基于智能算法優(yōu)化卡爾曼濾波器的電機(jī)轉(zhuǎn)速估計(jì)

張秀國

(珠海城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，廣東 珠海519090)

0 引 言

無速度傳感器矢量控制系統(tǒng)作為目前受到普遍關(guān)注的熱點(diǎn)問題之一，其核心問題是電機(jī)轉(zhuǎn)速估計(jì)，諸多相關(guān)的研究文獻(xiàn)亦提出了各自的電機(jī)轉(zhuǎn)速的估計(jì)方法［1］。因?yàn)榭柭鼮V波器(Kalman Filter)所特有的抗干擾性、動(dòng)態(tài)性等特點(diǎn)，卡爾曼濾波器以及其相關(guān)的改進(jìn)形態(tài)如擴(kuò)展卡爾曼濾波器(Extended Kalman Filter，EKF)，在對感應(yīng)電機(jī)無速度傳感器矢量控制系統(tǒng)中速度的估算方面被公認(rèn)為是核心的方法。如何選取合適的噪聲矩陣是擴(kuò)展卡爾曼濾波器在轉(zhuǎn)速估計(jì)應(yīng)用中的重點(diǎn)問題之一。操作人員對噪聲矩陣的先驗(yàn)知識(shí)的了解程度往往決定了擴(kuò)展卡爾曼濾波器轉(zhuǎn)速估計(jì)的收斂性和精確度，即測量噪聲矩陣以及系統(tǒng)噪聲矩陣事先規(guī)劃的準(zhǔn)確度。如果選取了不合適的噪聲矩陣，那么就會(huì)大大地降低擴(kuò)展卡爾曼濾波器的性能，甚至無法正常運(yùn)轉(zhuǎn)。對于擴(kuò)展卡爾曼濾波器如何正確的選取，在過去的研究文獻(xiàn)中有較多的學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)的探討和嘗試。文獻(xiàn)［2］運(yùn)用試探法設(shè)定噪聲協(xié)方差矩陣，此方法雖然使用簡單，但卻存在精確度不高、耗時(shí)長、對設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)積累過度依賴等缺點(diǎn)，在性能方面，也不是最優(yōu)的卡爾曼濾波器;文獻(xiàn)［3］使用模擬退火算法對系統(tǒng)噪聲矩陣進(jìn)行優(yōu)化，不過模擬退火算法存在不足，如:收斂速度慢、耗時(shí)較長、算法性能對初始值敏感;文獻(xiàn)［4］利用最小方差原理遞推噪聲模型，但也存在累積誤差較大以及計(jì)算量大等不足;文獻(xiàn)［5］應(yīng)用模糊邏輯方法，將理論值同新息序列協(xié)方差的實(shí)際值進(jìn)行匹配，但在本方法中具體如何確定所需的新息序列以及模糊邏輯規(guī)則數(shù)是存在一定的困難的;文獻(xiàn)［6］中應(yīng)用單純形法確定噪聲協(xié)方差矩陣，但此方法存在一定的不足，如:濾波器的實(shí)時(shí)性及效果無法得到保證，并且計(jì)算量非常大;文獻(xiàn)［7］使用粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)來優(yōu)化擴(kuò)展卡爾曼濾波器噪聲矩陣，但本算法存在易早熟等不足。

鑒于上述文獻(xiàn)中的不足，本文在無速度傳感器矢量控制系統(tǒng)電機(jī)轉(zhuǎn)速估計(jì)中使用擴(kuò)展卡爾曼濾波器，并且為了確保擴(kuò)展卡爾曼濾波器轉(zhuǎn)速估計(jì)達(dá)到最優(yōu)濾波效果，文中使用改進(jìn)后的粒子群算法來優(yōu)化對EKF收斂性和濾波性能產(chǎn)生影響的噪聲矩陣，以此得到最優(yōu)的系統(tǒng)噪聲矩陣和測量噪聲矩陣。通過實(shí)驗(yàn)證明，使用改進(jìn)后的PSO 算法進(jìn)行優(yōu)化的EKF 可以精確地估計(jì)電機(jī)轉(zhuǎn)速。相比于傳統(tǒng)的PSO 算法、試探法以及遺傳算法，改進(jìn)后的PSO 算法在總體性能和估算精度方面都具有更好的效果。

1 擴(kuò)展卡爾曼濾波轉(zhuǎn)速估計(jì)

目前，針對交流異步電動(dòng)機(jī)的研究，有許多文獻(xiàn)提出了諸多的電機(jī)方程模型，其中最具有代表性的是基于兩相靜止坐標(biāo)系αβ 軸的電機(jī)模型。在此模型里，將轉(zhuǎn)子磁鏈以及定子電流在αβ 上的分量當(dāng)作狀態(tài)變量，同時(shí)，將電機(jī)狀態(tài)方程變成一個(gè)非線性的四階方程。由于在無速度傳感器矢量控制系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)速wr是一個(gè)需要估計(jì)的未知量，所以這里將wr設(shè)置為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，這樣一來，異步電機(jī)狀態(tài)方程則變成了5 階方程式，用下式(1)表示。

其中:X =［isαisβΨrαΨrβwr］T，u(t)=［usαusβ］T，isα、isβ、usα、usβ、Ψrα、Ψrβ分別表示定子電流、定子電壓和轉(zhuǎn)子磁鏈的αβ 軸分量，系數(shù)A，B 則為:

Rs、Rr、Ls、Lr、Lm分別表示定轉(zhuǎn)子電阻、電感及互感，wr表示轉(zhuǎn)速，σ=1－L2m/(LsLr)表示漏磁系數(shù)，Tr=Lr/Rr表示轉(zhuǎn)子時(shí)間常數(shù)。在兼顧系統(tǒng)噪聲且離散化之后，得到擴(kuò)展的電機(jī)離散狀態(tài)方程可用下式表示。

其中:W(k)和R(k)分別表示系統(tǒng)噪聲以及測量噪聲的零均值高斯白噪聲協(xié)方差矩陣;G(X(k)，k)表示噪聲權(quán)重;Ts表示采樣周期。同時(shí)滿足下式

因?yàn)閿U(kuò)展卡爾曼濾波器是在線性條件下使用，將式(1)在濾波值設(shè)置為在x =x^(k|k)的附近展開成泰勒級數(shù)，同時(shí)將高次項(xiàng)去掉得到式(4)，

式中，

表示由kTs～(k+1)Ts的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，

結(jié)合式(1)～(3)，能夠得到的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，

在應(yīng)用EKF 的過程中，一般劃分為預(yù)測階段以及更新階段。其中，預(yù)測階段得到的是狀態(tài)誤差協(xié)方差預(yù)測值以及狀態(tài)量預(yù)測值。而更新階段得到的是EKF 的增益，同時(shí)更新狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣和預(yù)測的狀態(tài)值。如下所述過程表示使用EKF 對電機(jī)轉(zhuǎn)速估計(jì)進(jìn)行處理:

Step1:針對狀態(tài)誤差協(xié)方差陣P(0)以及狀態(tài)x^(0)進(jìn)行初始化處理;

Step2:將測量噪聲協(xié)方差陣以及系統(tǒng)噪聲方差陣分別設(shè)置為R(2 ×2)以及Q(5 ×5);

Step3:針對每個(gè)采樣周期，執(zhí)行如下的卡爾曼濾波迭代。

狀態(tài)預(yù)測:

估計(jì)誤差協(xié)方差陣:

式中:卡爾曼增益的處理:

狀態(tài)的更新處理:

誤差協(xié)方差矩陣的更新處理:

通過上述對EKF 轉(zhuǎn)速估計(jì)的處理能夠反映出，EKF 的迭代過程受協(xié)方差矩陣P 及其初始狀態(tài)值的影響較小，并且隨著濾波迭代的持續(xù)，這種影響會(huì)越來越小。測量噪聲協(xié)方差陣R 以及系統(tǒng)噪聲協(xié)方差陣Q 往往是制約轉(zhuǎn)速估計(jì)精度和濾波效果的兩個(gè)關(guān)鍵方面。在現(xiàn)實(shí)使用時(shí)，一般依據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際將噪聲矩陣的初始值設(shè)定好，并且為了使得估計(jì)誤差能夠逐漸收斂，達(dá)到濾波最優(yōu)化的效果，關(guān)鍵取決于所選擇噪聲矩陣。不同的噪聲矩陣值會(huì)引起系統(tǒng)瞬態(tài)過程的變化，若Q 值增大則相應(yīng)地加強(qiáng)了系統(tǒng)噪聲，加大了系統(tǒng)模型的不確定性，將導(dǎo)致預(yù)測協(xié)方差增大，從而濾波器增益增大，測量反饋的加權(quán)作用也增大，濾波器瞬態(tài)特性加快;而如果測量噪聲增強(qiáng)，則R 值增大，導(dǎo)致濾波器增益減小，進(jìn)而測量數(shù)據(jù)對系統(tǒng)的影響會(huì)減弱，濾波器瞬態(tài)特性減慢，甚至?xí)篂V波過程不穩(wěn)定或發(fā)散［12］。因此確定適合的Q 和R 的值對能否獲得卡爾曼最優(yōu)濾波至關(guān)重要［8-10］。

2 優(yōu)化EKF 噪聲矩陣的改進(jìn)粒子群算法

在現(xiàn)實(shí)的無速度傳感器閉環(huán)控制系統(tǒng)中，如果將EKF 應(yīng)用于轉(zhuǎn)速估計(jì)中就會(huì)出現(xiàn)EKF 估計(jì)轉(zhuǎn)速同實(shí)際轉(zhuǎn)速間產(chǎn)生不小的延遲。但延遲越多，影響系統(tǒng)控制性能往往越明顯，因此，選取適當(dāng)?shù)脑肼暰仃?，能夠?qū)⑦@種延遲減小到最低，達(dá)到提升系統(tǒng)性能的目的。最優(yōu)化噪聲矩陣R 和Q 從本質(zhì)上來講是一個(gè)有約束的最優(yōu)化問題。

2.1 標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法(PSO)

標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法是由Kennedy 提出的，是受到人類決策的行為和鳥群覓食啟發(fā)而來，算法的原理是以群體中的個(gè)體間進(jìn)行信息共享以及協(xié)作來得到最優(yōu)解。設(shè)粒子群體規(guī)模為N，每個(gè)粒子在D 維搜索空間中運(yùn)動(dòng)，粒子Pi(i =1，2，…，N)的當(dāng)前位置為Xi={Xi1，Xi2，…，Xid}，當(dāng)前的飛行速度為Vi= {Vi1，Vi2，…，Vid}，Pid為粒子i 當(dāng)前的最優(yōu)解，Pgd為種群中所有粒子全局最優(yōu)解［12］?？捎孟率絹碚f明標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法的進(jìn)化過程:

其中:ω 表示慣性權(quán)重，其值在進(jìn)化中慢慢變小;c1，c2分別表示用來調(diào)節(jié)Pid以及Pgd相對重要性的加速參數(shù)，r1～U(0，1)、r2～U(0，1)表示相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)函數(shù)。

2.2 粒子群算法的改進(jìn)

遺傳算法以及標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法都是經(jīng)典的群智能算法，它們都具有一定的優(yōu)劣性［14-15］。遺傳算法的優(yōu)點(diǎn)是具備極強(qiáng)的全局最優(yōu)搜索能力以及變異能力，不足之處是局部尋優(yōu)能力差以及早熟等情況。而粒子群算法具有收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)，是一種全局優(yōu)化搜索智能算法，但也存在收斂精度較差以及易陷入局部最優(yōu)解等不足。往往在實(shí)際應(yīng)用中，需要將這兩種智能算法進(jìn)行綜合處理，取其精華，避免不足，由此來設(shè)計(jì)高效可行的搜索算法。文中改進(jìn)的粒子群算法就是于此來實(shí)現(xiàn)的，改進(jìn)后的粒子群算法使用一個(gè)可調(diào)節(jié)的混合GA/PSO 模型，將PSO 以及GA 進(jìn)行合理的混合，以此來克服它們所存在的不足。改進(jìn)后的粒子群算法在尋優(yōu)求解時(shí)利用遺傳算法的交叉、選擇以及變異思維，使用一個(gè)在0 ～1 之間變化的繁衍因子系數(shù)，并使每次迭代時(shí)所需的選擇、交叉及變異的個(gè)體數(shù)量取決于該系數(shù)。對于每次的迭代，將所有個(gè)體的適應(yīng)度值計(jì)算出來，然后將該值按照由大到小的順序進(jìn)行排序。給定N 為個(gè)體的數(shù)量，b 為繁衍因子，這時(shí)去掉適應(yīng)度值最小的N* b 的個(gè)體，將保留下來的N* (1－b)的個(gè)體依據(jù)粒子群算法實(shí)施速度更新處理，接著按照錦標(biāo)賽機(jī)制在速度更新后的群體中選取N* b 個(gè)個(gè)體，并按照式(13)做交叉操作。

式中，實(shí)施交叉后的子代粒子個(gè)體數(shù)分別用c1(x)以及c2(x)表示，兩個(gè)按照錦標(biāo)賽機(jī)制選取的父代粒子個(gè)體位置分別用p1(x)及p2(x)表示，兩個(gè)按照錦標(biāo)賽機(jī)制選取的父代粒子個(gè)體速度則分別用p1(v)及p2(v)表示。下式用來表示子代粒子的速度。

其中，子代粒子的速度用c1(v)及c2(v)表示。歷經(jīng)如此交叉處理后，使得子代粒子的速度及位置的信息源自于父代粒子。通過遺傳交叉算子操作可以增加粒子多樣性，搜尋更多區(qū)域的范圍解，跳出局部最優(yōu)，加強(qiáng)群體的尋優(yōu)探索能力，充分利用群體中優(yōu)良粒子的特性，加快收斂速度［11］。改進(jìn)的粒子群算法如圖1所示。

2.3 改進(jìn)的粒子群(IPSO)算法優(yōu)化EKF 噪聲矩陣

現(xiàn)有的電機(jī)狀態(tài)方程里共有2 個(gè)輸出變量及5 個(gè)狀態(tài)變量［13］，而在系統(tǒng)噪聲及測量噪聲的協(xié)方差矩陣?yán)镆灿邢鄳?yīng)的數(shù)量，即:

圖1 改進(jìn)的PSO 算法流程圖

將上述的7 個(gè)變量在每個(gè)采樣周期中實(shí)施相應(yīng)的調(diào)整，即可實(shí)現(xiàn)噪聲矩陣的優(yōu)化。針對每個(gè)粒子在相應(yīng)參數(shù)下實(shí)施多次迭代操作，在執(zhí)行任一次迭代時(shí)，將系統(tǒng)的適應(yīng)度值及其輸出計(jì)算出來，然后依據(jù)計(jì)算得出的適應(yīng)度值將個(gè)體歷史最優(yōu)粒子以及全局最優(yōu)粒子選出，完成迭代后噪聲矩陣參數(shù)用得到的全局最優(yōu)粒子來替換，噪聲矩陣元素不斷的隨著系統(tǒng)狀態(tài)的變化而變化。在IPSO 算法中，粒子位置的好壞是依據(jù)適應(yīng)度函數(shù)來確定的，因此，需要依據(jù)實(shí)際情況選取合理的適應(yīng)度函數(shù)，文中對電機(jī)轉(zhuǎn)速估計(jì)的適應(yīng)度函數(shù)選取如下式(15)所示:

下述步驟表示在改進(jìn)后的粒子群算法下的EKF轉(zhuǎn)速估計(jì):

步驟1:對噪聲矩陣Q、R 做初始化處理，并且對粒子的速度向量以及位置向量做隨機(jī)初始化處理，然后將適應(yīng)度函數(shù)值計(jì)算出來，據(jù)此將粒子個(gè)體歷史最優(yōu)Pi以及群體全局最優(yōu)Pg選取出來。

步驟2:對繁衍因子b 使用隨機(jī)產(chǎn)生方式獲取，然后根據(jù)步驟1 計(jì)算出的適應(yīng)度函數(shù)值進(jìn)行重新排序，將最差的N* b 個(gè)個(gè)體遺棄，并依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的PSO 算法對剩余的每個(gè)粒子進(jìn)行速度更新處理。

步驟3:參照錦標(biāo)賽制度，應(yīng)用式(13)將粒子的位置做交叉運(yùn)算，應(yīng)用式(14)將粒子的速度做更新處理，接著將位置和速度都更新處理過的N* b 個(gè)粒子執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)的變異操作并得到新的粒子，同時(shí)將得到的新粒子替代遺棄的N* b 個(gè)粒子。

步驟4:針對每個(gè)粒子的全局最優(yōu)適應(yīng)度值以及歷史最優(yōu)適應(yīng)度值一一比較。若發(fā)現(xiàn)某個(gè)粒子的歷史值劣于當(dāng)前位置的適應(yīng)度值，那么替換該粒子的歷史最佳位置和適應(yīng)函數(shù)值;若某個(gè)粒子的全局最優(yōu)適應(yīng)值劣于歷史最優(yōu)適應(yīng)值，那么將全局最優(yōu)適應(yīng)值設(shè)置為該歷史最優(yōu)適應(yīng)值，并且將該全局最優(yōu)粒子的位置記錄下來。

步驟5:重復(fù)執(zhí)行步驟2-步驟4。直至算法的迭代次數(shù)達(dá)到設(shè)定的次數(shù)或算法的精度滿足要求為止。

步驟6:將全局最優(yōu)解輸出，也就是所要求解的EKF 噪聲矩陣Q 以及R。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文改進(jìn)的粒子群算法在EKF 轉(zhuǎn)速中的實(shí)際效果，設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖2 所示的無速度傳感器矢量控制系統(tǒng)。實(shí)驗(yàn)中相關(guān)參數(shù)的設(shè)置如表1 所示:

圖2 無速度傳感器矢量控制系統(tǒng)

表1 電機(jī)相關(guān)參數(shù)表

本文改進(jìn)的算法、標(biāo)準(zhǔn)PSO 算法和遺傳算法的相關(guān)參數(shù)約定為:粒子群規(guī)模M=50，迭代數(shù)G =30。遺傳算法中個(gè)體交叉率假定為PC =0.9，個(gè)體變異率假定為PM=0.01。圖3 表示這三種算法在優(yōu)化EKF 誤差矩陣的收斂曲線圖。

在圖3 的曲線圖中可以得出，在收斂速度和最優(yōu)解方面，文中改進(jìn)的粒子群算法明顯比標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法和遺傳算法更優(yōu)。經(jīng)過優(yōu)化處理后的三種算法的Q、R 分別如下所示:

遺傳算法(GA):Q = diag［0. 228 1 1. 242 6 0.042 0 0.110 2 2.702 9］，R=diag［3.892 9e－4 0.076 9］。

圖3 優(yōu)化算法的收斂曲線

標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法(PSO):Q = diag［0. 010 1 11.350 2 5. 550 1 12. 426 3 9. 276 1］，R = diag［5.211 3 5.584 1］。

IPSO:Q = diag［5. 602 5 0. 050 1 4. 869 5 2.189 9 12.516 7］，R=diag［22.708 7 0.462 4］。

下面通過在三種不同的參數(shù)條件下來進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證算法的有效性，及其對EKF 進(jìn)行轉(zhuǎn)速進(jìn)行估計(jì)。

3.1 負(fù)載和電機(jī)參數(shù)都不變

本實(shí)驗(yàn)中，假定轉(zhuǎn)速設(shè)定為1 242 r/min，負(fù)載設(shè)定為2 N·m。仿真結(jié)果圖4 的曲線表示通過遺傳算法、試湊法、標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法以及文中改進(jìn)的粒子群算法優(yōu)化EKF 在穩(wěn)態(tài)時(shí)的轉(zhuǎn)速辨識(shí)效果圖。并且滿足試探法取值條件:Q =diag［7.5 0.03 4.4 2.2 12.4］，R=diag［18 0.4］。通過曲線圖可得出，使用試湊法優(yōu)化的EKF 轉(zhuǎn)速辨識(shí)曲線為穩(wěn)定轉(zhuǎn)速下的估計(jì)誤差約為1.66%。但使用遺傳算法、標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法以及改進(jìn)的粒子群算法優(yōu)化的EKF 轉(zhuǎn)速估計(jì)誤差分別約為0.52%、0.843%以及0.24%。

圖4 EKF 估計(jì)轉(zhuǎn)速和實(shí)際轉(zhuǎn)速

3.2 電機(jī)參數(shù)不變，但負(fù)載發(fā)生變化

本實(shí)驗(yàn)中，通過改變負(fù)載的方法來驗(yàn)證算法的估算精度，即在時(shí)間t=0.5 s 時(shí)將負(fù)載的參數(shù)由2 N·m修改成4 N·m，得到如圖5 所示的電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線圖。通過曲線圖能夠得出，在負(fù)載擾動(dòng)狀態(tài)下，文中改進(jìn)的粒子群算法具有更好的魯棒性、更小的誤差，并且在優(yōu)化EKF 轉(zhuǎn)速估計(jì)跟蹤精度方面比較其他3 種算法更好。

圖5 負(fù)載擾動(dòng)情況下轉(zhuǎn)速估計(jì)

3.3 電機(jī)參數(shù)變化，但負(fù)載不發(fā)生變化

在現(xiàn)實(shí)使用中，電機(jī)的很多參數(shù)都會(huì)隨著溫度升高等因素的影響而發(fā)生改變，例如定子電阻、轉(zhuǎn)子電阻等參數(shù)。定子電阻的變化對轉(zhuǎn)速估計(jì)器影響較大，現(xiàn)在通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證算法在電機(jī)參數(shù)發(fā)生改變的狀態(tài)下的有效性，這里約定電機(jī)實(shí)際電阻Rs= 5. 07(1 +e－0.15t)，Rr=5.27(1 +e－0.15t)轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線如圖6 所示。從圖6 所示的效果來看，電機(jī)參數(shù)的改變對優(yōu)化EKF 轉(zhuǎn)速估計(jì)精度的影響幾乎可以忽略不計(jì)。

圖6 電機(jī)參數(shù)變化時(shí)轉(zhuǎn)速估計(jì)

4 結(jié) 語

文中提出的一種改進(jìn)的粒子群算法，該算法能夠很好地優(yōu)化擴(kuò)展卡爾曼濾波器的測量噪聲矩陣和系統(tǒng)噪聲矩陣。并通過在無速度傳感器矢量控制系統(tǒng)中將該算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果顯示，在負(fù)載擾動(dòng)以及電機(jī)參數(shù)發(fā)生變化等不同條件下，通過文中改進(jìn)的粒子群算法優(yōu)化的EKF能夠更準(zhǔn)確地估計(jì)電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，相比于使用遺傳算法、試算法和標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法優(yōu)化的EKF 轉(zhuǎn)速估計(jì)而言，文中提出的改進(jìn)的粒子群算法在抗噪聲能力和跟蹤性能方面都具有更優(yōu)的效果。

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