分形原理評(píng)估特殊曲線測(cè)量精度：以海岸線為例

引文格式： 廖永生. 分形原理評(píng)估特殊曲線測(cè)量精度[J].測(cè)繪通報(bào)，2015(4)：65-68.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2015.0112

分形原理評(píng)估特殊曲線測(cè)量精度——以海岸線為例

廖永生

(廣西壯族自治區(qū)地理國情監(jiān)測(cè)院，廣西 南寧 530023)

TheFractalTheoryinAnalyzingSpecialCurveMeasurementAccuracy

——TakingCoastlineSurveyingasanExample

LIAOYongsheng

摘要：特長(zhǎng)曲線的高精度測(cè)量處理一直是地理信息數(shù)據(jù)處理的難題。海岸線作為空間數(shù)據(jù)中的最長(zhǎng)動(dòng)態(tài)曲線之一，其數(shù)據(jù)精度依賴于海岸線測(cè)量點(diǎn)的采樣和分形。本文海岸線測(cè)量采用了高精度測(cè)量方法；同時(shí)基于海岸線分形原理，可以采用增加采樣點(diǎn)的方法來提高海岸線的測(cè)量精度；最終采用Beizer曲線方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加工，生成最佳高精度海岸線。

關(guān)鍵詞：海岸線測(cè)量；分形；Beizer曲線；維數(shù)

中圖分類號(hào)：P229

收稿日期：2014-01-07

基金項(xiàng)目：國家海洋公益項(xiàng)目(201305023)

作者簡(jiǎn)介：廖永生(1979—)，男，碩士，高級(jí)工程師，主要從事3S技術(shù)集成和地球空間信息數(shù)據(jù)應(yīng)用的研究。E-mail：188249620@qq.com

一、引言

在對(duì)空間實(shí)體特別是大型空間實(shí)體測(cè)量繪制中，存在大量非直線的線狀，即空間曲線?？臻g曲線包括規(guī)則曲線和不規(guī)則曲線。實(shí)際測(cè)量中，規(guī)則曲線(圓、橢圓)可以采用測(cè)量多個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)后建立曲線數(shù)學(xué)模型的方法繪制矢量曲線；不規(guī)則曲線一般采用測(cè)量多個(gè)點(diǎn)的方法來繪制曲線，如等高線的測(cè)繪。

實(shí)際測(cè)繪中，對(duì)小型實(shí)體曲線的繪制可以采用測(cè)量較多點(diǎn)的方法，獲得的結(jié)果和真實(shí)值差異不大。但是對(duì)于一些大型曲線的繪制，由于不可能實(shí)現(xiàn)曲線點(diǎn)的密集采樣，測(cè)量時(shí)需根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行采樣，由于測(cè)量方法和要求不同，測(cè)量采樣點(diǎn)的密度和精度也不同。

在對(duì)道路、海岸線、河道，以及邊境進(jìn)行測(cè)量時(shí)，由于曲線不規(guī)則且長(zhǎng)度值較大，采樣點(diǎn)的密集程度將會(huì)直接影響曲線的精度。特別是海岸線的測(cè)量，由于海岸線位置測(cè)量和長(zhǎng)度測(cè)量對(duì)海洋研究和海岸帶保護(hù)具有相當(dāng)重要的意義，因此在海岸線測(cè)量時(shí)，必須盡可能獲得海洋線高精度數(shù)據(jù)，包括位置數(shù)據(jù)和長(zhǎng)度數(shù)據(jù)。

廣西大陸海岸線測(cè)量是國家908專項(xiàng)廣西海洋資源調(diào)查中海岸帶調(diào)查的重要組成部分，其目標(biāo)是掌握廣西海岸線的準(zhǔn)確空間位置、長(zhǎng)度和岸線類型。在測(cè)量和數(shù)據(jù)處理中，本文采用分形法實(shí)現(xiàn)對(duì)海岸線的采樣點(diǎn)加密和精度評(píng)估，最終獲得了較高精度的廣西大陸海岸線數(shù)據(jù)。

二、海岸線測(cè)量基本步驟

由于海岸線的動(dòng)態(tài)變化，其界定比較困難，包括采用零米線界定、平均潮位線確定等方法。海岸線測(cè)量采用網(wǎng)絡(luò)RTK測(cè)量的方法，即一般采用平均痕跡線的界定方法。由于海岸線是非規(guī)則曲線，一般需要盡可能測(cè)量曲線的拐點(diǎn)，但是由于測(cè)量員自身無法真正掌握其所在海岸線曲線的情況，需要按照兩個(gè)原則進(jìn)行采樣：在一般地區(qū)平均每50m采樣一次，在前后目視狀況比較復(fù)雜的地方平均每30m采樣一次，在前后目視極端的地方每10m采樣一次；每次采樣均記錄岸線性質(zhì)和影像等數(shù)據(jù)。

網(wǎng)絡(luò)RTK測(cè)量即流動(dòng)站連接廣西CORS系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)量，其測(cè)量平面精度可達(dá)到5cm以內(nèi)。

測(cè)量完成后，直接通過采樣點(diǎn)連線獲得廣西海岸線數(shù)據(jù)，但是由于采樣點(diǎn)間隔過長(zhǎng)，其位置精度較差，因此需要對(duì)海岸線點(diǎn)進(jìn)行加密，才能保證海岸線長(zhǎng)度和空間位置的精度。在廣西大陸海岸線測(cè)量中，采用了海岸線分形原理和數(shù)學(xué)模型實(shí)現(xiàn)了岸線采樣點(diǎn)的加密。

三、海岸線分形原理和模型

1. 海岸線分形基本理論

海岸線是分形領(lǐng)域最傳統(tǒng)的課題，美國科學(xué)家Mandelbrot于1967年在《科學(xué)》上發(fā)表的題為《英國海岸線有多長(zhǎng)？》一文中就闡述了海岸線長(zhǎng)度不確定性的問題，并由此提出了分形與分維的概念，成為分形理論的起源。

通俗地說，海岸線分形原理就是海岸線采樣點(diǎn)的密度差異，密度越高，其岸線長(zhǎng)度和空間位置越準(zhǔn)確。理論上，海岸線精度只能逼近真實(shí)值而永遠(yuǎn)無法達(dá)到真實(shí)值。

廣西大陸海岸線測(cè)量中，根據(jù)成圖比例尺，采樣點(diǎn)的間隔，以及海岸線測(cè)量精度與海岸線長(zhǎng)度也不同，如圖1所示。

圖1　不同比例尺下的海岸線采樣和分形

根據(jù)分形理論的基本觀點(diǎn)，由于量測(cè)標(biāo)度不同，海岸線的長(zhǎng)度不是一個(gè)確定值。隨著量測(cè)標(biāo)度趨向精細(xì)，海岸線的實(shí)際長(zhǎng)度也隨之增大。

即使是精確測(cè)量獲得的海岸線，其長(zhǎng)度不確定性的問題仍然存在。因此，在部門決策或是執(zhí)行的過程中就有可能產(chǎn)生下述問題，即在同樣的區(qū)域范圍內(nèi)對(duì)某段海岸線進(jìn)行的量測(cè)，由于使用的量測(cè)標(biāo)度不同，或是雖然使用了同樣的標(biāo)度，但是基于不同比例尺的地圖，就會(huì)產(chǎn)生一系列的數(shù)據(jù)誤差，為決策的制定與順利施行帶來不利的影響。

因此，需要根據(jù)海岸線的復(fù)雜程度，增加其采樣點(diǎn)，提高海岸線測(cè)量數(shù)據(jù)的精度。

2. 廣西大陸海岸線復(fù)雜度計(jì)算

目前計(jì)算分形維數(shù)的主要方法包括網(wǎng)格法、腳規(guī)法(量規(guī)法)、盒子法、折線法、方差圖法、函數(shù)疊加熵計(jì)算方法等。廣西大陸海岸線測(cè)量數(shù)據(jù)處理采用了量規(guī)法計(jì)算分形維值，并通過折線法檢驗(yàn)其計(jì)算準(zhǔn)確性。

分形理論基本公式如下

式中，rn為特征線度；Nn為物體數(shù)目；C為比例常數(shù)；D為分形維數(shù)。由上式推導(dǎo)可得

式中，Nn與岸線長(zhǎng)度Ln成正比關(guān)系，即Ln=Nnr。

海岸線中每段都有不同的分形維數(shù)，總的分形維數(shù)計(jì)算公式為

在每段海岸線維數(shù)的計(jì)算中，不可能計(jì)算每段的海岸線的分形維數(shù)，因此可以采用統(tǒng)計(jì)的方法繪制每段計(jì)算值的散點(diǎn)分布圖，并采用最小二乘法的方法計(jì)算出最佳維數(shù)值。

廣西大陸海岸線測(cè)量成果共有31469個(gè)測(cè)量點(diǎn)，總長(zhǎng)1628.59km，平均每52m一個(gè)采樣點(diǎn)。根據(jù)該數(shù)據(jù)，對(duì)海岸線進(jìn)行分形維數(shù)計(jì)算，獲得的結(jié)果見表1。

表1　廣西海岸線不同段的分形部分計(jì)算統(tǒng)計(jì)表

根據(jù)對(duì)數(shù)分布統(tǒng)計(jì)，建立Ln—r的對(duì)數(shù)關(guān)系，則

lnL(r)=-1.819lnr+2.343

廣西大陸海岸線維數(shù)最終計(jì)算結(jié)果為D=2.784。該數(shù)值為廣西大陸海岸線測(cè)量獲得的復(fù)雜程度描述。該數(shù)值遠(yuǎn)大于其他資料中海岸線分形維數(shù)的數(shù)值，原因是海岸線為實(shí)際測(cè)量，其精度遠(yuǎn)高于其他資料中通過衛(wèi)星影像獲得的海岸線數(shù)據(jù)計(jì)算的分形維數(shù)。

對(duì)海岸線實(shí)現(xiàn)采樣點(diǎn)的自動(dòng)加密，可以進(jìn)一步提高海岸線的分形維數(shù)，從而提高海岸線測(cè)量數(shù)據(jù)的精度。

四、海岸線分形插值方法

分析廣西海岸線復(fù)雜程度，可以針對(duì)不同地段的復(fù)雜程度進(jìn)行內(nèi)插值，增加采樣點(diǎn)數(shù)量，并采用分形插值的方法實(shí)現(xiàn)采樣點(diǎn)加密。

由于海岸線的繪制是采用直線連線的方法，因此在增加采樣點(diǎn)時(shí)，可采用趨勢(shì)值曲線變化內(nèi)插采樣點(diǎn)的方法實(shí)現(xiàn)，即按照采樣點(diǎn)的順序，間隔一個(gè)點(diǎn)或兩個(gè)點(diǎn)預(yù)測(cè)曲線的走向趨勢(shì)，從而增加相關(guān)采樣點(diǎn)。

根據(jù)曲線原理，走向趨勢(shì)可以根據(jù)其線性求導(dǎo)實(shí)現(xiàn)，在參數(shù)曲線中，可以采用如下方程表示矢量曲線

p(t)=(x,y)=(x(t),y(t))t∈[a,b]

式中，(x,y)為采樣點(diǎn)坐標(biāo)。如果采樣點(diǎn)坐標(biāo)遵循一點(diǎn)的線性方程函數(shù)，則坐標(biāo)為(x(t),y(t))。由于海岸線的采樣點(diǎn)無線性函數(shù)關(guān)系，因此，可以通過其直線趨勢(shì)，改變曲線方程，增加采樣點(diǎn),曲線化后如圖2所示。

圖2　多次插值后的新曲線

根據(jù)曲線的導(dǎo)線公式[7]，如果曲線是導(dǎo)曲線，即曲線P=P(t)在t=t0處n階參數(shù)連續(xù)，如果它在t0處n階左右導(dǎo)數(shù)存在，并且滿足

根據(jù)Bernstein的曲線基函數(shù)公式

原有線性方程根據(jù)采樣點(diǎn)的數(shù)量，可以轉(zhuǎn)成曲線方程，如下

其導(dǎo)數(shù)方程為

其中

經(jīng)過推導(dǎo)，可得

則根據(jù)n的數(shù)值，可以推導(dǎo)獲得不同階的曲線，即Beizer曲線。Beizer曲線根據(jù)其推演階數(shù)，可以分為一階、二階、三階，以及三階以上的曲線。各階Beizer趨向方程如下：

一階Beizer曲線方程為

(1-t)P0+tP1

二階Beizer曲線方程為

三階Beizer曲線方程為

P(t)=B0,3(t)P0+B1,3(t)P1+B2,3(t)P2+B3,3(t)P3

式中

一般情況下，海岸線加密采樣點(diǎn)采用二階和三階Beizer曲線，獲得大量的曲線加密點(diǎn)，特別是高加密點(diǎn)，從而提高海岸線的分形維數(shù)。圖3和圖4是采用Beizer曲線加密前后的對(duì)比。

圖3　實(shí)際測(cè)量點(diǎn)連線

圖4　Beizer插值后的光滑曲線

對(duì)500km的海岸線采用Beizer曲線化，其分形維數(shù)已經(jīng)超出了一般計(jì)算值(最高超過3)，顯然超出了一般計(jì)算數(shù)據(jù)，但也說明了實(shí)際曲線的精度情況。由于自然岸線以曲線為主，只有在人工岸線的地帶(海堤、港口)，岸線比較規(guī)整，因此，在自然岸線中，可以采用Beizer算法繪制Beizer曲線，使海岸線的繪制更加高精度化和自然化。

五、結(jié)束語

本文通過海岸線分形理論，計(jì)算出海岸線的分形維數(shù)，在總體上顯示海岸線的復(fù)雜程度，但也可以顯示海岸線采樣點(diǎn)的疏密程度。通過分形維數(shù)計(jì)算后，根據(jù)其分形維數(shù)大小，采用一定的方法進(jìn)行采樣點(diǎn)插值，可以增加采樣點(diǎn)數(shù)量，提高采樣點(diǎn)的密集程度，提高海岸線精度。Beizer曲線是精度比較高的插值算法，在數(shù)據(jù)處理中，可以采用二階或三階Beizer曲線。

Beizer曲線插值使海岸線測(cè)量精度大幅度提高，也使海岸線分形維數(shù)有一定程度提高。采樣點(diǎn)越多，則海岸線分形維數(shù)越高。對(duì)海岸線的分形維數(shù)進(jìn)行計(jì)算和插值，實(shí)現(xiàn)大型曲線的高精度數(shù)據(jù)，還可用于公路、境界和河流等地理實(shí)體的測(cè)量數(shù)據(jù)處理，對(duì)于地理信息數(shù)據(jù)采集有著重要的借鑒意義。

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