基于Bayes理論改進(jìn)的系統(tǒng)可靠性綜合MML法

【基礎(chǔ)理論與應(yīng)用研究】

基于Bayes理論改進(jìn)的系統(tǒng)可靠性綜合MML法

楊仁

(中船重工第710研究所, 湖北 宜昌443003)

摘要：針對(duì)可靠性綜合MML法面對(duì)無(wú)失效數(shù)據(jù)時(shí)存在的不足，提出了基于Bayes理論改進(jìn)的MML法，利用Bayes方法對(duì)0失效單元的可靠度進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)，通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了改進(jìn)的合理性，因其利用了驗(yàn)前信息，避免了直接利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)導(dǎo)致的冒進(jìn)且也不保守，能夠較好的解決試驗(yàn)結(jié)果中零失效的情況；應(yīng)用改進(jìn)后的MML法關(guān)鍵是要正確利用驗(yàn)前信息，才能使系統(tǒng)可靠性綜合結(jié)果真實(shí)反映產(chǎn)品可靠性水平。

關(guān)鍵詞：Bayes理論；可靠性綜合；MML法；數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換

收稿日期：2015-02-17

作者簡(jiǎn)介：楊仁(1980—)，男，高級(jí)工程師，主要從事質(zhì)量與可靠性研究。

doi:10.11809/scbgxb2015.09.039

中圖分類號(hào)：TJ610

文章編號(hào)：1006-0707(2015)09-0158-04

收稿日期：2015-03-20

基金項(xiàng)目全軍軍事類研究生資助課題“陸軍無(wú)人化作戰(zhàn)體系效能評(píng)估方法研究”(2014JY185)

本文引用格式：楊仁.基于Bayes理論改進(jìn)的系統(tǒng)可靠性綜合MML法[J].四川兵工學(xué)報(bào)，2015(9):158-161.

Citationformat:YANGRen.ImprovedMMLMethodofSystemReliabilitySynthesisBasedonBayesianTheory[J].JournalofSichuanOrdnance,2015(9):158-161.

ImprovedMMLMethodofSystemReliabilitySynthesis

BasedonBayesianTheory

YANGRen

(No.710ResearchandDevelopmentInstitute,ChinaShipbuildingIndustryCorporation,Yichang443003,China)

Abstract:In order to solve the problem that MML method cannot be directly used for reliability synthesis in the case of zero-failure date, an improved MML method based on Bayesian theory was proposed, and it used Bayesian method to estimate the reliability of zero-failure unit. Through analysis and comparison, the rationality of improved MML method had been validated. The results are neither aggressive nor conservative. In order to make the reliability synthesis more close to the true value, the prior information should be used correctly.

Keywords：Bayesiantheory;reliabilitysynthesis;MMLmethod;datetransform

系統(tǒng)可靠性綜合評(píng)估通常采用“金字塔”式的評(píng)估模式[1]，按照組部件——分系統(tǒng)——系統(tǒng)的順序，依據(jù)系統(tǒng)可靠性結(jié)構(gòu)框圖逐級(jí)向高一級(jí)進(jìn)行可靠性綜合，最后得出系統(tǒng)的可靠性評(píng)估值。

魚雷、水雷等現(xiàn)代武器裝備，采用的技術(shù)越來(lái)越先進(jìn)，結(jié)構(gòu)越來(lái)越復(fù)雜且可靠性指標(biāo)也越來(lái)越高，分配到各分系統(tǒng)、組部件的可靠性指標(biāo)就更高，按傳統(tǒng)的評(píng)估方法需要的樣本量將十分驚人，成本非常之高昂，采購(gòu)方和承制方都難以接受，因此采用適宜的可靠性綜合方法對(duì)系統(tǒng)可靠性指標(biāo)進(jìn)行評(píng)估成為一種可行的方式。目前，工程上進(jìn)行系統(tǒng)可靠性綜合常用的方法有：MML法(修正極大似然估計(jì)方法)、SR法(逐次壓縮方法)、L-M(Lindstrom)方法等，通過(guò)隨機(jī)模擬比較，MML方法是成敗型串聯(lián)系統(tǒng)幾種偏保守方法中最不保守的[2]，即近似限比較準(zhǔn)確，但是存在不能考慮無(wú)失效單元的缺點(diǎn)。在高可靠性產(chǎn)品試驗(yàn)時(shí)，出現(xiàn)0失效單元的情況是經(jīng)常存在的，因此需要對(duì)MML法進(jìn)行優(yōu)化以提高其適應(yīng)性。本文基于Bayes理論提出了MML法的一種改進(jìn)方法，彌補(bǔ)其在高可靠性產(chǎn)品系統(tǒng)可靠性綜合時(shí)存在的不足。

1試驗(yàn)數(shù)據(jù)等效轉(zhuǎn)換

可靠性綜合評(píng)估的首要工作是將不同類型的試驗(yàn)數(shù)據(jù)等效轉(zhuǎn)換為統(tǒng)一類型的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)成敗型產(chǎn)品進(jìn)行可靠性綜合，按照單元服從總體的思路，需要把系統(tǒng)組成單元、部件的非成敗型試驗(yàn)數(shù)據(jù)按照一定的方法折算為成敗型數(shù)據(jù)進(jìn)行處理；另一方面，在不知道產(chǎn)品的壽命分布時(shí)，如果取產(chǎn)品的試驗(yàn)時(shí)間等于任務(wù)時(shí)間，并在試驗(yàn)時(shí)間終止時(shí)記錄產(chǎn)品是否失效，這樣得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)即為成敗型數(shù)據(jù)。MML法是將系統(tǒng)看作二項(xiàng)分布進(jìn)行系統(tǒng)可靠性綜合，對(duì)于非成敗型數(shù)據(jù)需要將其轉(zhuǎn)化為成敗型數(shù)據(jù)，目前常用的轉(zhuǎn)換方法是點(diǎn)估計(jì)下限法[3]：

對(duì)成敗型產(chǎn)品，假設(shè)進(jìn)行了N次試驗(yàn)，成功了S次，則可靠度的極大似然估計(jì)為

(1)

其置信度為γ的經(jīng)典非隨機(jī)化可靠度最優(yōu)置信下限RLC為[4]

(2)

在已知待轉(zhuǎn)換單元的壽命分布時(shí)，可以按照該分布特征求可靠度極大似然估計(jì)值及其置信下限，基于可靠度極大似然估計(jì)和γ置信度下可靠度最優(yōu)置信下限分別相等的思想，可以建立如下等效數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換公式：

(3)

用不完全貝塔函數(shù)還可以表示為

(4)

其中， N′為折算成成敗型試驗(yàn)的等效試驗(yàn)次數(shù)，S′等效成功次數(shù),N′，S′可取非負(fù)小數(shù)。

2MML綜合方法的不足與改進(jìn)

2.1MML綜合方法介紹

(5)

(6)

(7)

則系統(tǒng)級(jí)的等效試驗(yàn)數(shù)N，失效數(shù)F分別為

(8)

其中：(ni,fi)為第i個(gè)單元的試驗(yàn)數(shù)及失效數(shù)，i=1,2，…，m。(n0,f0)為系統(tǒng)級(jí)試驗(yàn)數(shù)及失效數(shù)。

現(xiàn)假定某系統(tǒng)由3個(gè)單元串聯(lián)組成，系統(tǒng)級(jí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)為(2,0)，3個(gè)單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別為：n1(5,0)、n2(10,0)、n3(60,0)，求置信度γ=0.7時(shí)的系統(tǒng)可靠度下限。

針對(duì)上述試驗(yàn)數(shù)據(jù)，用MML綜合方法式(7)可以發(fā)現(xiàn)分子和分母都出現(xiàn)了為0的情況，此時(shí)MML法根本無(wú)法用；若僅有個(gè)別單元失效數(shù)為0時(shí)，其可靠度的極大似然估計(jì)為1，計(jì)算結(jié)果顯然會(huì)比較冒進(jìn)。

此例雖然可以利用L-M法進(jìn)行綜合，但若各單元的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為n1(5,0)、n2(5,0)、n3(5,0)時(shí)，通過(guò)計(jì)算可以看出，應(yīng)用L-M計(jì)算的系統(tǒng)可靠度下限完全一致，也就說(shuō)單元2、3進(jìn)行10次、60次無(wú)故障試驗(yàn)與均進(jìn)行5次無(wú)故障試驗(yàn)評(píng)估出的系統(tǒng)可靠度置信下限是一樣的，這顯然沒(méi)有充分利用單元的試驗(yàn)信息，評(píng)估的結(jié)果比較保守。

MML法作為系統(tǒng)可靠性綜合中一種較好的方法，唯一的不足是沒(méi)有考慮0失效單元。因此，針對(duì)高可靠性產(chǎn)品經(jīng)常出現(xiàn)0失效單元的情況，需要對(duì)MML法做適當(dāng)改進(jìn)，才能擴(kuò)大其應(yīng)用范圍，得到較為精確的評(píng)估結(jié)果。

2.2改進(jìn)的MML綜合方法

MML法的不足在于對(duì)0失效單元可靠度的點(diǎn)估計(jì)上，當(dāng)失效數(shù)為0時(shí)，其極大似然估計(jì)為1，顯然不合理，而且0失效單元越多，利用MML法得到的可靠性結(jié)果無(wú)疑是很冒進(jìn)的。因此0失效單元不能簡(jiǎn)單的用1作為其可靠度點(diǎn)估計(jì)，一個(gè)單元出現(xiàn)0失效說(shuō)明其可靠度較高，而且隨著試驗(yàn)量越大，其可靠度值越大，越接近1，但不能等于1，此時(shí)我們可以利用Bayes方法對(duì)0失效單元進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)，使其更接近真值。此處以二項(xiàng)分布為例，其他分布試驗(yàn)數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布試驗(yàn)數(shù)據(jù)。二項(xiàng)分布的共軛驗(yàn)前分布服從β(R|s0,f0)[6]，有先驗(yàn)信息時(shí)根據(jù)先驗(yàn)信息求出參數(shù)(s0,f0)。

當(dāng)無(wú)先驗(yàn)信息時(shí)，驗(yàn)前分布有3種取法[7]，即

1) Reformulation 方法：

2) Box-Tiao方法：

3) Bayes假設(shè)：

在以上3種方法中，Box-Tiao方法評(píng)定結(jié)果與精確置信限最接近，因此建議采用Box-Tiao方法進(jìn)行無(wú)信息Bayes評(píng)定[8]。

設(shè)產(chǎn)品的成功率為R，對(duì)其進(jìn)行n次試驗(yàn)，失效f次，記為(n，f)，其似然函數(shù)為

(9)

先驗(yàn)分布為π0(R)時(shí)，其后驗(yàn)分布為

(10)

在平方損失函數(shù)下，參數(shù)R的Bayes估計(jì)為

(11)

先驗(yàn)分布采用Box-Tiao方法選取時(shí)，R的點(diǎn)估計(jì)為

(12)

基于Bayes理論改進(jìn)的MML法主要是對(duì)0失效單元點(diǎn)估計(jì)的計(jì)算，改進(jìn)后的MML公式

(13)

式(13)中

當(dāng)單元的失效數(shù)為0時(shí)，由于Bayes評(píng)定理論利用了驗(yàn)前信息，使0失效單元的點(diǎn)估計(jì)無(wú)限接近1而非1，避免了評(píng)定結(jié)果的冒進(jìn)性。

3實(shí)例分析

某型武器裝備由電子單元(指數(shù)分布)、安全保險(xiǎn)單元(二項(xiàng)分布)、火工品動(dòng)作單元(二項(xiàng)分布)、火箭發(fā)動(dòng)機(jī)(二項(xiàng)分布)4個(gè)單元串聯(lián)組成，其中系統(tǒng)級(jí)試驗(yàn)進(jìn)行了10次，失效0次，各組成單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：

電子單元：試驗(yàn)T=3 120 h，失效r=1次，任務(wù)時(shí)間為t0=100 h；

安全保險(xiǎn)單元：試驗(yàn)n2=100次，失效f2=1次；

火工品動(dòng)作單元：試驗(yàn)n3=60次，失效f3=0次；

火箭發(fā)動(dòng)機(jī)：試驗(yàn)n3=40次，失效f3=0次；

試評(píng)估γ=0.7時(shí)，系統(tǒng)可靠度置信下限。

根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，4個(gè)單元中只有電子單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)需要轉(zhuǎn)換為成敗型數(shù)據(jù)，計(jì)算步驟如下：

可靠度置信下限：

下面分別用改進(jìn)MML法、MML-SR、L-M法對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行可靠性綜合：

1) 采用改進(jìn)MML法。4個(gè)單元中火工品動(dòng)作單元和火箭發(fā)動(dòng)機(jī)在試驗(yàn)中均出現(xiàn)了失效數(shù)為0的情況，因此需要利用Bayes方法求點(diǎn)估計(jì)，在此試驗(yàn)前雖然進(jìn)行了部分試驗(yàn)，但技術(shù)狀態(tài)未完全固化，且出現(xiàn)故障后進(jìn)行了改進(jìn)，這里按無(wú)驗(yàn)前信息進(jìn)行處理，采用Box-Tiao方法，計(jì)算可得：

利用式(13)計(jì)算得系統(tǒng)等效試驗(yàn)數(shù)：N′=41.03, F′=2.49

綜合后系統(tǒng)級(jí)的試驗(yàn)數(shù)和失效數(shù)分別為

2) 采用CMSR法[9]。由于上述試驗(yàn)數(shù)據(jù)中，無(wú)失效單元的試驗(yàn)次數(shù)不是最小的，因此MML-SR法不對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮，計(jì)算公式等同與MML法，試驗(yàn)數(shù)據(jù)帶入式(7)計(jì)算得：

系統(tǒng)等效試驗(yàn)數(shù)和失效數(shù)分別為N′=38.12, F′=1.57。

則系統(tǒng)級(jí)的試驗(yàn)數(shù)和失效數(shù)分別為N=48.12, F=1.57。

由于MML-SR法未對(duì)無(wú)失效單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮，仍然采用MML法公式進(jìn)行計(jì)算，得到的結(jié)果依然有些冒進(jìn)，由此也可以看出MML-SR法在某些情況下也難以修正MML法存在的冒進(jìn)估計(jì)。

3) 采用L-M法[10]。系統(tǒng)級(jí)的等效試驗(yàn)數(shù)及失效數(shù)分別由下式確定：

試驗(yàn)數(shù)據(jù)帶入上式計(jì)算得系統(tǒng)等效試驗(yàn)數(shù)和失效數(shù)分別為N′=37.71, F′=1.92。

系統(tǒng)級(jí)的試驗(yàn)數(shù)和失效數(shù)分別為N=47.71, F=1.92。

通過(guò)3種方法計(jì)算比較可以發(fā)現(xiàn)：采用改進(jìn)后的MML法綜合得到的結(jié)果介于MML-SR法和L-M之間。采用MML-SR法計(jì)算時(shí)，由于無(wú)失效單元的試驗(yàn)次數(shù)不是最小的，因此MML-SR法未對(duì)無(wú)失效單元試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮，仍然直接使用火工品動(dòng)作單元和火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的可靠度極大似然點(diǎn)估計(jì)1進(jìn)行計(jì)算，因此綜合的結(jié)果無(wú)疑是冒進(jìn)的；眾所周知L-M法計(jì)算的結(jié)果比較保守，也就是說(shuō)基于Bayes理論改進(jìn)的MML法計(jì)算的結(jié)果介于冒進(jìn)和保守之間，通過(guò)實(shí)例可以看出基于Bayes理論改進(jìn)的MML法的合理性。

4結(jié)束語(yǔ)

在武器裝備可靠性較高,試驗(yàn)結(jié)果中無(wú)失效經(jīng)常存在的情況下，MML法的局限性導(dǎo)致難以直接應(yīng)用其進(jìn)行系統(tǒng)可靠性綜合，基于Bayes理論改進(jìn)后的MML法能夠較好的解決試驗(yàn)結(jié)果中零失效的情況，因其利用了驗(yàn)前信息，避免了直接利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)導(dǎo)致的冒進(jìn)且也不保守，因此是進(jìn)行武器裝備系統(tǒng)可靠性綜合較好的方法。應(yīng)用改進(jìn)后的MML法關(guān)鍵是要正確利用驗(yàn)前信息，才能使系統(tǒng)可靠性綜合結(jié)果真實(shí)反應(yīng)產(chǎn)品實(shí)際可靠性水平。

由于系統(tǒng)組成各單元相互間會(huì)有影響，各單元獨(dú)立模擬進(jìn)行試驗(yàn)很難跟實(shí)際情況一致，無(wú)論哪種可靠性綜合方法都難以考慮這種影響，因此應(yīng)盡可能多的開(kāi)展系統(tǒng)級(jí)可靠性試驗(yàn)，減少可靠性綜合方法無(wú)法消除的誤差，才能有效提高系統(tǒng)可靠性評(píng)估近似限。

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(責(zé)任編輯楊繼森)