高斯束展開法的注記之二:簡單支撐矩形換能器聲場*

鮑冬禺，丁德勝

(1．河海大學物聯(lián)網(wǎng)工程學院，江蘇常州213022;2．東南大學電子科學與工程學院，南京210096)

BAO Dongyu1，DINGDesheng2*

(1．College of Internet of Things(IOT)Engineering，Hohai University，Changzhou Jiangsu 213022，China;2．School of Electronic Science and Engineering，Southeast University，Nanjing 210096，China)

聲波和電磁波的一些輻射或衍射問題可歸結于菲涅爾(Fresnel)場積分(可看作Rayleigh-Sommerfeld積分的一種近似)的求解。例如，超聲換能器輻射聲場;激光束經(jīng)過光闌或孔徑后的光場分布。然而，在大多數(shù)情況下，這一公式是一個二維的、強烈振蕩的積分，沒有解析形式的解。聲場分布通常只能用數(shù)值積分或級數(shù)展開來計算，計算十分復雜。

高斯束(一般也稱基函數(shù)或高斯函數(shù))展開方法已廣泛應用于快速計算菲涅爾場積分，即聲場分布的計算。這種方法的實質(zhì)是將菲涅爾場積分展開為一系列簡單的基本函數(shù)的疊加，因而復雜的振蕩積分簡化為一些簡單函數(shù)(如 Gaussian-Laguerre、Guassian-Hermite、高斯函數(shù)等)且項數(shù)不多的計算［1－5］，計算量大為降低［1－27］。有關這一方法的詳細論述可以參考綜述文獻［27］。

在無損檢測、醫(yī)學診斷等超聲應用中，超聲相控陣或相控陣(線陣或面陣)的單元所輻射的聲場往往可以用帶無限大障板的矩形活塞聲場來近似描述或模擬［28－31］。許多情況下，需要詳細計算媒質(zhì)中聲壓分布，以了解相控陣或超聲換能器的性能，如聲束的指向性、主瓣束寬等。與圓形活塞聲場［32］的研究相比，矩形換能器聲場的研究結果相對要少一點。

我們給出高斯函數(shù)展開法的一系列推廣［33－35］。文獻［35］中以圓形或矩形函數(shù)的高斯函數(shù)近似展開作為已知的結果，通過傅里葉或貝塞爾變換，可以將余弦函數(shù)表示成高斯函數(shù)的疊加。從而菲涅爾場積分可以簡化成一系列簡單的代數(shù)函數(shù)的求和。本文將應用這一方法，計算邊緣簡單支撐(Simply-Supported)的矩形活塞換能器聲場分布。與復雜的解析解計算結果相比，我們的方法給出了十分一致的

1 菲涅爾場積分

假定時諧振動的聲源或超聲換能器位于直角坐標系z=0平面上，用u(x'，y')代表聲源表面法向振動速度或聲壓分布，且假設帶有無限大剛性障板，則其他區(qū)域的分布可規(guī)定為零。

在菲涅爾近似或旁軸近似下，歸一化的聲壓分布可表達為菲涅爾場積分:

式中，λ表示波長，傳播因子exp［－i(ωt－kz)］已省略［10－11，30］。采用無量綱變量

S與聲源的面積大小有關，可將方程(1)寫成結果。本文的方法是文獻［33－35］研究結果的一種直接推廣，作為我們一系列研究報告的一部分。

我們假定一矩形超聲換能器的中心位于坐標原點，源分布可表示為

記號a、b為換能器的半長度和半寬度。進一步假定源函數(shù) u(x'，y')是可分離的，即可以寫成［30］u(x'，y')=u1(x')u2(y')，且有關系 u1(x')=u1(－x')和u2(y')=u2(－y')，即所謂的對稱矩形聲源［30］。現(xiàn)在采用無量綱變量(2)且令S=ab(矩形面積的1/4)，則這類對稱矩形聲源的分布函數(shù)可以寫成

由式(3)，矩形換能器聲場可表示為

上面的積分具有相同的形式。方括號中的項記為X，必要時，可以加上另外一些記號以示分別。很顯然，X實際上代表一維聲源輻射的聲場分布，例如，(無限長的)長條形聲源。其中δ=b/a為矩形換能器的半寬度與半長度之比。另外，矩形函數(shù)(Rectangle functions)定義為

2 高斯束展開

這里簡要介紹 Wen和 Breazeale經(jīng)典工作［4－5］。他們原來的研究中，給出了圓形軸對稱聲場的簡化計算方法。其中關鍵步驟是將源函數(shù)(只含一個變量，即徑向坐標)展開成項數(shù)很少的高斯函數(shù)之和。Wen和Breazeale的一個特別重要的結果是對均勻圓形活塞聲場進行高斯束展開。數(shù)學上，這一結果意味著圓形函數(shù)(Circle functions)

可以近似分解成一系列高斯函數(shù)之和，即

其中的展開系數(shù)Ak、Bk可以通過最優(yōu)化或其他方法得出。已發(fā)表的4 組數(shù)據(jù)Ak、Bk見文獻［4 －5，19，26］，文獻［22］也列出了文獻［5］的數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)的精度和應用已為許多例子而證實［4－5，7－20，22－23，26，33－34］。很顯然，上面的矩形函數(shù)(7)可以用相同的系數(shù)來表示

以下我們把近似展開式(9)、式(10)作為已知結果，并應用于矩形換能器聲場分布的簡化計算。

在文獻中［35］，我們通過對式(9)和式(10)進行傅里葉或貝塞爾變換，得到余弦函數(shù)的一個高斯函數(shù)展開

式中額外的一項－1/2是人為加上去的。若不加上這一項，已發(fā)表的4組數(shù)據(jù)［4－5，19，26］無一能較準確擬合余弦函數(shù)。加上了這一項，當且僅當采用用文獻［26］中表1所列的數(shù)據(jù)，在區(qū)間0～25上可以擬合得很好。為什么出現(xiàn)這一怪異情況，我們也不知道。

3 方法和結果

在對稱矩形聲源情形下，源函數(shù)u1和u2是偶數(shù)次冪多項式(或偶函數(shù)，如余弦函數(shù))。例如u1(ξ')=1 代表均勻的活塞聲源;u1(ξ')=1 － δξ'2表示在邊緣ξ'=±δ－1/2處簡單支撐的活塞聲源，等等。將式(10)和式(11)一起代入式(6)，可得聲場展開函數(shù)［20，33，35－36］G2n或 G(ν)，下標 2n=2ν+1。

例外情形 bN+1，j=B'j－i/η，只須令表達式中的第一項等于0，即1/BN+1→0或ξ=0即可。

現(xiàn)在我們應用本文的方法研究幾種典型的矩形換能器聲場分布，并與解析公式比較。均勻矩形活塞的結果已有許多文獻給出［28－30］。這里給出一些更為復雜的例子，以說明我們方法的優(yōu)越性。

第一個例子是邊緣簡單支撐SS(Simply-Supported)活塞聲源的聲場分布。一些實際應用的場合下，超聲換能器和相控陣單元所輻射的聲場可能更加接近這一情形［1－2，31－32］。但計算分析很少，這也是我們舉這個例子的一個原因。其聲源分布函數(shù)［32］:

聲場展開函數(shù)可以直接寫成:

式(6)中的X為

對應于 X1(ξ，η)，Bj'= δBj;而在 X2(ζ，η)中，相應的 Bj'=δ－1Bj，式(14)或式(15)中的 δ改成 δ－1，變量ξ變成ζ。歸一化的聲壓分布則可由式(16)來計算。

如同均勻矩形活塞情形，簡單支撐矩形活塞聲場分布在菲涅爾近似下也有解析解。經(jīng)過十分繁瑣的推導可得

其中F(z)=C(z)+i S(z)為復數(shù)菲涅爾函數(shù)(一種在衍射理論中十分重要的特殊函數(shù))這里只寫出了沿ξ或x方向的聲場分布，沿ζ或y方向的分布 X2(ζ，η)，只須用 δ－1、Δ－1、ζ代替式(17)中相應的 δ、Δ 和 ξ。

現(xiàn)在，我們用2種方法來計算簡單支撐矩形活塞聲場。圖1為軸上歸一化聲強分布。確切地講，應當稱之為歸一化聲壓幅度的平方分布，即式(1)或式(3)中的|u(0，0;η)|2?？梢姡F(xiàn)在方法所得結果與直接根據(jù)計算解析方法所得結果相當一致。

圖1 簡單支撐矩形活塞換能器沿軸上的聲場分布

圖2為不同截面上沿橫向方向的聲壓幅度分布。圖2也畫出了根據(jù)解析公式(17)的計算結果。除了極靠近聲源的近場區(qū)域η≤0．1z0，有一些差異。2種方法所得結果符合很好。

圖2 不同軸向距離的橫向聲場分布(在x－z平面內(nèi))

有關本文方法優(yōu)點的詳細說明和討論參見文獻［20，27，33，35］。這里我們指出該方法的另外一個優(yōu)點——形式化。換句話說，若源函數(shù)的形式已知，即可寫出場展開函數(shù)的形式。例如，四邊鉗定(clamped at the edges)的矩形活塞聲源函數(shù)

其中u1即

立即可以寫出它的場展開函數(shù)

實際上，場展開函數(shù)中G的下標與源函數(shù)中的冪次是一一對應的。邊緣鉗定矩形活塞聲場的解析解也可以用類似于(17)的、但更加復雜的公式來表示。這里我們就不給出2種方法所得結果的比較了。

4 結語

我們給出了高斯函數(shù)展開法的一種推廣。將圓形函數(shù)或矩形函數(shù)的的高斯展開作為已知結果，通過簡單的數(shù)學變換，余弦函數(shù)可表示成高斯函數(shù)的疊加，因而菲涅爾場積分可以簡化成一系列簡單的代數(shù)函數(shù)的求和。我們利用這一方法，計算了簡單支撐矩形活塞超聲換能器聲場分布。與直接計算特殊函數(shù)值相比，現(xiàn)在的方法給出了十分一致的結果。

最后我們指出，菲涅爾場積分表達式(1)出現(xiàn)在光學、電磁場傳播(涉及波的衍射或傳播問題)等物理和工程應用中。本文的方法或改進的方法依然可以用來處理這些問題。

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