變指標(biāo)Herz型Hardy空間上的Littlewood-Paley算子

王洪彬，武怡宏

(淄博師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)理科學(xué)系，山東 淄博 255130)

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變指標(biāo)Herz型Hardy空間上的Littlewood-Paley算子

王洪彬，武怡宏

(淄博師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)理科學(xué)系，山東 淄博 255130)

應(yīng)用變指標(biāo)Herz型Hardy空間上的原子分解定理，證明了Littlewood-Paley算子在變指標(biāo)Herz型Hardy空間上的有界性。

Littlewood-Paley算子；變指標(biāo)；Herz型Hardy空間；有界性

在彈性力學(xué)、流體力學(xué)及其所涉及的偏微分方程研究中，很多情況下需要處理某些具有非標(biāo)準(zhǔn)局部增長條件的問題，其數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式為所謂具有變指標(biāo)的函數(shù)空間問題.隨著1991年Ková?ik和Rákosník的文章[1]出現(xiàn)后，近些年來，變指標(biāo)函數(shù)空間理論得到了迅速的發(fā)展，具有可積性指標(biāo)的Lebesgue空間和Sobolev空間被廣泛研究[2].之后人們相繼建立了變指標(biāo)Bessel位勢空間(即廣義變指標(biāo)Sobolev空間)[3]，變指標(biāo)Triebel-Lizorkin空間[4]，變指標(biāo)Herz空間[5]，變指標(biāo)Hardy空間[6]和變指標(biāo)Herz型Hardy空間[7]，對于調(diào)和分析中的重要算子及其交換子在上述空間中的研究也得到了豐富的成果.另外，關(guān)于這些空間的許多應(yīng)用也相繼被人們發(fā)現(xiàn)[8].本文應(yīng)用變指標(biāo)Herz型Hardy空間上的原子分解定理，證明了Littlewood-Paley算子在此空間中的有界性.

一、預(yù)備知識和記號

賦予如下Luxemburg-Nakano范數(shù)

‖f‖Lp(?)(Ω)=

則Lp(?)(Ω)是Banach空間, 稱之為變指標(biāo)Lebesgue空間, 或者可以簡單地看作是變指標(biāo)Lp空間, 因為它們推廣了標(biāo)準(zhǔn)的Lp空間: 如果p(x)=p是常數(shù), 那么Lp(?)(Ω)與Lp(Ω)是等距同構(gòu)的. 變指標(biāo)Lp空間是Musielak-Orlicz空間的一種特殊情形.

p-=essinf{p(x):x∈Ω}>1,p+=esssup{p(x):x∈Ω}<.記p′(x)=p(x)/(p(x)-1). 令Β(Ω)為p(·)∈Ρ(Ω)并使得Hardy-Littlewood極大算子M滿足Lp(?)(Ω)有界的指數(shù)函數(shù)p(·)的集合.

定義 1.1[5]令α∈, 0

在此基礎(chǔ)上我們給出變指標(biāo)Herz型Hardy空間的定義及其原子分解特征. 用S(n)表示n上的Schwartz空間, 它是由無窮可微且在無窮遠(yuǎn)處迅速遞減的函數(shù)所構(gòu)成的,S'(n)表示S(n)的對偶空間. 令GNf(x)為f(x)的grand極大函數(shù), 其定義為

其中ΑN=

定義 1.2[7]令α∈, 0n+1.

定義 1.3[7]令nδ2α<,

q(·)∈Ρ(n)且非負(fù)整數(shù)s≥[α-nδ2].

(2) ‖a‖Lq(·)(n)

(1)' 對某個r≥1有suppa?B(0,r).

引理 1.1[7]令nδ2α<, 0

其中下確界是對f的所有上述分解而取的.

其中下確界是對f的所有上述分解而取的.

在主要結(jié)論的證明中，我們還需要下面的幾個引理.

引理 1.2[1]令p(·)∈Ρ(n). 若f∈Lp(·)(n)且g∈Lp'(·)(n), 則fg在n上可積并且

其中rp=1+1/p--1/p+. 上述不等式被稱為廣義H?lder不等式.

引理 1.3[5]令p(·)∈Β(n). 則存在正常數(shù)C使得對所有n中的球B和所有可測子集S?B, 都有

其中δ1,δ2是常數(shù)且滿足0<δ1,δ2<1(注意在整篇文章中δ1, δ2都同引理1.3中的一樣).

引理 1.4[5]設(shè)p(·)∈Β(n). 則存在常數(shù)C>0使得對所有n中的球B, 都有

二、主要結(jié)論及證明

給定ε>0和函數(shù)ψ滿足下面三個條件：

定義Littlewood-Paley算子為

近來，Cruz-Uribe等人[9]給出了Littlewood-Paley算子的Lp(?)(n)有界性，下面我們將其推廣到變指標(biāo)Herz型Hardy空間中.

定理 令nδ2α

0

因此, 我們得

=:I1+I2.

(1)

我們首先估計I1. 由aj的消失矩條件和廣義H?lder不等式, 我們得

所以由引理1.2-1.4, 我們有

‖Sψ(aj)χk‖Lq(·)(n)C2jε-k(n+ε)

‖aj‖Lq(·)(n)‖χBj‖Lq'(·)(n)‖χk‖Lq(·)(n)

(2)

I1=

(3)

I1

(4)

現(xiàn)在我們來估計I2. 類似地, 我們考慮p的兩種情形. 當(dāng)0

I2=

(5)

I2C

(6)

結(jié)合(1)和(3)-(6), 我們有

因此, 定理得證.

[1]Kovácik O, Rákosník J. On spaces Lp(x)and Wk,p(x)[J]. Czechoslovak Math J, 1991, 41(4): 592-618.

[2]Diening L, Harjulehto P, H?st? P, et al. Lebesgue and Sobolev spaces with variable Exponents[M]. Heidelberg: Springer, Lecture Notes in Math, vol. 2017, 2011.

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[9] Cruz-Uribe D, SFO, Fiorenza A, Martell J M, et al. The boundedness of classical operators on variable Lpspaces[J]. Ann Acad Sci Fen Math, 2006, 31, 239-264.

(責(zé)任編輯：胡安波)

By the atomic decomposition theorem,we prove that Littlewood-paley operators are bawded on the Herz-type Hardy spaces with variable exponent.

Littlewood-Paley operator; variable exponent; Herz-type Hardy space; boundedness

2014-12-04

王洪彬(1981-)男，山東淄博人，博士，淄博師專數(shù)理系教師，主要從事調(diào)和分析方向研究；武怡宏(1986-)女，山東濰坊人，碩士，淄博師專招生就業(yè)處教師，主要從事英語教育研究。

注：本文為淄博師范高等?？茖W(xué)校課題“變指標(biāo)Herz型空間中算子的有界性”[13xk023]的階段性研究成果。

O174.2

A

(2015)02-0071-04