1.1 含噪盲源分離模型

含有噪聲的盲源分離模型可以描述為

(1)

1.2 含噪盲源分離問題解決方案

文獻(xiàn)[8]提出了一種基于小波變換的含噪盲源分離解決方案如圖1所示。該方法的思路就是將較為復(fù)雜的含噪分離問題通過小波去噪預(yù)處理轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的無噪分離問題，從而使問題得到簡化。文中主要在去噪預(yù)處理部分使用了小波閾值收縮算法，并假設(shè)噪聲方差已知，閾值為極小化斯坦無偏風(fēng)險估計(jì)(Stein′s unbiased risk estimate,SURE)準(zhǔn)則。然而，在盲源分離問題中噪聲方差通常是無法獲得的，并且該文獻(xiàn)中沒有對小波閾值收縮算法中的參數(shù)針對信噪比較低這一條件進(jìn)行優(yōu)化。

圖1 基于小波去噪的含噪盲源分離解決方案[8]Fig．1 Solution of noisy BSS based on wavelet denoising[8]

本文提出了一種適用于信噪比較低條件下基于平移不變量的小波閾值收縮算法。該算法首先僅使用接收到的觀測信號對噪聲方差進(jìn)行估計(jì)，然后針對信噪比較低這個前提條件選擇合適的閾值估計(jì)方法、閾值函數(shù)以及循環(huán)平移范圍。在信噪比較低時，該算法較文獻(xiàn)[8]中的方法具有更好的去噪性能，能夠進(jìn)一步提升BSS算法的分離性能。

2 基于平移不變量小波去噪算法的改進(jìn)

本節(jié)首先使用含噪觀測信號對噪聲方差進(jìn)行估計(jì)，已有的噪聲方差估計(jì)算法缺乏穩(wěn)健性，本文提出了一種更加穩(wěn)健的噪聲方差估計(jì)算法；其次，對閾值和閾值函數(shù)這兩個要素在信噪比較低條件下對小波閾值收縮算法性能的影響進(jìn)行研究，進(jìn)而選擇合適的閾值估計(jì)方法和閾值函數(shù)；然后針對平移不變量方法中的循環(huán)平移量的范圍進(jìn)行研究，在運(yùn)算量和去噪效果中找到合適的平衡點(diǎn)。

2.1 噪聲方差估計(jì)的改進(jìn)算法

(2)

圖2 小波高頻系數(shù)對比示意圖Fig．2 Comparison of high frequercy coefficients of wavelet

由此，本文對文獻(xiàn)[9]提出的方法進(jìn)行了改進(jìn)，即在估計(jì)噪聲方差時不是簡單一次性使用所有高頻系數(shù)，而是在小波高頻系數(shù)上使用滑動窗口。具體算法描述如下。

(1) 確定初始窗口長度winit和滑動步長sinit。設(shè)小波高頻系數(shù)長度為L，則

(3)

式中[·]表示向下取整。

(5) 根據(jù)比值R和Comp2重新設(shè)置窗口長度wnew和滑動步長snew。比值R越大或者Comp2越小，窗口長度和滑動步長較初始值增加越多；反之，減小越多。

2.2 閾值和閾值函數(shù)

Donoho等提出了小波閾值收縮方法[9]，其主要理論依據(jù)是：小波變換特別是正交小波變換具有很強(qiáng)的去相關(guān)性，它能夠使信號的能量在小波域集中在一些大的小波系數(shù)上，而噪聲能量分布于整個小波域內(nèi)。對信號作小波分解后估計(jì)出合適的閾值，用閾值處理函數(shù)將信號的系數(shù)保留或收縮，而使大部分噪聲系數(shù)歸零，用處理后的小波系數(shù)重構(gòu)就得到去噪后的信號。

小波閾值收縮方法中的兩個基本要素是閾值和閾值函數(shù)。盡管閾值的選取有多種方法，但是并沒有一種方法針對任何情況都最優(yōu)，每種方法都有其自身的特點(diǎn)。統(tǒng)一閾值[9]計(jì)算簡單，但是其趨向于“過扼殺”小波系數(shù)，從而會導(dǎo)致較大的重建誤差。最大最小閾值由于基于悲觀決策的思想也會“過扼殺”系數(shù)。極小化SURE準(zhǔn)則[10]和廣義交叉驗(yàn)證法[11]在信噪比較高時可以獲得較為滿意的去噪效果，但是在信噪比較低時其估計(jì)得到的閾值則會由于過于“保守”而產(chǎn)生誤差，此外，這兩種方法的運(yùn)算量相對較大。文獻(xiàn)[12]已經(jīng)證明BayesShrink閾值能夠獲得接近于理想閾值的去噪效果。本文主要討論的是信噪比較低情況下的閾值選取，為此選擇BayesShrink閾值，該閾值算法可以在運(yùn)算量和去噪效果上均獲得滿意的結(jié)果。

在小波閾值收縮方法中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對小波系數(shù)的不同處理策略，主要分為以下3種：硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)和半軟閾值函數(shù)。一般來說，硬閾值方法可以很好地保留信號邊緣等局部特征，但會產(chǎn)生一些間斷點(diǎn)；軟閾值處理相對要平滑，但會造成一定的高頻信息損失。因此，很多學(xué)者對半軟閾值函數(shù)進(jìn)行了研究，通過參數(shù)的設(shè)置，使得閾值函數(shù)在軟閾值與硬閾值之間進(jìn)行很好的折中，達(dá)到更好的去噪效果。然而，由于高斯白噪聲污染了所有的小波系數(shù)，且貢獻(xiàn)相同，而在信噪比較低的情況下，噪聲能量較大，噪聲對所有小波系數(shù)的污染都很嚴(yán)重。由于軟閾值函數(shù)對每個小波系數(shù)都進(jìn)行了一定的收縮，因此更適合信噪比較低情況下的噪聲消除。

2.3 平移不變量小波去噪

小波去噪過程中會產(chǎn)生偽吉布斯現(xiàn)象，這是由于正交小波基不能從多尺度的角度很好地匹配信號的局部結(jié)構(gòu)特征，從而可能使小波變換后的信號產(chǎn)生劇烈振蕩的現(xiàn)象。為了有效地消除這種人為的振蕩現(xiàn)象，可以使用平移不變量小波去噪方法[13]，該方法是在小波閾值收縮法基礎(chǔ)上的改進(jìn)。

平移不變量小波去噪方法是指在一定的平移量范圍內(nèi)，對所獲得的原始信號進(jìn)行循環(huán)平移，對平移后信號作小波變換，再用軟或硬閾值對小波系數(shù)進(jìn)行處理，用小波逆變換重構(gòu)，得到去噪后的新信號，對信號作相反的循環(huán)平移，從而得到與原始信號同相位的信號。改變平移量，重復(fù)這一過程，對所獲結(jié)果求平均值。這一平均過程具有很好的去噪性能和光滑性，能很好地逼近真實(shí)信號。當(dāng)平移量的范圍是信號長度時稱為全平移-平移不變量小波去噪。

對于平移不變量小波去噪中的平移量范圍選取，選取范圍大，例如全平移-平移不變量小波去噪算法，可以很好地去除偽吉布斯現(xiàn)象，但是運(yùn)算量非常大；反之，選取范圍過小則不能很好去除偽吉布斯現(xiàn)象。因此，需要在運(yùn)算量和去噪效果之間進(jìn)行平衡。通過研究發(fā)現(xiàn)，隨著平移量的增加，去噪性能剛開始提升明顯，隨后很快趨于一個穩(wěn)定狀態(tài)，即當(dāng)平移量繼續(xù)增加時，其去噪效果幾乎沒有改變。實(shí)驗(yàn)表明，信號的采樣點(diǎn)為1 024時，平移量選取為16時可以獲得同全平移-平移不變量小波去噪算法相當(dāng)?shù)娜ピ胄Ч?/p>

2.4 一種適用于信噪比較低條件下的小波去噪算法

綜上所述，本文提出了一種針對信噪比較低情況下的基于平移不變量的小波去噪算法，算法描述如下。

(1) 對含噪信號進(jìn)行循環(huán)平移，最大平移量為16；

(2) 選定小波基函數(shù)和分解層數(shù)，對平移后的信號進(jìn)行小波變換；

(3) 使用小波閾值收縮算法去噪，其中閾值使用BayesShrink閾值，噪聲方差使用高頻系數(shù)滑動窗口法進(jìn)行估計(jì)，閾值函數(shù)使用軟閾值函數(shù)；

(4) 對去噪后的小波系數(shù)重構(gòu)，進(jìn)行小波反變換，得到重構(gòu)信號；

(5) 對重構(gòu)信號進(jìn)行反向平移，得到一個去噪后的信號；

(6) 判斷是否達(dá)到最大平移量，若沒有，重復(fù)步驟(1)～(5)；若已達(dá)到最大平移量，對得到的一組去噪后的信號進(jìn)行平均，即為最終的去噪信號。

3 實(shí)驗(yàn)仿真與性能分析

3.1 實(shí)驗(yàn)1

為了驗(yàn)證高頻系數(shù)滑動窗口法估計(jì)噪聲方差的穩(wěn)健性，對Matlab中的″heavy sine″，″quadchirp″和″doppler″3個信號分別使用高頻系數(shù)中值法和高頻系數(shù)滑動窗口法估計(jì)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，并同真實(shí)的噪聲標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行比較，信噪比從-4 dB以步長2 dB增加至28 dB，每個實(shí)驗(yàn)點(diǎn)重復(fù)試驗(yàn)100次，對結(jié)果進(jìn)行平均。得到的結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看出高頻系數(shù)滑動窗口法對于3個信號均可得到滿意的結(jié)果，因此使用高頻系數(shù)滑動窗口法估計(jì)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差更加穩(wěn)健。

圖3 使用不同方法估計(jì)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果比較Fig．3 Comparison of estimating noise standard deviation using different methods

3.2 實(shí)驗(yàn)2

為了更精確描述算法去噪性能的優(yōu)劣，這里使用信號均方誤差(Signal mean square error, SMSE)作為評判準(zhǔn)則，公式如下

(4)

本實(shí)驗(yàn)主要對統(tǒng)一閾值、極小化SURE準(zhǔn)則、啟發(fā)式閾值、最大最小閾值、廣義交叉驗(yàn)證法和BayesShrink閾值這幾種閾值估計(jì)算法在信噪比較低情況下的性能進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)信號取實(shí)驗(yàn)1中的3個信號，加入高斯白噪聲，使用小波閾值收縮算法進(jìn)行去噪，這里使用軟閾值函數(shù)對小波系數(shù)進(jìn)行處理。所選小波為″sym7″，小波變換層數(shù)為4。兩個信號的采樣點(diǎn)數(shù)為1 024，信噪比從0 dB以步長為1 dB增加到20 dB，每個實(shí)驗(yàn)點(diǎn)重復(fù)實(shí)驗(yàn)100次，對結(jié)果取平均，得到的結(jié)果如圖4所示。

圖4 使用不同閾值的去噪結(jié)果比較Fig．4 Comparison of denosing results using different thresholds

從圖4中可以看出，對“heavy sine”和“doppler”信號的去噪結(jié)果中，BayesShrink閾值在0 dB≤SNR≤15 dB區(qū)間中均可獲得較為滿意的結(jié)果。而對“quadchirp”信號來說，SURE準(zhǔn)則閾值和BayesShrink閾值均可獲得滿意結(jié)果，然而由于SURE準(zhǔn)則閾值的計(jì)算量較大，因此使用BayesShrink閾值更加合適。綜上所述，在信噪比較低的情況下，BayesShrink閾值是最佳選擇。

3.3 實(shí)驗(yàn)3

為了驗(yàn)證軟閾值函數(shù)選取的合理性，仍對實(shí)驗(yàn)1中的3個信號進(jìn)行去噪實(shí)驗(yàn)，使用BayesShrink閾值算法估計(jì)閾值，分別使用軟閾值函數(shù)、硬閾值函數(shù)以及兩個半軟閾值函數(shù)對小波系數(shù)進(jìn)行處理。

半軟閾值函數(shù)1[14]表達(dá)式為

(5)

式中：n為任意正常數(shù)，n→∞時閾值函數(shù)等效于軟閾值函數(shù)，n→0時閾值函數(shù)等效于硬閾值函數(shù)。

半軟閾值函數(shù)2[15]表達(dá)式為

(6)

圖5 兩種半軟閾值函數(shù)示意圖Fig．5 Two half-soft thresholding functions

圖6 使用不同閾值函數(shù)去噪結(jié)果比較Fig．6 Comparison of denosing results using different thresholding functions

3.4 實(shí)驗(yàn)4

為了驗(yàn)證平移不變量小波去噪算法中的平移范圍，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)如下：使用BayesShrink閾值算法和軟閾值函數(shù)，循環(huán)平移的采樣點(diǎn)數(shù)分別為2，4，8，16，32，64，128，256，512和1 024。由于吉布斯效應(yīng)通常發(fā)生在信號起始位置以及不連續(xù)點(diǎn)，因此，為了能夠更加有效評價該算法對吉布斯效應(yīng)的抑制效果，僅對去噪后信號的前64個采樣點(diǎn)進(jìn)行比較，得到的結(jié)果如圖7所示。從圖中的比較可以看出，從平移16個采樣點(diǎn)開始，平移不變量小波去噪算法的改進(jìn)效果已不明顯，從圖中已經(jīng)較難區(qū)分。因此當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)為1 024時，選擇平移量為16可以獲得同全平移-平移不變量小波去噪算法相當(dāng)?shù)娜ピ胄Ч?，但運(yùn)算量只有其1/64。

圖7 使用不同平移量去噪結(jié)果比較Fig．7 Comparison of denosing results using different translation invariant

3.5 實(shí)驗(yàn)5

本節(jié)的實(shí)驗(yàn)主要為了驗(yàn)證將本文提出的改進(jìn)的基于平移不變量的小波去噪算法應(yīng)用于含噪盲源分離的有效性。實(shí)驗(yàn)安排如下：(1)僅使用經(jīng)典的FastICA算法和RobustICA算法進(jìn)行盲源分離；(2)分別使用文獻(xiàn)[8]中的小波去噪算法(記為WT)和本文提出的小波去噪算法(記為New WT)對含噪混合信號去噪，然后再使用FastICA算法和RobustICA算法進(jìn)行盲源分離。

仿真分別使用了兩組信號，其中1組由3個亞高斯信號組成，另一組由3個超高斯信號組成。每組信號分別經(jīng)過隨機(jī)生成的3×3混合矩陣后，加入高斯白噪聲，信號的采樣點(diǎn)數(shù)為1 024，對混合后的含噪信號使用上述幾種方法進(jìn)行分離。圖8是對3個亞高斯信號進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，信噪比為5 dB時，僅使用FastICA算法以及先使用本文提出的改進(jìn)的小波去噪算法進(jìn)行去噪后再使用FastICA算法進(jìn)行分離的結(jié)果示意圖。

圖8 使用FastICA算法時的盲源分離示意圖(SNR=5 dB)Fig．8 Comparison of BSS results using FastICA algorithm (SNR=5 dB)

在圖8中，第1行是3路原始信號；第2行是3路原始信號經(jīng)過一個隨機(jī)混合矩陣后加入高斯白噪聲，得到三路含噪混合信號；第三行是僅使用經(jīng)典的FastICA算法進(jìn)行分離后得到的分離結(jié)果；最后一行是使用本文提出的算法進(jìn)行去噪后再使用FastICA算法進(jìn)行分離得到的分離結(jié)果。從圖中可以直觀地看出，僅使用經(jīng)典的FastICA算法進(jìn)行分離，分離效果較差，其中鋸齒波和正弦波已經(jīng)無法分辨；而去噪后再進(jìn)行分離的信號的效果較直接分離的效果顯著改善。

圖9 幾種方法進(jìn)行含噪盲源分離后結(jié)果比較Fig．9 Comparison of separation results using different noisy BSS algorithms

改變信噪比，從0 dB以步長1 dB增加至20 dB，計(jì)算分離信號的信號均方誤差，每個實(shí)驗(yàn)點(diǎn)重復(fù)實(shí)驗(yàn)100次，對結(jié)果取平均，實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果如圖9所示。從圖9中可以看出，同文獻(xiàn)[8]中的小波去噪算法相比，本文提出的基于平移不變量的小波去噪算法在信噪比較低的情況下性能更好，能夠進(jìn)一步提升盲源分離算法的性能。因此，該方法不失為解決含噪盲源分離問題的一個有效方法。

4 結(jié)束語

解決含噪盲源分離問題的一個有效途徑就是對含噪混合信號進(jìn)行去噪，然后使用盲源分離算法進(jìn)行分離。本文提出的基于平移不變量的小波去噪算法，首先使用高頻系數(shù)滑動窗口法代替高頻系數(shù)中值法來估計(jì)噪聲方差可以得到更準(zhǔn)確的噪聲方差；其次針對信噪比較低這個條件，對閾值估計(jì)算法和閾值函數(shù)進(jìn)行研究，確定使用BayesShrink閾值算法和軟閾值函數(shù)；再次縮小循環(huán)平移范圍，較全平移算法而言大幅降低了運(yùn)算量，而去噪效果幾乎沒有降低；最后將該算法應(yīng)用于含噪盲源分離中。實(shí)驗(yàn)仿真表明，該算法在信噪比較低的情況下具有更好的去噪性能，能在很大程度上提升盲源分離算法的分離質(zhì)量。

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Application of Wavelet Denoising Algorithm in Noisy Blind Source Separation

Wu Wei， Peng Hua， Wang Bin

(Institute of Information System Engineering, PLA Information Engineering University, Zhengzhou, 450002, China)

Blind source separation (BSS) algorithms based on the noise-free model are not applicable when the SNR is low. To deal with this issue, one way is to denoise the mixtures corrupted by white Gaussian noise, firstly, and then utilize the BSS algorithms. Therefore, a Waveshrink algorithm is proposed based on translation invariant to denoise mixtures with strong noise. The high-frequency coefficients sliding window method is utilized to estimate the noise variance accurately, and BayesShrink algorithm is utilized for a more reasonable threshold. Consequently, the scope of the translation invariant is narrowed without degrading the performance of denoising, thus reducing the computation amount. Simulation results indicate that the proposed approach perform better in denoising compared with the traditional Waveshrink algorithm, and can remarkably enhance the separation performance of BSS algorithms, especially in the case with low signal SNRs.

waveshrink algorithm; translation invariant; noisy blind source separation; BayesShrink algorithm

國家自然科學(xué)基金(61401511)資助項(xiàng)目。

2013-09-11；

2014-03-21

TN911.7

A

吳微(1981-)，女，講師，博士研究生，研究方向：信號分析、盲信號處理，E-mail：wuwei_0930@163.com。

彭華(1973-)，男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：通信信號處理、軟件無線電。

王彬(1971-)，女，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：通信信號處理。