新的柔性結(jié)合部法向接觸剛度和接觸阻尼方程

田紅亮,趙美云,鄭金華,趙春華,趙新澤,方子帆,朱大林

(1.三峽大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院,443002,湖北宜昌;2.三峽大學(xué)水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,443002,湖北宜昌)

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新的柔性結(jié)合部法向接觸剛度和接觸阻尼方程

田紅亮1,趙美云2,鄭金華1,趙春華1,趙新澤1,方子帆1,朱大林1

(1.三峽大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院,443002,湖北宜昌;2.三峽大學(xué)水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,443002,湖北宜昌)

以修正分形幾何學(xué)理論和赫茲法向接觸力學(xué)方程為基礎(chǔ),推導(dǎo)出了柔性結(jié)合部法向接觸剛度與阻尼方程。假設(shè)峰元頂端的曲率半徑為變量,提出了一種全新的求導(dǎo)函數(shù)而非偏導(dǎo)函數(shù)的求解方法,建立了單峰元與平面接觸的法向接觸剛度方程。數(shù)值模擬表明:峰元承擔(dān)的法向彈性載荷與其頂端的變形量之間符合非線性冪函數(shù)凹弧關(guān)系;降低表面粗糙度或增加法向接觸載荷都將增大實(shí)際接觸面積;當(dāng)表面粗糙輪廓分形維數(shù)在較小范圍內(nèi)時(shí),實(shí)際接觸面積隨著表面粗糙輪廓分形維數(shù)的增加而增大,而當(dāng)表面粗糙輪廓分形維數(shù)在較大范圍內(nèi)時(shí),實(shí)際接觸面積隨著表面粗糙輪廓分形維數(shù)的增加而變小;降低表面粗糙度或增加表面粗糙輪廓分形維數(shù)與法向接觸載荷皆將增加法向接觸剛度;法向接觸阻尼隨著表面粗糙輪廓分形維數(shù)的增加先減小后增大;當(dāng)表面粗糙輪廓分形維數(shù)小于臨界值時(shí),法向接觸阻尼隨著分形粗糙度的增大而增大,而當(dāng)表面粗糙輪廓分形維數(shù)超過(guò)轉(zhuǎn)折點(diǎn)時(shí),法向接觸阻尼隨著分形粗糙度的增大而減小;當(dāng)法向接觸載荷增大時(shí),法向接觸阻尼略微減小。

柔性結(jié)合部;法向接觸剛度;法向接觸阻尼;分形幾何學(xué)理論

在機(jī)械結(jié)構(gòu)中,切削加工后的2個(gè)零件或部件之間相互接觸、工作時(shí)傳遞載荷的區(qū)域通常稱為柔性結(jié)合部。一個(gè)柔性結(jié)合部可含有1個(gè)或多個(gè)結(jié)合面,結(jié)合面既能為平面,亦能為曲面。柔性結(jié)合部及其性質(zhì)對(duì)整個(gè)機(jī)床的振動(dòng)特性有著重要的影響。例如,機(jī)床總?cè)岫鹊?0%～60%和總阻尼的90%以上都來(lái)源于柔性結(jié)合部,因此在機(jī)床動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)中,要建立準(zhǔn)確的機(jī)床動(dòng)力學(xué)模型就必須考慮柔性結(jié)合部的動(dòng)態(tài)特性。一般情況下,柔性結(jié)合部的動(dòng)態(tài)特性能夠用柔性結(jié)合部的接觸剛度及阻尼來(lái)表達(dá)。田紅亮等雖然在宏微觀機(jī)制上定性或定量地闡述了許多因素對(duì)柔性結(jié)合部法向接觸剛度[1-8]、切向接觸剛度[9-11]、靜摩擦系數(shù)[12-17]、假想材料參數(shù)[18-19]、統(tǒng)計(jì)理論參數(shù)[20]的影響作用,但均未涉及柔性結(jié)合部的接觸阻尼。柔性結(jié)合部的接觸阻尼和能量耗散直接相關(guān)。能量耗散是一個(gè)多部件、多層次的系統(tǒng)問(wèn)題,未來(lái)能量耗散指標(biāo)有可能會(huì)成為評(píng)價(jià)機(jī)床產(chǎn)品質(zhì)量的一個(gè)新指標(biāo)?，F(xiàn)有文獻(xiàn)大多僅通過(guò)試驗(yàn)來(lái)研究柔性結(jié)合部接觸阻尼的影響因素,但關(guān)于理論模型方面的分析尚不多見(jiàn),對(duì)柔性結(jié)合部的接觸阻尼鮮有確定的公認(rèn)研究結(jié)果。

本文以2個(gè)切削加工的粗糙表面相互接觸組成的柔性機(jī)械結(jié)合部為考察對(duì)象,利用赫茲法向接觸力學(xué)方程和修訂分形幾何學(xué)理論對(duì)柔性結(jié)合部的法向接觸剛度進(jìn)行建模分析,進(jìn)而準(zhǔn)確估計(jì)柔性結(jié)合部的法向接觸阻尼。

1 分形幾何學(xué)理論的修訂

在全體實(shí)數(shù)的定義域內(nèi),所有點(diǎn)連續(xù)、到處不可微分且具備統(tǒng)計(jì)學(xué)自相似性的Weierstrass-Mandelbrot分形函數(shù)為

(1)

式中:x為輪廓位移坐標(biāo);G為分形粗糙度;D為表面粗糙輪廓分形維數(shù);n為頻率指數(shù);n1為最低頻率的初始項(xiàng);γ為大于1的常數(shù)。

由式(1)可得峰元頂端的變形量[21]

(2)

式中:a為峰元接觸點(diǎn)面積,且滿足

(3)

由式(2)可得赫茲峰元頂端的曲率半徑[22]

(4)

可見(jiàn),式(4)不同于文獻(xiàn)[21]中的R=aD/2/π2GD-1。

峰元發(fā)生彈-塑性變形轉(zhuǎn)化的臨界變形量

(5)

式中:E為復(fù)合彈性模量;H為較軟材料的硬度?？梢?jiàn),式(5)不同于文獻(xiàn)[21]中的式(2):δc=(H/2E)2R。

將式(4)代入式(5)得

(6)

可見(jiàn),式(6)不同于文獻(xiàn)[21]中的式(2):δc=(H/2E)2aD/2/GD-1。

式(2)除以式(6)得

(7)

式中:ac為臨界接觸點(diǎn)面積,并且有

(8)

可見(jiàn),式(8)不同于文獻(xiàn)[21]中的式(3):ac=G2(2E/H)2/(D-1)。

有高有低的峰元接觸受到其他峰元接觸的影響,因此對(duì)于峰元的描述,除半徑外還應(yīng)有高度參數(shù),如峰高、峰高間距、兩表面間距、峰與表面間的距離[20]。在實(shí)際接觸面積的計(jì)算中,先接觸峰元的接觸面積隨接觸的繼續(xù)發(fā)展由小變大,隨后又有新的峰元進(jìn)入接觸。峰元接觸點(diǎn)面積a的分布密度函數(shù)[14]為

(9)

式中:aL為最大接觸點(diǎn)面積。

由式(9)可得柔性結(jié)合部的實(shí)際接觸總面積[11]

(10)

峰元承受的垂直于柔性結(jié)合部的法向彈性載荷

(11)

將式(4)和式(2)代入式(11)得

(12)

可見(jiàn),式(12)不同于文獻(xiàn)[21]中的式(4):Pe(a)=4π1/2EGD-1a(3-D)/2/3。

峰元承受的垂直于柔性結(jié)合部的法向塑性載荷

Pp(a)=Ha

(13)

設(shè)aL>ac,則柔性結(jié)合部的接觸總載荷

(14)

將式(9)代入式(14)得

P(Ar>Arc)=

(15)

式中為實(shí)際臨界接觸面積。

根據(jù)式(10)得

(16)

將式(16)代入式(15)得

由式(17)可得歸一化接觸總載荷

(18)

2 柔性結(jié)合部的法向接觸剛度

由式(2)得

a=G(1-D)/(1-0.5D)δ1/(1-0.5D)

(19)

將式(19)代入式(12)得

(20)

法向彈性載荷對(duì)峰元頂端變形量的一階導(dǎo)函數(shù),即為單峰元與平面接觸的法向接觸剛度

(21)

將式(19)代入式(21)得[23-24]

(22)

由式(22)可得柔性結(jié)合部的法向接觸總剛度

(23)

將式(9)代入式(23)得

Kn(Ar>Arc)=

可見(jiàn),式(24)不同于文獻(xiàn)[21]中的式(8)。

將式(16)代入式(24)得

Kn(Ar>Arc)=

由式(25)可得歸一化接觸總剛度

(26)

3 柔性結(jié)合部的法向接觸阻尼

固體受外力作用而變形,在變形過(guò)程中外力所做的功將轉(zhuǎn)變?yōu)閮?chǔ)存于固體內(nèi)的能量,當(dāng)外力逐漸減小時(shí),變形逐漸恢復(fù),固體又將釋放出儲(chǔ)存的能量而做功。固體在外力作用下因變形而儲(chǔ)存的能量稱為應(yīng)變能。

由式(4)得

a=πRδ

(27)

將式(27)代入式(13)得

Pp(δ)=πHRδ

(28)

由式(28)可得峰元壓縮時(shí)的塑性應(yīng)變能

(29)

將式(27)代入式(29)得

(30)

將式(2)代入式(30)得

(31)

按照式(31)可得柔性結(jié)合部的塑性總應(yīng)變能

(32)

將式(9)代入式(32)得

(33)

由式(11)可得峰元壓縮時(shí)的彈性應(yīng)變能

(34)

將式(27)代入式(34)得

(35)

將式(2)代入式(35)得

(36)

根據(jù)式(36)可得柔性結(jié)合部的彈性總應(yīng)變能

(37)

將式(9)代入式(37)得

We=

從阻尼的產(chǎn)生機(jī)理可知,用損耗的振動(dòng)能量和總的振動(dòng)能量的比值來(lái)作為衡量阻尼的指標(biāo)是完全符合阻尼物理本質(zhì)的。能量法能更為直觀和普遍地分析結(jié)構(gòu)的阻尼特性,由定義可得結(jié)構(gòu)阻尼損耗因子的計(jì)算公式。本文以塑性應(yīng)變能的大小為法向阻尼計(jì)算的依據(jù)。其實(shí),在材料變形過(guò)程中,除了塑性變形(主要在法向發(fā)生)外,遲滯現(xiàn)象(在法向和切向均存在)、變形過(guò)程中的摩擦生熱(僅在切向出現(xiàn))等也都耗散能量。式(33)除以式(38)可得柔性結(jié)合部的結(jié)構(gòu)阻尼損耗因子

將式(16)代入式(39)得

式(40)可改寫為

η=

令粗糙表面所在的基體虛擬材料[21]的質(zhì)量為m,則柔性結(jié)合部的法向接觸阻尼[25]

cn=η(mKn)1/2

(42)

由式(26)得

(43)

將式(43)代入式(42)得

(44)

由式(44)可得歸一化接觸阻尼為

(45)

將式(41)和式(26)代入式(45)得

(46a)

D=1

(46b)

(46c)

4 工程柔性結(jié)合部數(shù)值仿真與討論

兩配對(duì)灰鑄鐵HT250柔性結(jié)合部的參數(shù)為:較軟材料的硬度H=9 GPa,復(fù)合彈性模量E=130 GPa。

4.1 柔性結(jié)合部的一次加載過(guò)程

當(dāng)G=1.36×10-11m時(shí),由式(20)表示的峰元法向彈性載荷和峰元頂端變形量之間的關(guān)系見(jiàn)圖1。圖1表明,單峰元承擔(dān)的法向彈性載荷和單峰元頂端的變形量之間滿足非線性冪函數(shù)凹弧關(guān)系。

圖1 柔性結(jié)合部的一次加載結(jié)果

4.2 實(shí)際接觸面積的演化規(guī)律

圖2給出了實(shí)際接觸面積的變化情況,其中圖2a～2c的前提條件都是:柔性結(jié)合部在恒定歸一化法向接觸載荷的作用下。從圖2a～2d可以看出,接觸表面越粗糙,實(shí)際接觸面積就越小。從圖2a和2b可以看出,當(dāng)D<1.5時(shí),隨著表面粗糙輪廓分形維數(shù)的增加,實(shí)際接觸面積增大。從圖2a和2c可以看出,當(dāng)D>1.5時(shí),隨著表面粗糙輪廓分形維數(shù)的增加,實(shí)際接觸面積減小。圖2d反映,當(dāng)法向接觸載荷增大時(shí),實(shí)際接觸面積隨之增大。

4.3 法向接觸剛度的演化規(guī)律

圖3給出了法向接觸剛度的變化情況。由圖3a和3b可發(fā)現(xiàn),法向接觸剛度隨著表面粗糙輪廓分形維數(shù)的增大而不斷增大。圖3a～3c反映,接觸表面越粗糙,法向接觸剛度就越小。文獻(xiàn)[26]為了使懸臂梁模型在測(cè)試中盡量避免和其他結(jié)構(gòu)的耦合,設(shè)計(jì)了一種剛性框架試驗(yàn)裝置。由圖3c可見(jiàn),當(dāng)法向接觸載荷增加時(shí),法向接觸剛度隨之增大,這與文獻(xiàn)[26]的干摩擦結(jié)合部試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)及其擬合曲線(如圖3d所示)是一致的。

(a) 表面粗糙輪廓分形維數(shù)對(duì)實(shí)際接觸面積的影響 (b) 分形粗糙度對(duì)實(shí)際接觸面積的影響 (P*=0.000 11) (P*=0.000 4, D較小)

(c) 分形粗糙度對(duì)實(shí)際接觸面積的影響 (d) 法向接觸載荷對(duì)實(shí)際接觸面積的影響 (P*=0.000 009 1, D較大) (D=1.4)圖2 不同參數(shù)對(duì)實(shí)際接觸面積的影響

(a) 表面粗糙輪廓分形維數(shù)對(duì)法向接觸剛度的影響 (b)分形粗糙度對(duì)法向接觸剛度的影響

(c)法向接觸載荷對(duì)法向接觸剛度的影響(D=1.4) (d)文獻(xiàn)[26]的法向接觸剛度試驗(yàn)結(jié)果圖3 不同參數(shù)對(duì)法向接觸剛度的影響

4.4 法向接觸阻尼的演化規(guī)律

圖4給出了法向接觸阻尼的變化情況,其中圖4a針對(duì)的是一定的實(shí)際接觸面積。從圖4a和4b中可看出,法向接觸阻尼隨著表面粗糙輪廓分形維數(shù)的增大先減小后增大,最小值位于D=1.3附近。從圖4a～4c中可看出,分形粗糙度對(duì)法向接觸阻尼的影響與表面粗糙輪廓分形維數(shù)的大小有關(guān),在D=1.55(與文獻(xiàn)[21]略有不同)附近出現(xiàn)拐點(diǎn),當(dāng)D<1.55時(shí),法向接觸阻尼隨著分形粗糙度的增大而增大,當(dāng)表面粗糙輪廓分形維數(shù)繼續(xù)增大至滿足D>1.55時(shí),呈現(xiàn)出分形粗糙度越大,法向接觸阻尼反而減小的現(xiàn)象。從圖4c中可看出,當(dāng)法向接觸載荷增大時(shí),法向接觸阻尼呈略微減小的趨勢(shì),這和文獻(xiàn)[26]的干摩擦結(jié)合部試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)及其擬合曲線的第二階段(見(jiàn)圖4d)相一致。上述結(jié)果表明,文獻(xiàn)[21]的結(jié)論“法向載荷對(duì)接觸阻尼的影響可忽略不計(jì)”并不合理。

(a) 表面粗糙輪廓分形維數(shù)對(duì)法向接觸阻尼的影響 (b)分形粗糙度對(duì)法向接觸阻尼的影響

(c)法向接觸載荷對(duì)法向接觸阻尼的影響(D=1.4) (d)文獻(xiàn)[26]的法向接觸阻尼試驗(yàn)結(jié)果圖4 不同參數(shù)對(duì)法向接觸阻尼的影響

5 結(jié) 論

(1)峰元承擔(dān)的法向彈性載荷與其頂端的變形量之間符合非線性冪函數(shù)凹弧關(guān)系。

(2)接觸表面越粗糙,實(shí)際接觸面積就越小。當(dāng)表面粗糙輪廓分形維數(shù)在較小范圍內(nèi)時(shí),隨著表面粗糙輪廓分形維數(shù)的增加,實(shí)際接觸面積增大;當(dāng)表面粗糙輪廓分形維數(shù)在較大范圍內(nèi)時(shí),隨著表面粗糙輪廓分形維數(shù)的增加,實(shí)際接觸面積減小。當(dāng)法向接觸載荷增大時(shí),實(shí)際接觸面積隨之增大。

(3)法向接觸剛度隨著表面粗糙輪廓分形維數(shù)的增大而不斷增大。接觸表面越粗糙,法向接觸剛度越小。當(dāng)法向接觸載荷增加時(shí),法向接觸剛度隨之增大。

(4)法向接觸阻尼隨著表面粗糙輪廓分形維數(shù)的增大先減小后增大。分形粗糙度對(duì)法向接觸阻尼的影響與表面粗糙輪廓分形維數(shù)的大小有關(guān):當(dāng)表面粗糙輪廓分形維數(shù)小于拐點(diǎn)值時(shí),法向接觸阻尼隨著分形粗糙度的增大而增大;當(dāng)表面粗糙輪廓分形維數(shù)超過(guò)拐點(diǎn)值時(shí),呈現(xiàn)出分形粗糙度越大,法向接觸阻尼反而減小的現(xiàn)象。當(dāng)法向接觸載荷增大時(shí),法向接觸阻尼略微減小。

(5)盡管本文對(duì)柔性結(jié)合部法向接觸剛度與阻尼方程進(jìn)行了一定研究,但是后續(xù)還有大量值得進(jìn)一步深入研究的內(nèi)容。首先,可以考慮峰元頂端的曲率半徑為變量,從而推導(dǎo)出峰元頂端曲率半徑與其變形量之間的內(nèi)在關(guān)系;其次,根據(jù)峰元頂端曲率半徑與其變形量之間的內(nèi)在關(guān)系,對(duì)阻尼方程進(jìn)行改進(jìn)。

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(編輯 葛趙青)

New Equations of Normal Contact Stiffness and Damping for Flexible Joint Interface

TIAN Hongliang1,ZHAO Meiyun2,ZHENG Jinhua1,ZHAO Chunhua1, ZHAO Xinze1,FANG Zifan1,ZHU Dalin1

(1. College of Mechanical and Power Engineering, China Three Gorges University, Yichang, Hubei 443002, China; 2. Hubei Key Laboratory of Hydroelectric Machinery Design and Maintenance, China Three Gorges University, Yichang, Hubei 443002, China)

Equations of normal contact stiffness and damping for flexible joint interface were built up following the modified fractal geometry theory and Hertz normal contact mechanics expression. Supposing the curvature radius at the tip of the asperity is a variable, a completely new calculating method of differential function, not partial differentiable function, was established to solve the normal contact stiffness equation when an asperity contacted a plane. The digital simulation reveals that there is a nonlinear power function concave arc relationship between asperity’s normal elastic load and its tip deformation. The real contact area may increase by reducing the surface roughness or increasing the normal contact load. The real contact area increases with the fractal dimension of a surface in the smaller fractal dimension of a surface rough profile, while decreases with the fractal dimension of a surface in the larger fractal dimension of a surface rough profile. The normal contact stiffness will increase by reducing the surface roughness or increasing the fractal dimension of a surface rough profile and the normal contact load. The normal contact damping decreases at first and then increases with the increase of the fractal dimension of a surface rough profile. When the fractal dimension of a surface rough profile is less than the critical value, the normal contact damping increases with the fractal roughness. When the fractal dimension of a surface rough profile exceeds the turning point, the normal contact damping will decrease with the fractal roughness. As the normal contact load increases, the normal contact damping decreases slightly.

flexible joint interface; normal contact stiffness; normal contact damping; fractal geometry theory

2014-06-20。

田紅亮(1973—),男,博士,副教授。

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275273);三峽大學(xué)水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目(2012KJX02);三峽大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目(KJ2012B013)。

時(shí)間:2014-10-23

10.7652/xjtuxb201501020

TH113.1

A

0253-987X(2015)01-0118-09

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