六圓弧蛋形斷面共軛水深的簡(jiǎn)化計(jì)算

雷加欣，滕　凱

(1.黑龍江省水利工程建設(shè)質(zhì)量與安全監(jiān)督中心， 黑龍江 哈爾濱 151001；2.齊齊哈爾市水務(wù)局， 黑龍江 齊齊哈爾 161006))

六圓弧蛋形斷面共軛水深的簡(jiǎn)化計(jì)算

雷加欣1，滕凱2

(1.黑龍江省水利工程建設(shè)質(zhì)量與安全監(jiān)督中心， 黑龍江 哈爾濱 151001；2.齊齊哈爾市水務(wù)局， 黑龍江 齊齊哈爾 161006))

摘要：六圓弧蛋形斷面共軛水深計(jì)算公式分段，且為復(fù)雜的超越方程，無(wú)法直接獲解。通過(guò)對(duì)該種斷面水躍共軛水深函數(shù)的進(jìn)一步整理，獲得了用無(wú)量綱面積倒數(shù)及無(wú)量綱靜水壓力表示的無(wú)量綱水躍函數(shù)，采用優(yōu)化擬合方法分別對(duì)無(wú)量綱面積倒數(shù)及無(wú)量綱靜水壓力函數(shù)進(jìn)行擬合替代，獲得了可直接完成躍前及躍后斷面水深計(jì)算的簡(jiǎn)化計(jì)算通式，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)捷，方法直觀，在工程適用參數(shù)范圍內(nèi)，最大計(jì)算誤差小于0.8%。

關(guān)鍵詞：六圓弧蛋形斷面；共軛水深計(jì)算；優(yōu)化擬合；簡(jiǎn)化算法

六圓弧蛋形斷面具有較好的受力及過(guò)流條件，是較大型輸水配水工程經(jīng)常采用的斷面形式[1]。由于六圓弧蛋形斷面的曲線形式比較復(fù)雜，水力要素不但分段給出而且為較繁復(fù)的超越方程，因此，有關(guān)該種斷面的水力計(jì)算也一直得到人們的關(guān)注，并開(kāi)展了大量的研究工作，相繼提出了該種斷面正常水深、臨界水深、收縮水深及水面線的簡(jiǎn)化計(jì)算方法[2-6]。但有關(guān)該種斷面共軛水深計(jì)算方法的研究則相對(duì)較少，文獻(xiàn)[7]通過(guò)分塊計(jì)算不同水深對(duì)應(yīng)的面積及形心位置，建立了相對(duì)面積、相對(duì)形心位置與相對(duì)水深的擬合關(guān)系式(適用于相對(duì)水深x∈[0.095,0.96]，最大相對(duì)誤差小于1.8%)，分別給出了躍前、躍后斷面水深的迭代計(jì)算公式，有效推進(jìn)了該種斷面共軛水深計(jì)算方法的研究工作。但由于所給公式比較復(fù)雜，存在收斂速度慢、初值范圍大、迭代次數(shù)多等問(wèn)題，仍需借助微機(jī)編程完成計(jì)算，不便實(shí)際應(yīng)用。為進(jìn)一步簡(jiǎn)化求解過(guò)程，有效提高計(jì)算工作效率，本文通過(guò)對(duì)水躍函數(shù)的進(jìn)一步整理，獲得了用無(wú)量綱面積倒數(shù)及無(wú)量綱靜水壓力表示的無(wú)量綱水躍函數(shù)，并采用優(yōu)化擬合方法[8-13]分別對(duì)無(wú)量綱面積倒數(shù)及無(wú)量綱靜水壓力函數(shù)進(jìn)行擬合替代，經(jīng)推導(dǎo)獲得了可直接完成躍前及躍后斷面水深的簡(jiǎn)化計(jì)算通式，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)捷，方法直觀，僅借助計(jì)算器即可完成求解計(jì)算，在工程適用參數(shù)范圍內(nèi)，計(jì)算相對(duì)誤差小于0.8%，具有較好的實(shí)用價(jià)值。

1簡(jiǎn)化公式的建立

1.1　基本計(jì)算公式

水躍共軛水深的基本計(jì)算公式為[14]

(1)

對(duì)于六圓弧蛋形斷面(見(jiàn)圖1，其半徑分別為r1、r2及r3。各圓弧段所對(duì)應(yīng)的圓心角分別為α1、α2、α3及α4。其數(shù)值關(guān)系為：r2=0.426042r1，r3=(17/56)r1，α1=25.375°，α2=121.1838°，α3=29.4081°，α4=40.1281°)，根據(jù)其水躍共軛水深的不同，其斷面面積及斷面形心至水面距離的計(jì)算公式也不同，考慮篇幅問(wèn)題直接采用文獻(xiàn)[6]成果，并設(shè)：

式中：J為躍前或躍后斷面的水躍函數(shù)，m3；I為躍前或躍后斷面的無(wú)量綱水躍函數(shù)；x為無(wú)量綱相對(duì)水深；h為計(jì)算斷面水深，m(躍前斷面為h1，躍后斷面為h2)；k為已知綜合參數(shù)。

圖1六圓弧蛋形斷面

由式(1)經(jīng)進(jìn)一步整理可得：

I=ky+z

(2)

其中：

(3)

(4)

(5)

式中：y為無(wú)量綱面積倒數(shù)；z為無(wú)量綱靜水壓力；γ為水深處于底部弓形斷面時(shí)對(duì)應(yīng)的半圓心角，(°)；β、β1及β2分別為水深處于最大寬度以下側(cè)弧、最大寬度以上側(cè)弧及頂部圓弧內(nèi)時(shí)所對(duì)應(yīng)的圓心角，(°)(具體位置見(jiàn)圖2所示)。

圖2六圓弧蛋形斷面計(jì)算圖

1.2　簡(jiǎn)化公式的建立

在式(2)中，因y、z為分段函數(shù)且為關(guān)于x的超越方程，試算求解十分繁瑣?？紤]在式(2)中因y、z均為相對(duì)水深x的函數(shù)，分別給定不同的xi(x∈[0,1])，即可分別求得與其相對(duì)應(yīng)的zi及yi，進(jìn)而可獲得zi與yi及yi與xi的數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系，并可完成z—y及y—x的關(guān)系曲線，見(jiàn)圖3及圖4。

圖3y—x關(guān)系曲線

圖4z—y關(guān)系曲線

由圖3及圖4的曲線圖形關(guān)系可知，z—y具有較好的反比例函數(shù)關(guān)系，y—x具有負(fù)指數(shù)函數(shù)關(guān)系。據(jù)此，假定z′=F(y)和y′=f(x)在相對(duì)水深x[0.0965，1.0]范圍內(nèi)可以分別替代式(3)及式(4)中的z及y，且滿足：函數(shù)的表達(dá)形式要最簡(jiǎn)化；替代原式后要具備用常規(guī)數(shù)學(xué)方法可以完成求解；替代公式要有較好的擬合精度。以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)[15]，經(jīng)數(shù)值回歸分析[16]及替代函數(shù)優(yōu)化比選，得到y(tǒng)及z的最優(yōu)擬合替代函數(shù)為

y=0.22974x-1.5+1.34386x-1-1.82738x-0.5+1.46965

(6)

z=(1.55663y2+2.08979y-2.54164)-1

(7)

將式(7)代入式(2)經(jīng)整理可得

ay3+by2+cy+d=0

(8)

其中：a=1.55663k，b=2.08979k-1.55663I，

c=-2.54164k-2.08979I，d=1+2.54164I

(9)

式中：a、b、c及d分別為與I及k有關(guān)的方程系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。

式(8)為關(guān)于y的一元三次方程，解這個(gè)方程可得：

(10)

其中：θ=arccosT

A=b2-3ac

B=bc-9ad

式中：A、B、θ及T均為中間變量。

當(dāng)方程的兩個(gè)根為一正一負(fù)時(shí)，正根為所求解(表示洞內(nèi)產(chǎn)生躍前水深h1，躍后水深h2>r1)；當(dāng)兩個(gè)根均大于0，如果其中一根小于1.238，另一根為所求解(表示洞內(nèi)產(chǎn)生躍前水深h1，躍后水深h2>r1)；如果兩個(gè)根均在[1.238，17.82]范圍內(nèi)，則兩個(gè)根均為所求解(表示躍前水深h1及躍后水深h2均在洞內(nèi)形成)。

y值求得后即可由式(6)完成躍前或躍后斷面共軛水深的計(jì)算，即為

當(dāng)y>15.97114時(shí)

(11)

其中：p1,2=6.01296-0.71254y±

(12)

當(dāng)y=15.97114時(shí)

x=0.10202

當(dāng)1.238≤y<15.97114時(shí)

(13)

其中：θ1=arccosT1

T1=1.120345-0.132761y

式中：p1、p2、θ1及T1均為中間變量。

2精度分析

(14)

式中：wi為擬合相對(duì)誤差，%；i=1，2，3……n；n為擬合計(jì)算的精度比較點(diǎn)數(shù)。

圖5式(11)、式(13)計(jì)算誤差包絡(luò)線

由圖5的誤差包絡(luò)線可見(jiàn)，當(dāng)k∈[0.0000001，1.0]時(shí)，計(jì)算相對(duì)誤差在x=0.0965時(shí)最大，其最大正、負(fù)相對(duì)誤差分別為2.68%和-3.24%，然后，誤差值w隨x的增大迅速減小，當(dāng)x=0.12時(shí)，其最大正、負(fù)相對(duì)誤差分別減小至1.78%和-1.04%，而當(dāng)x∈(0.12，1.0]時(shí)(工程常用區(qū)域)，其相對(duì)誤差的絕對(duì)值均小于0.8%?？梢?jiàn)，本文簡(jiǎn)化計(jì)算公式具有較好的求解精度，完全可以滿足實(shí)際工程的計(jì)算精度要求。

3算例

采用文獻(xiàn)[6]計(jì)算實(shí)例：一泄洪隧洞采用六圓弧蛋形斷面，已知r1=10.0 m，消力池以上總水頭E0=50.0 m，流速系數(shù)φ=0.86，渠道通過(guò)的流量為150 m3/s，試判斷是否發(fā)生水躍，若發(fā)生水躍，試計(jì)算躍后水深。

根據(jù)已知條件可求得該水躍的水躍函數(shù)值為J=410.57 m3，依據(jù)本文公式可得：J=0.41057，k=0.0229358，a=0.0357026，b=-0.591237，c=-0.9163832，d=2.0436228，A=0.4477127，B=-0.1148635，T=-0.8630784，θ=149.664002°，將上述相關(guān)參數(shù)代入式(10)可求得方程的兩個(gè)根分別為y1=17.820164，y2=1.269707。

因y2<15.97114，由本文公式計(jì)算得：T1=-0.863078，θ1=17.86585°，將T1及θ1值代入式(13)可求得躍后相對(duì)水深x為

則躍后水深為h2=xr1=9.366 m。文獻(xiàn)[6]利用迭代法的計(jì)算結(jié)果為h2=9.399，兩者的相對(duì)誤差僅為0.35%。

4結(jié)語(yǔ)

針對(duì)六圓弧蛋形斷面共軛水深計(jì)算存在的過(guò)于繁復(fù)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)整理后的無(wú)量綱水躍方程相關(guān)函數(shù)的擬合替代，獲得了可通過(guò)求解一元三次方程完成共軛水深計(jì)算的簡(jiǎn)化公式，僅借助計(jì)算器(或智能計(jì)算器)方程求解功能(如Casio fx系列計(jì)算器)即可非常簡(jiǎn)捷地完成共軛水深求解，計(jì)算過(guò)程大大簡(jiǎn)化。誤差分析及實(shí)例計(jì)算表明，在工程適用參數(shù)范圍內(nèi)，求解精度完全滿足工程計(jì)算要求，具有實(shí)用推廣價(jià)值。

采用本文方法也可完成類似較復(fù)雜過(guò)水?dāng)嗝婀曹椝詈?jiǎn)化計(jì)算公式的建立，本文不詳述。

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DOI:10.3969/j.issn.1672-1144.2015.04.030

收稿日期：2015-03-02修稿日期：2015-04-07

作者簡(jiǎn)介：雷加欣(1968—)，男，黑龍江賓縣人，碩士，高級(jí)工程師，主要從事防災(zāi)減災(zāi)及工程優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。E-mail: leijiaxin@126.com 通訊作者：滕凱(1957—)，男，黑龍江齊齊哈爾人，高級(jí)工程師，主要從事水利防災(zāi)減災(zāi)及工程優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。E-mail：tengkai007@163.com

中圖分類號(hào)：TV133+.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1672—1144(2015)04—0151—04

Simplified Calculation of Conjugate Water Depth for the Six-arc Egg-shaped Cross Section

LEI Jiaxin1, TENG Kai2

(1.HeilongjiangProvincialConstructionQualityandSafetySupervisionCenterofWaterConservancy,Harbin,Heilongjiang151001,China; 2.QiqiharMunicipalBureauofWaterAffairs,Qiqihar,Heilongjiang161006,China)

Abstract：Conjugate water depth formula of six-arc egg-shaped cross section is segmented and transcendental, it is difficult to calculate directly. Through further calculation of hydraulic jump conjugate depth function of this kind of cross section, dimensionless function of hydraulic jump was obtained, which was represented by the reciprocal of dimensionless area and dimensionless hydrostatic pressure. And then, an optimization fitting method was adopted to fit the reciprocal of dimensionless area and dimensionless hydrostatic pressure, through which the simplified calculation formula that could directly calculate the conjugate water depth before and after the hydraulic jump was established. This formula is simple and intuitive with a maximum error less than 0.8% in its parameter range of engineering applications.

Keywords:six-arc egg-shaped cross section; conjugate depth calculation; optimization fitting; simplified algorithm