如何求概率

□秦振

如何求概率

□秦振

一、列舉法

就是根據(jù)題意列舉出事件的所有可能的n種結(jié)果，從中找出事件A的所有可能的m種結(jié)果，再利用公式計(jì)算其概率.

例1小穎準(zhǔn)備了10張形狀、大小完全相同的不透明卡片，上面分別寫有整數(shù)－10、－9、－8、－7、－6、－5、－4、－3、－2、－1，將這10張卡片寫有整數(shù)的一面向下放在桌面上，從中任取一張，以卡片上的數(shù)作為不等式ax＋3＞0的系數(shù)a，求該不等式?jīng)]有正整數(shù)解的概率.

分析：用列舉法，將卡片上的10個(gè)數(shù)分別代入不等式求解.

解：當(dāng)a＝－1時(shí)，不等式為－x＋ 3＞0，解不等式，得x＜3，不等式有正整數(shù)解.當(dāng)a＝－2時(shí)，不等式為－2x＋3＞0，解不等式，得不等式有正整數(shù)解.當(dāng)a＝－3時(shí)，不等式為－3x＋3＞0，解不等式，得x＜1，不等式?jīng)]有正整數(shù)解.當(dāng)a＝－4時(shí)，不等式為－4x＋3＞0，解不等式，得，不等式?jīng)]有正整數(shù)解.……，當(dāng)a取－3至－10中任意一個(gè)整數(shù)時(shí)，不等式?jīng)]有正整數(shù)解.所以不等式?jīng)]有正整數(shù)解的概率為

點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用列舉法解題時(shí)，在計(jì)算時(shí)應(yīng)該及時(shí)觀察、歸納解題過(guò)程及計(jì)算結(jié)果的規(guī)律，通過(guò)猜想，減少運(yùn)算量，簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

二、樹狀圖法

在求概率的過(guò)程中，為了分析出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，我們采用“樹狀圖”的方法，將所有結(jié)果都列出來(lái)，這樣既避免了重復(fù)和遺漏，又直觀且有條理.

例2從一副撲克牌中取出兩組牌，分別是黑桃1、2、3、4和方塊1、2、3、4.將它們背面朝上分別重新洗牌后，從兩組牌中各摸一張，那么摸出的數(shù)字之和等于5的概率是多少？

分析：根據(jù)題意，可以用樹狀圖法，列出從兩組牌中各摸一張的所有可能情況，從中找出其數(shù)字之和為5的所有情況，再計(jì)算其概率.

解：從兩組牌中各摸一張的所有可能情況：如圖1所示.從圖中可知共有16種機(jī)會(huì)均等的結(jié)果，而兩張牌的牌面數(shù)字之和等于5的結(jié)果有4種，因此P（摸出的數(shù)字之和等于

圖1　

點(diǎn)評(píng)：利用樹形圖時(shí)，務(wù)必注意各種情況出現(xiàn)的可能性相同.

三、列表法

對(duì)于比較復(fù)雜的問(wèn)題，可以用列表的方法將所有可能的結(jié)果全部列出，然后再求解.它適合出現(xiàn)的結(jié)果比較多的情況.

例3已知甲袋中有四張除數(shù)字外完全相同的標(biāo)有1、2、3、4的卡片，乙袋中有三張除數(shù)字外完全相同的標(biāo)有1、2、3的卡片，從甲袋和乙袋中分別抽出一張卡片.

（1）分別用a、b表示從甲袋、乙袋抽出的卡片上標(biāo)有的數(shù)字，請(qǐng)用列表法寫成（a，b）的所有取值；

（2）求在（a，b）中關(guān)于x的一元二次方程x2－ax＋2b＝0有實(shí)數(shù)根的概率.

分析：（1）a可以取不同的4個(gè)值，b可以取不同的3個(gè)值，所以（a，b）有12個(gè)可能的結(jié)果.

（2）方程x2－ax＋2b＝0有實(shí)數(shù)根的條件是Δ＝a2－8b≥0，在（1）的結(jié)果中，選出滿足這個(gè)條件的（a，b）的個(gè)數(shù)，然后求概率.

解：（1）（a，b）所有可能如下表：

1234 1（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）ab

（2）要使方程x2－ax＋2b＝0有實(shí)數(shù)根，則需Δ＝a2－8b≥0.而使Δ＝a2－8b≥0成立的（a，b）有（3，1）、（4，1）、（4，2），因此所求概率為P＝

點(diǎn)評(píng)：列舉法、樹狀圖法和列表法是求概率的三種基本方法.解題時(shí)，可以根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，使解題思路更清晰、過(guò)程更簡(jiǎn)潔.

四、利用幾何圖形長(zhǎng)度的比求概率

例4將長(zhǎng)為18cm的鐵絲任意剪成兩段，N表示“較長(zhǎng)的一段大于或等于較短一段的2倍”，求N的概率.

分析：如圖2所示，設(shè)分點(diǎn)為M，分析M的位置變化，歸納出點(diǎn)N的可能位置.

圖2　

解：如圖2所示，設(shè)分點(diǎn)為M，AM＝x，根據(jù)題意0＜x＜18.當(dāng)有0＜x＜6或12＜x＜18時(shí)，滿足較長(zhǎng)的一段大于或等于較短一段的2倍，所以

點(diǎn)評(píng)：如果試驗(yàn)的可能性結(jié)果用線段的長(zhǎng)度n表示，A可能發(fā)生的可能性用線段的長(zhǎng)度m表示，則由概率的定義可得

五、利用幾何圖形面積的比求概率

根據(jù)概率的定義可知，在幾何圖形中，事件發(fā)生的概率就是該圖形的面積與總圖形面積的比.

例5如圖3所示，趙爽弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)正方形拼成的一個(gè)大正方形.小穎同學(xué)隨機(jī)地在大正方形及其內(nèi)部區(qū)域投針，若直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為2和1，則針扎在小正方形（陰影）區(qū)域的概率是（）

圖3　

分析：分別求出大正方形和小正方形的面積，其概率為小正方形與大正方形面積的比.

點(diǎn)評(píng)：這類問(wèn)題可歸納為：設(shè)在面積為S的區(qū)域中有任意一個(gè)區(qū)域A，它的面積為SA，如果任意投擲一點(diǎn)，點(diǎn)落入?yún)^(qū)域A中的可能性大小與SA成正比，而與A的位置和形狀無(wú)關(guān)，點(diǎn)落入A的概率為

六、利用頻率估計(jì)概率

在相同的條件下進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)后，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定，穩(wěn)定后的頻率可以作為概率的估計(jì)值，反之，如果知道一個(gè)事件發(fā)生的概率，就可以由此推斷出在多次重復(fù)試驗(yàn)后，該事件發(fā)生的頻率.

例6某出版社對(duì)其發(fā)行的雜志的寫作風(fēng)格進(jìn)行了5次“讀者問(wèn)卷調(diào)查”，結(jié)果如下：

（1）計(jì)算表中的各個(gè)頻率；

（2）讀者對(duì)該雜志滿意的概率P（A）大約是多少？

?

（2）用穩(wěn)定的頻率值估計(jì)概率.

解：（1）表中的頻率分別為：0.998、0.998、0.998、0.999、1.

（2）由（1）的結(jié)果可知，出版社在5次“讀者問(wèn)卷調(diào)查”中，收到的反饋信息是：讀者對(duì)該雜志滿意的概率大約是P（A）＝0.998.

點(diǎn)評(píng)：有的問(wèn)題從表面上看是偶然性起作用，實(shí)際上這種偶然性始終是受內(nèi)部隱藏著的規(guī)律支配的，關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律.

列表法和樹狀圖法是計(jì)算概率常用且有效的兩種方法，是解決概率問(wèn)題的左膀右臂.樹狀圖法適合于涉及3個(gè)或3個(gè)以上因素的較復(fù)雜的事件.有些可能的結(jié)果沒(méi)法一一統(tǒng)計(jì)，例如雨點(diǎn)落在地面上的位置，轉(zhuǎn)盤上的指針最后停下來(lái)的位置等等，這時(shí)可以借助幾何圖形的面積或線段的長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算.