基于三次Bezier曲線逼近的邊緣亞像素定位方法

劉成志++李軍成++楊煉

摘要：圖像邊緣定位是圖像處理研究的一大熱點(diǎn)問題，近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要集中于對(duì)邊緣亞像素定位方法的研究。本文研究了基于三次Bezier曲線逼近的圖像邊緣亞像素定位方法。首先利用傳統(tǒng)邊緣檢測(cè)算子對(duì)邊緣點(diǎn)位置進(jìn)行粗定位，獲得邊緣點(diǎn)的大致位置；然后以邊緣點(diǎn)為中心取若干點(diǎn)作為考察點(diǎn)，利用三次Bezier曲線去逼近所假設(shè)的邊緣函數(shù)以獲取圖像邊緣的亞像素定位。該方法通過粗、精兩次定位能較快獲得邊緣的亞像素位置，具有定位精度較高，計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：三次B ezier曲線；Sobel算子；亞像素定位；精定位

中圖分類號(hào)：TP391.4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

DOI： 10.3969/j.issn.1003-6970.2015.07.007

0 引言

在圖像邊緣定位中，常用的方法都是以像素為單位利用一階或二階微分算子進(jìn)行處理，如Rebort算子、Sobel算子、Prewitt算子、LOG算子和Canny算子等。然而，隨著工業(yè)生產(chǎn)的精度越來越高，像素級(jí)的邊緣定位已無法滿足實(shí)際的需要，許多學(xué)者開始致力于邊緣亞像素定位方法的研究。目前，常用的邊緣亞像素定位方法可分為三類：矩法、插值法和擬合（逼近）法。矩法是根據(jù)圖像的空間矩、灰度矩、質(zhì)心及局部能量等保持不變的特性，通過像素灰度值和邊緣的灰度分布計(jì)算不同統(tǒng)計(jì)量來實(shí)現(xiàn)邊緣的亞像素定位。利用矩法進(jìn)行邊緣亞像素定位時(shí)定位精度較高，但其主要采用模板卷積方式，導(dǎo)致其計(jì)算速度較慢。插值法是根據(jù)圖像邊緣附近像素點(diǎn)的灰度值或灰度值的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行插值，通過增加信息量來實(shí)現(xiàn)亞像素邊緣檢測(cè)。利用插值法進(jìn)行亞像素邊緣檢測(cè)時(shí)計(jì)算速度較快，但其定位依賴于相鄰像素間的灰度值及坐標(biāo)，定位精度不高。擬合（逼近）法可具體分為兩種類型：一種是根據(jù)假設(shè)的邊緣函數(shù)，利用圖像邊緣灰度值擬合（逼近）邊緣函數(shù)實(shí)現(xiàn)邊緣的亞像素定位，主要有多項(xiàng)式擬合法、B樣條擬合法、非線性擬合法等；另一種則是根據(jù)假設(shè)的邊緣灰度值變化函數(shù)，利用圖像邊緣灰度差分值擬合（逼近）邊緣變化函數(shù)來實(shí)現(xiàn)邊緣的亞像素定位，主要有二次多項(xiàng)式擬合法、高斯曲線擬合法等。利用擬合法進(jìn)行亞像素邊緣檢測(cè)時(shí)，其定位精度較高，計(jì)算速度比矩法快。

由于擬合法在速度和精度間達(dá)到了一定的平衡，通過粗、精兩次定位可較快獲得邊緣的亞像素位置，因此是一種較為合適的邊緣亞像素定位方法。然而，目前利用擬合（逼近）法進(jìn)行邊緣亞像素定位時(shí)，大多采用代數(shù)曲線作為擬合（逼近）工具，而鮮有采用參數(shù)曲線作為擬合（逼近）工具的研究。為此，本文主要研究了一種基于三次Bezier曲線逼近的邊緣亞像素定位方法。

1 基于三次Bezier曲線逼近的邊緣亞像素定位

1.1 邊緣亞像素定位的基本原理

利用三次Bezier曲線逼近進(jìn)行亞像素邊緣檢測(cè)的步驟是：首先利用傳統(tǒng)邊緣檢測(cè)算子對(duì)邊緣點(diǎn)位置進(jìn)行粗定位，獲得邊緣點(diǎn)的大致位置；然后以邊緣點(diǎn)為中心沿邊緣點(diǎn)方向取若干點(diǎn)（一般為3～4個(gè)）作為考察點(diǎn)；最后利用三次Bezier曲線去逼近所假設(shè)的邊緣函數(shù)或邊緣變化函數(shù)，通過對(duì)三次Bezier逼近曲線求導(dǎo)獲取邊緣的精定位，從而實(shí)現(xiàn)圖像邊緣的亞像素定位。利用三次Bezier逼近進(jìn)行亞像素邊緣檢測(cè)的基本過程如圖1所示。

1.2 邊緣的粗定位與取點(diǎn)

所謂邊緣的粗定位，是指利用傳統(tǒng)邊緣檢測(cè)方法確定邊緣點(diǎn)的大致位置。傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)有Rebort算子、Sobel算子、Prewitt算子、LOG算子和Canny算子等，在利用傳統(tǒng)檢測(cè)算子對(duì)邊緣進(jìn)行粗定位時(shí)，其優(yōu)缺點(diǎn)對(duì)比如表1所示。

由表1可知，利用傳統(tǒng)檢測(cè)算子進(jìn)行邊緣粗定位時(shí)，在速度、精度及噪聲抑制方面不能同時(shí)得到滿足。雖然Sobel算子對(duì)邊緣的粗定位精度不夠高，由于在空間上容易實(shí)現(xiàn)，邊緣檢測(cè)效果較好且對(duì)噪聲具有一定的平滑作用，因此本文將Sobel算子選作邊緣的粗定位算子。

對(duì)于數(shù)字圖像f（x，y），傳統(tǒng)Sobel算子從水平和垂直兩個(gè)方向，利用像素點(diǎn)上下、左右鄰點(diǎn)的灰度加權(quán)算法，根據(jù)在邊緣點(diǎn)達(dá)到極值實(shí)現(xiàn)邊緣檢測(cè)，其模板如圖2所示。

適當(dāng)選取某一閾值TH，當(dāng)S（i，j）>TH時(shí)，將（i，j）視為邊緣點(diǎn)，同時(shí)也可判斷出邊緣方向。利用Sobel算子獲得粗定位邊緣像素點(diǎn)后，以邊緣點(diǎn)為中心，沿邊緣方向的兩側(cè)各拓展2個(gè)像素點(diǎn)，得到長(zhǎng)度為5的邊緣灰度值向量。

1.3 基于三次Bezier曲線逼近的邊緣精定位

利用Sobel算子對(duì)一幅數(shù)字圖像的邊緣進(jìn)行粗定位處理后，得到粗定位邊緣像素點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的灰度值向量組{G₁，G₂，…，G_n}，對(duì)邊緣灰度值向量G_i（i=1，2，…n）作三次Bezier曲線逼近，可通過求逼近多項(xiàng)式的二階導(dǎo)來獲得精定位邊緣點(diǎn)。

作為一種優(yōu)秀的曲線造型工具，Bezier曲線已在諸多領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用。一般地，函數(shù)形式的n次Bezier曲線可表示為

其中 為給定的值。

給定連續(xù)函數(shù) 并取 ，則由式（1）定義的函數(shù)形式的n次Bezier曲線又稱為n次Bernstein多項(xiàng)式。由Weierstrass逼近定理可知，在區(qū)間[0，1]上可用B ernstein多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)廠（t），且可達(dá)到任意精度。但由于隨著逼近精度的提高，Bernstein多項(xiàng)式的次數(shù)也相應(yīng)提高，會(huì)存在計(jì)算不穩(wěn)定的問題，因此在實(shí)際應(yīng)用中，要根據(jù)實(shí)際情況合理選擇Bernstein多項(xiàng)式的次數(shù)。由于是通過求逼近多項(xiàng)式的二階導(dǎo)來獲得精定位邊緣點(diǎn)，因此為了計(jì)算方便，本文選擇三次B ernstein多項(xiàng)式作為逼近函數(shù)。

當(dāng)n=3時(shí)，式（1）對(duì)應(yīng)的三次Bezier曲線可表示為

設(shè)某粗定位邊緣像素點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，Yo），其邊緣方向?yàn)榇怪狈较?。以x0為中心，沿垂直方向的兩側(cè)各拓展2個(gè)像素點(diǎn)，其水平坐標(biāo)分別記為X-2，X-1與Xl，X2，并將5個(gè)邊緣像素點(diǎn)對(duì)應(yīng)的灰度值向量記為G={g₀，g₁，…，g₄}。

將G的分量看作是區(qū)間[o，1]上某邊緣函數(shù)f（f）在等距節(jié)點(diǎn) 上的取值，即滿足 。由于像素點(diǎn)坐標(biāo)之間滿足 ，于是像素點(diǎn)坐標(biāo)x與變量t之間滿足

由式（2）不難推導(dǎo)得B₃（0）=P₀，B₃（1）=p₃，于是利用三次Bezier曲線逼近f（t）時(shí)，其表達(dá)式可改寫為

下面只需確定式（4）中的P₁與p₂即可實(shí)現(xiàn)三次Bezier曲線B₃（t）對(duì)邊緣函數(shù)f（t）的逼近。由最小二乘原理，可令

由求多元函數(shù)取極值的必要條件有式（5）改寫成矩陣形式并計(jì)算整理得方程組

將式（6）所得結(jié)果P1， P2代人式（4）即得三次Bezier曲線逼近曲線為

其中 為粗定位邊緣像素點(diǎn)的坐標(biāo)。

同理可得沿水平邊緣方向的精定位像素點(diǎn)（亞像素級(jí)）坐標(biāo)為

其中 為粗定位邊緣像素點(diǎn)的坐標(biāo)。

例如，利用改進(jìn)Sobel算子對(duì)256x256 （8bit）的標(biāo)準(zhǔn)Lena圖進(jìn)行邊緣粗定位，其中某一邊緣點(diǎn)的粗定位坐標(biāo)為（101，119），對(duì)應(yīng)的像素灰度值為73，邊緣方向?yàn)榇怪狈较?。以該粗定位邊緣點(diǎn)為中心，沿垂直方向兩側(cè)各拓展2個(gè)像素點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的灰度值分別為127，107，57，54，即所得邊緣灰度值向量G={127，107，73，57，54}。由式（6）計(jì)算得P₁=107.6863，P2= 35.3529，將其代人式（8）可得t^*=0.3607，由式（9）可得精定位像素點(diǎn)坐標(biāo)為（x^*， y^*）= （100.4427，119）。

2 結(jié)語

本文提出了一種基于三次Bezier曲線逼近的圖像邊緣亞像素定位方法，通過粗、精兩次定位能較快獲得邊緣的亞像素位置，具有定位精度較高，計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn)。此外，該方法首次采用參數(shù)曲線三次Bezier曲線作為擬合工具來逼近圖像邊緣函數(shù)，研究工作具有一定的理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。在今后的研究工作中，將進(jìn)一步應(yīng)用到圖像邊緣亞像素定位的具體實(shí)例中。