一類帶脈沖呼吸系統(tǒng)疾病模型的周期解的存在性

曾曉云, 侯成敏, 胡正高

( 1.海軍航空工程學(xué)院 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)研究所, 山東 煙臺 264001; 2.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 吉林 延吉 133002; 3.海軍航空工程學(xué)院 控制工程系, 山東 煙臺 264001 )

一類帶脈沖呼吸系統(tǒng)疾病模型的周期解的存在性

曾曉云1, 侯成敏2*, 胡正高3

( 1.海軍航空工程學(xué)院 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)研究所, 山東 煙臺 264001; 2.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 吉林 延吉 133002; 3.海軍航空工程學(xué)院 控制工程系, 山東 煙臺 264001 )

研究了具有脈沖效應(yīng)的呼吸系統(tǒng)疾病模型,首先運(yùn)用不等式技巧給出了該系統(tǒng)解的先驗(yàn)上界估計(jì),其次運(yùn)用迭合度理論中的延拓定理,得到了該系統(tǒng)至少存在一個(gè)正周期解的充分條件.

脈沖; 正周期解; 迭合度; 呼吸系統(tǒng)

1 問題的提出

Mackey等[1]將非線性時(shí)滯微分方程

(1)

(2)

其中m與n是正整數(shù), V與λ是周期為ω的正周期函數(shù)，并得到了方程(2)正周期解存在和全局吸引的充分條件.事實(shí)上,任何生物或環(huán)境參數(shù)都隨時(shí)間變化,假設(shè)時(shí)滯是常數(shù)并不現(xiàn)實(shí).基于此，Chen等[3]給出了方程(2)的修正形式：

(3)

并得到了方程(3)正周期解存在和全局吸引的充分條件.在生態(tài)系統(tǒng)變化過程中,許多進(jìn)化過程經(jīng)過一段平穩(wěn)變化后會(huì)發(fā)生突變，如年度捕獲和放養(yǎng)的物種以及年度遷移的物種等，于是學(xué)者們引入了脈沖微分方程[4].考慮到環(huán)境的周期性及脈沖擾動(dòng)的影響,本文研究下述具有脈沖效應(yīng)的呼吸系統(tǒng)疾病模型：

(4)

并對系統(tǒng)(4)做如下假設(shè)：

基于生物學(xué)意義,只需考慮系統(tǒng)(4)的正解.作變換x(t)=1/y(t), 則系統(tǒng)(4)化為下述非線性時(shí)滯脈沖微分方程

(5)

2 主要結(jié)果及其證明

定義1 稱函數(shù)y∈([-τ,∞),(0,∞))是系統(tǒng)(5)在[-τ,∞)的一個(gè)解,若滿足:

(i) y(t)在(0,t1]上且在每個(gè)區(qū)間(tk,tk+1]上絕對連續(xù),其中k=1,2,…;

引入下列引理：

引理1[5]集合F?PC([0,T],Rn)是相對緊的當(dāng)且僅當(dāng)：

(i) F是有界的,即對每一x∈F和常數(shù)l>0, 有‖x‖≤l;

(ii) F在區(qū)間[0,T]上是擬等度連續(xù)的.

定理1 對系統(tǒng)(5)的初值φ(0)>0來說,系統(tǒng)(5)的所有解滿足y(t)>0.

證明 對?t>0, 存在k∈N, 使t∈(tk-1,tk], 并且有

定理2 若條件(A1)和(A2)成立,且滿足以下條件:

則系統(tǒng)(5)至少存在一個(gè)正ω-周期解.

證明 由定理1知系統(tǒng)(5)的所有解y(t)>0, 因此可對系統(tǒng)(5)做如下變換：

(6)

從而系統(tǒng)(5)變成如下形式

(7)

下面尋找滿足引理1的合適有界開子集Ω.考慮算子方程Lx=λNx, λ∈(0,1), 即

(8)

假設(shè)對λ∈(0,1), x∈X是方程(8)的解,在區(qū)間[0,ω]上對方程(8)積分可得

從而

(9)

由(8)和(9)式可得

即

(10)

進(jìn)一步,對任意ζ∈[0,ω]有下述不等式成立：

(11)

(12)

由于x∈X, 從而存在ξ,η∈[0,ω]使得

(13)

因此,從(9)和(13)式可得

(14)

進(jìn)而,由(9)和(13)式可得

(15)

由(14)和(15)式可得

(16)

定義φ∶Dom L×[0,1]→X為

φ(x,μ)≠0,?x∈(?Ω∩Ker L)×[0,1].

因而Ω滿足引理1的所有條件,所以系統(tǒng)(7)至少存在一個(gè)ω-周期解.由(6)式可知,系統(tǒng)(5)至少存在一個(gè)正ω-周期解.證畢.

[1] Mackey M C, Glass L. Oscillation and chaos in physiological control system[J]. Science, 1977,197:287-289.

[2] Saker S H, Agarwal S. Oscillation and global attractivity in a nonlinear delay periodic model of respiratory dynamics[J]. Comput Math Appl, 2002,44(5/6):623-632.

[3] Chen Y, Huang L. Existence and global attractivity of a positive periodic solution of a delayed periodic respiration model[J]. Computers and Mathematics with Applications, 2005,49(5):677-687.

[4] Bainov D, Simeonov P. Impulsive Differential Equations: Periodic Solutions and Applications[M]. Harlow: Longman Scientific & Technical, 1993.

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[6] Wang W T. Positive pseudo almost periodic solutions for a class of differential iterative equations with biological background[J]. Appl Math Lett, 2015,46:106-110.

[7] Zhang H, Wang L, Yang M. Existence and exponential convergence of the positive almost periodic solution for a model of hematopoiesi[J]. Appl Math Lett, 2013,26:38-42.

Existence of periodic solutions for a respiratory diseases model with impulse

ZENG Xiaoyun1, HOU Chengmin2*, HU Zhenggao3

( 1.InstituteofSystemsScienceandMathematic,NavalAeronauticalandAstronauticalUniversity,Yantai264001,China; 2.DepartmentofMathematics,CollegeofScience,YanbianUniversity,Yanji133002,China; 3.DepartmentofControlEngineering,NavalAeronauticsandAstronauticsUniversity,Yantai264001,China)

A respiratory diseases model with impulsive effects is investigated in this paper. A prior upper bound estimation for the solution of the system is given firstly. Using Gaines and Mawhin’s continuation theorem from coincidence degree theory, we obtain the sufficient condition which ensures the system have at least one positive periodic solution.

impulse; positive periodic solution; coincidence degree; respiratory dynamics

2014-12-11 基金項(xiàng)目： 國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11161049)

1004-4353(2015)01-0005-05

O175.13

A

*通信作者： 侯成敏(1963—)，女，教授，研究方向?yàn)槲⒎址匠汤碚摷捌鋺?yīng)用.