改進(jìn)的主成分聚類分析法在教育信息化中的應(yīng)用

張文宇++王秀秀++任露++馬月

摘要：隨著的多媒體教學(xué)的應(yīng)用和發(fā)展，為了有效利用高校教育信息化系統(tǒng)中保存的大量信息，進(jìn)而對(duì)教學(xué)情況進(jìn)行科學(xué)合理地評(píng)估，本文提出了改進(jìn)的主成分聚類分析法并構(gòu)建了基于此方法的學(xué)生成績(jī)綜合評(píng)價(jià)模型。首先對(duì)原始數(shù)據(jù)集進(jìn)行了變換處理，再對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行預(yù)處理，進(jìn)而結(jié)合系統(tǒng)聚類法對(duì)綜合主成分結(jié)果進(jìn)行系統(tǒng)聚類，最后對(duì)某高校學(xué)生成績(jī)綜合評(píng)價(jià)進(jìn)行了改進(jìn)的模型驗(yàn)證。仿真結(jié)果正確可靠，表明了此方法在教育信息化中應(yīng)用的有效性，最終為教育教學(xué)管理者提供了決策支持。

關(guān)鍵詞：教育信息化；綜合評(píng)價(jià)；改進(jìn)主成分分析法；SPSS仿真

中圖分類號(hào)：TP391.41

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

DOI： 10.3969/j.issn.1003-6970.2015.07.003

0 引言

教育信息化是教學(xué)改革的技術(shù)支持和強(qiáng)大動(dòng)力，它對(duì)教育質(zhì)量的提高也有著不可忽視的意義。教育信息化系統(tǒng)能夠有效管理教育信息化過(guò)程中積累的大量信息，本文根據(jù)系統(tǒng)信息的采集與分類，客觀地評(píng)價(jià)學(xué)生成績(jī)的實(shí)際情況，從而更好地方便教育管理者掌握教學(xué)動(dòng)態(tài)過(guò)程。

目前，數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)中使用范圍最廣、頻率最高的要數(shù)主成分分析法、關(guān)聯(lián)規(guī)則和聚類法。與此相對(duì)應(yīng)，應(yīng)用于國(guó)內(nèi)外的教育科研分析中的數(shù)據(jù)挖掘方法主要也是以上幾種。但由于在學(xué)生成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)過(guò)程中指標(biāo)繁多，以及指標(biāo)之間存在一定程度的重疊性和干擾性，加大了評(píng)價(jià)的難度；但這些方法容易受到評(píng)價(jià)者主觀因素的影響；運(yùn)用單一的主成分分析法在評(píng)價(jià)樣本繁多、指標(biāo)復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)會(huì)造成評(píng)價(jià)結(jié)果的不合理性。因此，筆者提出采用改進(jìn)的主成分聚類分析法構(gòu)建綜合評(píng)價(jià)模型，進(jìn)行學(xué)生成績(jī)綜合評(píng)價(jià)，該模型能夠客觀地反映樣本的實(shí)際情況，克服主觀因素的影響，為教育管理者提供可靠的指導(dǎo)依據(jù)。

1 主成分分析的基本思想

主成分分析是指將多個(gè)變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個(gè)變量的過(guò)程，其中轉(zhuǎn)換之后的這幾個(gè)變量包含了原變量的信息，且彼此之間互相獨(dú)立，通過(guò)轉(zhuǎn)換之后的變量能夠線性地表示原始變量。它能將原本多維的變量空間轉(zhuǎn)換為較低維的綜合指標(biāo)問(wèn)題，并將反映最大信息量的綜合指標(biāo)列為第一主成分，其次為第二、第三主成分。主成分的個(gè)數(shù)一般按照需要體現(xiàn)的原始信息的百分比來(lái)確定，得到的主成分之間是相互獨(dú)立的。

傳統(tǒng)的主成分分析法步驟如下：

設(shè)有n個(gè)樣本，每個(gè)樣本均有p個(gè)描述指標(biāo)X₁，X₂，……，XP，原始數(shù)據(jù)矩陣為：X=（X_ij）_n*p

Stepl：標(biāo)準(zhǔn)化處理。由于選取的指標(biāo)存在量綱和數(shù)量級(jí)上的差異，為了使綜合評(píng)價(jià)的結(jié)果客觀合理，在進(jìn)行主成分分析前，需要進(jìn)行無(wú)量綱化處理。一般采用均值化法進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。

Step2：主成分分析標(biāo)準(zhǔn)化處理后的指標(biāo)，得到相關(guān)系數(shù)矩陣：R=（rij）PxP。

Step3：解特征方程： ，并求特征值 和特征向量

Step4：計(jì)算各主要成分的方差貢獻(xiàn)率ak和累計(jì)方差貢獻(xiàn)率a（k）。其中，ak表示第k個(gè)主成分提取原始p個(gè)指標(biāo)的信息量，a（k）表示前k個(gè)主成分保留的原始變量指標(biāo)的信息量。

Step5：確定主成分的個(gè)數(shù)：一般取用累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到85%以上的特征值所對(duì)應(yīng)的第一、第二、…、第m個(gè)主成分。

Step6：計(jì)算前m個(gè)主成分的得分。其中，

2 改進(jìn)的主成分聚類分析方法

采用主成分分析方法進(jìn)行數(shù)據(jù)挖掘時(shí)，獲得的原始數(shù)據(jù)集可能存在非線性關(guān)系，或者樣本之間的數(shù)量級(jí)不統(tǒng)一，為了保證原始數(shù)據(jù)集的完整性以及分析結(jié)果的可靠性，改進(jìn)的主成分聚類分析法首先對(duì)原始數(shù)據(jù)集進(jìn)行了變換處理，在此基礎(chǔ)上通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化、均值化或極值化統(tǒng)一量綱或數(shù)量級(jí)。

2.1 對(duì)非線性數(shù)據(jù)的線性化處理

主成分分析法的原理是利用降維思想將多個(gè)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為幾個(gè)綜合指標(biāo)。傳統(tǒng)的方法采用的是線性變換，但是在實(shí)際問(wèn)題研究時(shí)，如果樣本指標(biāo)變量間的相關(guān)性不高，主成分的降維效果也不明顯，為了保證原始數(shù)據(jù)的完整性以及綜合評(píng)價(jià)模型的可靠性，需要對(duì)變量可能存在非線性關(guān)系的原始數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行變換處理，本文采用對(duì)數(shù)中心變換法進(jìn)行源數(shù)據(jù)的處理。該方法可理解為對(duì)源數(shù)據(jù)的“幾何平均合成”后的對(duì)數(shù)表示0。

2.2 評(píng)價(jià)指標(biāo)的預(yù)處理

利用主成分分析方法來(lái)做綜合評(píng)價(jià)的原理是通過(guò)樣本數(shù)據(jù)的協(xié)方差或是相關(guān)系數(shù)矩陣來(lái)分析源數(shù)據(jù)的主成分，進(jìn)而據(jù)此盡可能多的反映原變量的信息。然而無(wú)論是協(xié)方差還是相關(guān)系數(shù)矩陣都很容易受到指標(biāo)數(shù)量級(jí)以及量綱的影響，所以如何選擇合適的方法來(lái)預(yù)處理原始信息就顯得尤為重要，但這同時(shí)就削弱了源數(shù)據(jù)中各樣本的差異性，針對(duì)以上這個(gè)問(wèn)題本文首先從評(píng)價(jià)指標(biāo)的預(yù)處理方面來(lái)改進(jìn)主成分分析方法。

對(duì)原始數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行的無(wú)量綱化處理后的數(shù)據(jù)矩陣可以表示為 和 分別為指標(biāo)矩陣對(duì)應(yīng)的方差， 為指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)，其中相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為：

原始指標(biāo)之間的相互關(guān)系依賴于原指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)，而在本文中，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)的極值化變換、均值化變換以及標(biāo)準(zhǔn)化變換，使得原指標(biāo)相關(guān)系數(shù)未發(fā)生改變，因而原始指標(biāo)之間的相互關(guān)系也因此未發(fā)生變化。因此采取以下方法來(lái)選取主成分原始指標(biāo)的處理方法。

令A(yù)為選取主成分原始指標(biāo)處理方法的函數(shù)，其中a₁、a₂、a₃分別表示數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化值、數(shù)據(jù)均值化值、數(shù)據(jù)極值化值，則

（1）數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理

令 ，得到標(biāo)準(zhǔn)化處理后的相關(guān)系數(shù)矩陣為：

（2）數(shù)據(jù)的均值化的處理：

令 ，于是得到均值化處理后的相關(guān)系數(shù)為：

通過(guò)均值化處理各指標(biāo)間的相關(guān)系數(shù)不會(huì)發(fā)生改變，因此選取均值化方法處理源數(shù)據(jù)可以在保證數(shù)據(jù)無(wú)量綱的同時(shí)原始數(shù)據(jù)的變異程度不會(huì)發(fā)生變化，可以更生動(dòng)地反映數(shù)據(jù)樣本的實(shí)際情況。

通過(guò)均值化處理，數(shù)量級(jí)和量綱對(duì)指標(biāo)的影響不僅得到了消除，同時(shí)還使得樣本的所有信息得到了保留。

令 ，則可得出相關(guān)系數(shù)矩陣：

2.3 綜合評(píng)價(jià)聚類分析

本論文構(gòu)建綜合評(píng)價(jià)模型時(shí)采用改進(jìn)的主成分聚類分析法，首先利用主成分分析法降低原始指標(biāo)的維度，得出相互獨(dú)立的主成分，再對(duì)其結(jié)果進(jìn)行聚類分析，通過(guò)這兩種方法的結(jié)合可以有效避免單一方法評(píng)價(jià)的不合理性。

系統(tǒng)聚類法是一種多元統(tǒng)計(jì)方法，它將變量或者樣品按照其性質(zhì)上的相似關(guān)系進(jìn)行分類從而分析評(píng)價(jià)變量。它的優(yōu)點(diǎn)是可以得到良好的分類結(jié)果在不了解分類對(duì)象的分類結(jié)構(gòu)的情況下，且這些劃分出來(lái)的子集中的點(diǎn)都高度的內(nèi)在相似。然而其主要的缺陷是無(wú)法對(duì)各類之間的優(yōu)劣程度進(jìn)行評(píng)價(jià)。而主成分分析法卻可以較輕松地綜合評(píng)價(jià)多指標(biāo)體系在僅有少量數(shù)據(jù)的前提下，但其缺點(diǎn)是僅使用q個(gè)主成分對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行全面評(píng)價(jià)并不客觀，在實(shí)踐中無(wú)法避免其片面性，因而評(píng)價(jià)結(jié)果與事實(shí)或多或少會(huì)出現(xiàn)差距?；趦烧叩奶攸c(diǎn)，在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)時(shí)可以將這兩種方法結(jié)合起來(lái)使用。

本文中，首先采用“對(duì)數(shù)中心變換法”的主成分分析法來(lái)對(duì)原始數(shù)據(jù)信息進(jìn)行分析，然后利用聚類方法來(lái)分析若干個(gè)主成分，再對(duì)樣品在每個(gè)聚類類別進(jìn)行分類排序并參照q個(gè)主成分的排序結(jié)果的改進(jìn)的主成分聚類分析方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。

本文采用離差平方和法對(duì)選定的新數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類分析。離差平方和法是在分類正確的情況下，不同類樣本之間的離差平方和S較大，而同類樣本之間的離差平法和則較小?；镜牟襟E是首先視n個(gè)樣本為一類，然后逐次縮小類的數(shù)量。類的個(gè)數(shù)每縮小一次，S的值就應(yīng)該增大，然后再逐次合并使S增加最小的兩類，以此類推直至所有樣本被歸類完畢。然后計(jì)算每類變量的所有均值，接著計(jì)算每個(gè)樣本的類均值距離平方，最后再求得所有樣本的距離之和。

假定n個(gè)樣本被分為k類，分別為G₁，G₂.，.，G_k，n_t表示類G_t中樣本的個(gè)數(shù)，x_it表示G_t中的第i個(gè)樣本的變量指標(biāo)值向量，xt表示Gt的重心，則Gt中樣本的離差平均和公式和全部類內(nèi)離差平方和公式分別如下所示：

在實(shí)踐應(yīng)用中，因?yàn)槠浞诸愋Ч^好，離差平方和方法的應(yīng)用較為普遍。

3 基于改進(jìn)的主成分聚類分析方法的基本步驟

基于改進(jìn)的主成分聚類分析法的基本步驟如下：

Stepl：采用對(duì)數(shù)中心變換法變換處理原始數(shù)據(jù)集。

Step2：根據(jù)具體實(shí)例，選取三種評(píng)價(jià)指標(biāo)的預(yù)處理方法的一種統(tǒng)一原始數(shù)據(jù)集，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化、均值化或極值化處理。

Step3：根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)，建立關(guān)于P個(gè)指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)矩陣R。

Step4：求得相關(guān)系數(shù)矩陣R的特征值和特征向量。

Step5：分別計(jì)算每個(gè)主成分的方差貢獻(xiàn)率a_k，并據(jù)此求得累積方差貢獻(xiàn)率a（k）。

Step6：確定主成分的個(gè)數(shù)。

理論上來(lái)說(shuō)是要求以較少的主成分實(shí)現(xiàn)最大程度的表示原始指標(biāo)變量的信息量.其實(shí)質(zhì)是在k和a_k之間進(jìn)行權(quán)衡：一是，要求k盡可能地??；二是，要求a_k盡可能的大。

Step7：求各主成分函數(shù)的表達(dá)式

主成分函數(shù)表達(dá)式為：

其中初始因子載荷矩陣每列的系數(shù)除以它們相應(yīng)的特征根后開(kāi)平方后得到 表示標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)，i=l，2，…，k。

Step8：計(jì)算綜合主成分值

通常在進(jìn)行綜合時(shí)選取加權(quán)算術(shù)平均法，以各個(gè)主成分的方差貢獻(xiàn)率ak為權(quán)重，以此求出各個(gè)樣本的主成分綜合評(píng)價(jià)得分，具體公式為：F=a₁F₁+a₂F₂+…+a_kF_k

Step9：主成分指標(biāo)聚類

對(duì)于選定的新數(shù)據(jù)陣（F₁，F(xiàn)₂，¨，F(xiàn)_i），對(duì)上述主成分分析的結(jié)果采用聚類分析法進(jìn)行處理。再結(jié)合綜合成分得分，以此確定樣品在各類中的排序，最后得到綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。

通過(guò)以上基本步驟，得到綜合評(píng)價(jià)結(jié)果，最終為原始數(shù)據(jù)集樣本對(duì)象的綜合比較和排序分析提供了模型和方法依據(jù)。

4 學(xué)生成績(jī)綜合評(píng)價(jià)模型實(shí)例仿真

4.1 模型建立

（1）數(shù)據(jù)收集

學(xué)生成績(jī)綜合評(píng)價(jià)模塊所采用的原始數(shù)據(jù)是某高校12級(jí)電商專業(yè)所有畢業(yè)生的大學(xué)成績(jī)，包含的數(shù)據(jù)信息有學(xué)號(hào)、課程名稱、學(xué)分、成績(jī)等，其中包含了72個(gè)學(xué)生的22門(mén)課程信息。

（2）數(shù)據(jù)預(yù)處理

剔除不相關(guān)數(shù)據(jù)樣本。原始數(shù)據(jù)集中的學(xué)分、平時(shí)成績(jī)、課程性質(zhì)、績(jī)點(diǎn)、學(xué)院班級(jí)對(duì)學(xué)生特征分析模塊的分析研究沒(méi)有任何意義，所以去除。

（3）類似數(shù)據(jù)項(xiàng)合并

在原始數(shù)據(jù)集中存在類似數(shù)據(jù)項(xiàng)，例如，大學(xué)英語(yǔ)I和大學(xué)英語(yǔ)II、高等數(shù)學(xué)CI和高等數(shù)學(xué)CII、體育I和體育II，對(duì)于這些類似數(shù)據(jù)項(xiàng)通過(guò)平均值二合一（四舍五人取整），對(duì)軍事理論、中國(guó)近現(xiàn)代史綱要、思想道德修養(yǎng)與法律基礎(chǔ)以及合并之后的形式與政策，同樣采用平均值的方法進(jìn)行合并，通過(guò)類似項(xiàng)合并后，得到15門(mén)課程。

（4）數(shù)據(jù)數(shù)值化

在原始數(shù)據(jù)集中，計(jì)算機(jī)操作和認(rèn)識(shí)實(shí)習(xí)的成績(jī)是通過(guò)優(yōu)秀、良好、中等、及格來(lái)表示的，在數(shù)據(jù)預(yù)處理過(guò)程中，將其轉(zhuǎn)化為百分制，分別為90、80、70、60。采用SPSS進(jìn)行主成分分析，構(gòu)建學(xué)生教育評(píng)價(jià)模型，具體實(shí)例仿真過(guò)程及結(jié)果分析如下所述。

4.2 實(shí)例仿真

（1）指標(biāo)選取

該模塊主要是利用某高校電商12級(jí)學(xué)生的成績(jī)，對(duì)所有學(xué)生進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)分析，所以采用的指標(biāo)是電商的所有課程。

（2）對(duì)于原始數(shù)據(jù)集指標(biāo)變換及評(píng)價(jià)指標(biāo)的預(yù)處理，本文采用均值化方法。

（3）求經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后的原始數(shù)據(jù)集的相關(guān)矩陣，及其相關(guān)矩陣的特征根。

（4）確定主成分的個(gè)數(shù)

如圖1所示是由第2步求得到的方差貢獻(xiàn)率和其相關(guān)系數(shù)矩陣的特征根，由于前5個(gè)主成分貢獻(xiàn)率為72.825%，能夠很好地反映總體指標(biāo)，同時(shí)考慮圖2中的變量不出現(xiàn)損失，因此提取的主成分個(gè)數(shù)為5。

圖2所示的是初始因子載荷矩陣，可知，在第一個(gè)因子上所有課程都具有相對(duì)較高的載荷，大學(xué)英語(yǔ)、網(wǎng)頁(yè)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)、體育、認(rèn)識(shí)實(shí)習(xí)、電子商務(wù)概論、計(jì)算機(jī)操作以及思想理論在第二個(gè)因子上有較高的載荷，第三至第五的因子載荷與此類似，正數(shù)說(shuō)明載荷較高，能更好的反映所對(duì)應(yīng)的指標(biāo)課程。

（5）確定主成分函數(shù)的表達(dá)式

主成分系數(shù)向量是由圖2中的每列的系數(shù)與其特征根之商開(kāi)根后得到。計(jì)算主成分函數(shù)的表達(dá)式如下，

（6）計(jì)算綜合主成分值

由上述矩陣計(jì)算，得到的5個(gè)主成分函數(shù)，分別反映了不同的課程指標(biāo)信息，最后得出綜合主成分公式：F=0.0.46Fl+0.0 8F2+0.068F3 +0.063 F4+0.05 7F5

通過(guò)改進(jìn)的主成分聚類分析方法可以求出電商12級(jí)學(xué)生的主成分綜合值。同時(shí)對(duì)這些學(xué)生按照他們的綜合主成分值進(jìn)行排序，部分結(jié)果如表1所示，可知，學(xué)號(hào)為4、5、62的同學(xué)綜合主成分得分較高，說(shuō)明這三名學(xué)生的綜合成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)較高，同時(shí)可以看出影響每個(gè)學(xué)生綜合評(píng)價(jià)的5個(gè)主成分值。

分析不同的主成分，挖掘?qū)W生綜合評(píng)價(jià)的具體影響因素，并針對(duì)具體問(wèn)題提出解決方法。

（7）對(duì)綜合主成分值進(jìn)行系統(tǒng)聚類并進(jìn)行評(píng)價(jià)與分析

利用SPSS軟件對(duì)主成分得分進(jìn)行進(jìn)一步的聚類分析，同時(shí)參考各類中每個(gè)同學(xué)的綜合主成分均值以此對(duì)類進(jìn)行排序。參照類中每個(gè)學(xué)生成績(jī)的綜合主成分得分，確定每個(gè)同學(xué)在各類中的排名，最終得到綜合的評(píng)價(jià)結(jié)果。系統(tǒng)聚類圖如圖3所示，

求得這五類中樣本的平均得分并排序：第一類{4、5、62、64}；第二類{61、27、7、12}；第三類{21、65、70、1、13、28}；第四類{24、38、50、34、47、18、51}；第五類{63、29、59、55}。

由分析結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)號(hào)為4、5、62、64的同學(xué)綜合得分較高，被聚成一類，對(duì)比原始成績(jī)可以發(fā)現(xiàn)，這些同學(xué)的原始得分均較高，為班級(jí)表現(xiàn)比較突出的同學(xué)，與實(shí)際情況相符；學(xué)號(hào)為61、27、7、12的同學(xué)表現(xiàn)次之，與實(shí)際情況相符；與傳統(tǒng)的主成分分析相比，改進(jìn)的主成分聚類分析方法能夠在很大程度上克服主觀因素的影響，同時(shí)在對(duì)原始信息的處理中采用了變換和均值化處理方法，使挖掘的結(jié)果更加準(zhǔn)確，在此基礎(chǔ)上運(yùn)用聚類分析方法，將成績(jī)相似的同學(xué)聚為一類，為準(zhǔn)確評(píng)估學(xué)生的整體水平和有針對(duì)性的尋求解決方案提供更可靠的依據(jù)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在傳統(tǒng)主成分分析法的基礎(chǔ)上改進(jìn)了數(shù)據(jù)的預(yù)處理及最后的綜合評(píng)價(jià)過(guò)程，并建立了基于改進(jìn)的主成分聚類分析方法的學(xué)生成績(jī)綜合評(píng)價(jià)模型，最后以某高校學(xué)生信息為挖掘目標(biāo)，以規(guī)范化的方式對(duì)相關(guān)信息進(jìn)行了統(tǒng)一處理，且應(yīng)用SPSS軟件進(jìn)行了實(shí)例仿真，將原有課程的15個(gè)指標(biāo)綜合成了5個(gè)指標(biāo)的評(píng)價(jià)體系，更好的反映了學(xué)生的綜合成績(jī)，克服了傳統(tǒng)方法的不足，為教學(xué)研究管理以及學(xué)生的綜合評(píng)價(jià)提供了依據(jù)，并且說(shuō)明了在教育信息化中應(yīng)用數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)的有效性，教育信息化的發(fā)展逐漸需要數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)作為支撐，此方法的應(yīng)用對(duì)于后續(xù)研究教育信息化以及相關(guān)實(shí)踐教學(xué)具有指導(dǎo)性意義。