隨機功能梯度材料梁的動力特性分析

陳永琴,徐亞蘭

(西安電子科技大學(xué)機電工程學(xué)院,陜西西安 710071)

隨機功能梯度材料梁的動力特性分析

陳永琴,徐亞蘭

(西安電子科技大學(xué)機電工程學(xué)院,陜西西安 710071)

由于功能梯度材料制備工藝的多樣性與復(fù)雜性,造成其等效物性參數(shù)表現(xiàn)出明顯的隨機特征.考慮剪切變形,基于高階剪切變形理論,建立了材料特性呈軸向連續(xù)變化分布的功能梯度材料梁的有限元模型,并在此基礎(chǔ)上,利用隨機變量函數(shù)的矩法,推導(dǎo)出動力特性統(tǒng)計數(shù)字特征的計算公式.綜合考查材料熱物參數(shù)的隨機性在不同組分體積指數(shù)下對功能梯度材料梁動力特性的影響,并利用蒙特卡洛仿真進行了驗證.結(jié)果表明,組分材料物性參數(shù)的隨機性對動力特性分散性的貢獻隨體積組分指數(shù)的變化而變化;在體積組分指數(shù)確定的情況下,相比較僅考慮單一參數(shù)隨機性的情況,同時考慮多個材料物性參數(shù)的隨機性會明顯造成模態(tài)頻率分散性的提高,而模態(tài)振型的分散性主要來自材料密度的隨機性,組分材料彈性模量的隨機性及體積組分指數(shù)對其影響不大.

功能梯度材料;梁;軸向;隨機性;動力特性

功能梯度材料（Functionally Graded Material,FGM)自其概念被首次提出以來[1],一直被認(rèn)為是在航空航天、機械、土木等領(lǐng)域最有應(yīng)用前途的復(fù)合材料之一.功能梯度材料通過特定的材料制備工藝將不同性能的兩種或兩種以上的材料進行組合,以連續(xù)梯度變化的材料組分來代替不同材料的突變界面,通過逐漸改變材料成分的體積百分比含量消除材料物理性能的突變,達到降低材料層間熱應(yīng)力的目的,具有耐高溫、機械強度高及抗熱沖擊的性能.國內(nèi)外學(xué)者對功能梯度材料結(jié)構(gòu)的彈性分析、斷裂機理、接觸分析及振動分析進行了廣泛深入的探討和研究[2-5].

目前,功能梯度材料結(jié)構(gòu)研究成果均基于材料熱物參數(shù)為完全確定性的假設(shè),不考慮其隨機不確定性.實際上,由于功能梯度材料制備工藝的多樣性與復(fù)雜性,現(xiàn)有工藝要滿足功能梯度材料的物理力學(xué)性能呈預(yù)先設(shè)計的理想梯度變化仍有不少困難,實際制備過程中幾乎不可能精確按照預(yù)定的梯度制備出功能梯度材料,其微觀結(jié)構(gòu)、組分材料體積含量以及間隙等往往表現(xiàn)出明顯的隨機特征[6].目前,在功能梯度力學(xué)理論分析中,為能方便利用一些經(jīng)典的力學(xué)分析方法,通常借用細(xì)觀力學(xué)的已有成果,如Voigt線性混合律、Mori-Tanka方法等,采用確定性的方法假設(shè)材料參數(shù)在某一方向上呈指數(shù)變化、冪函數(shù)變化或多項式函數(shù)變化.功能梯度材料作為非均質(zhì)復(fù)合材料,其材料熱物參數(shù)的隨機不確定性是固有的,而熱物參數(shù)的隨機不確定性最終會導(dǎo)致微機械行為、宏觀力學(xué)性能等呈現(xiàn)出很大的不確定性,故有必要采用隨機的方法對其物理力學(xué)性能進行模擬,這對合理進行結(jié)構(gòu)建模、結(jié)構(gòu)控制,健康監(jiān)測、結(jié)構(gòu)分析及結(jié)構(gòu)安全預(yù)測是十分必要的[7].

目前,隨機功能梯度材料結(jié)構(gòu)的研究文獻非常有限.文獻[8]分別利用Reddy所提出的高階剪切變形理論和半解析方法,結(jié)合一階攝動方法對具有材料隨機性的功能梯度材料板進行了靜力分析;文獻[9]分析了材料參數(shù)不確定對功能梯度材料板結(jié)構(gòu)的屈曲特性的影響;文獻[10]對功能梯度材料梁結(jié)構(gòu)進行了非線性彎曲的隨機分析;文獻[11]基于一階攝動方法,利用隨機有限元對熱環(huán)境下帶有材料參數(shù)不確定性的功能梯度材料板進行了屈曲分析,并考慮了功能梯度材料板的有效熱物參數(shù)對溫度的依賴性.

相比較功能梯度板的研究,功能梯度梁的研究成果相對比較少,且大多是材料特性呈厚度方向[10],而對呈軸向梯度分布的功能梯度材料梁,已有的文獻中很少涉及[12].文獻[12]不考慮剪切變形,利用經(jīng)典理論,對呈軸向梯度分布的功能梯度材料梁進行了動力特性分析,但未考慮材料參數(shù)的隨機性.筆者將基于高階剪切變形理論和有限元建模,考慮功能梯度材料組分材料物性參數(shù)的隨機性,對呈軸向梯度分布的功能梯度材料梁進行隨機動力特性分析,綜合考查在不同組分指數(shù)的情況下材料熱物參數(shù)的隨機性對結(jié)構(gòu)動力特性的影響.

1 材料特性

以長為l、寬為b、厚為h的矩形截面功能梯度材料梁為研究對象,功能梯度材料梁的物性參數(shù)沿軸向按冪指數(shù)分布連續(xù)變化（如圖1所示).其有效物性參數(shù)可描述為

圖1 功能梯度材料梁示意圖

其中,x為軸向坐標(biāo),P表示材料的物性參數(shù)（如彈性模量、泊松比、密度等),下標(biāo)L與R表示功能梯度材料梁的左、右表面,n為體積組分指數(shù).功能梯度材料由陶瓷和金屬兩種材料組成,由于兩種材料的泊松比比較接近,所以將其設(shè)為定值.

2 位移與應(yīng)變場

考慮功能梯度材料梁的剪切變形,利用Reddy高階剪切變形理論,可知其位移場為

這里,u,w分別表示梁上任意一點（x,z)的軸向和橫向位移;z為橫向坐標(biāo),-h2≤z≤h2;u0,w0分別表示梁中面任意一點的軸向和橫向位移;?x表示橫截面的轉(zhuǎn)角;c1=4（3h2).

由幾何方程,其應(yīng)變場可表示為

其本構(gòu)關(guān)系可簡化為

其中,σx表示正應(yīng)力,τxz表示剪應(yīng)力,為功能梯度材料梁的有效彈性模量,由式（1)計算獲得;ν表示泊松比.

3 有限元建模

其中,N為形函數(shù),q表示節(jié)點位移列陣.

梁單元內(nèi)任意一點的應(yīng)變?yōu)?/p>

單元的應(yīng)變能和動能分別表示為

其中,Ve為梁單元的體積;ρ（x)為功能梯度材料梁的有效密度,由式（1)計算獲得.

將式（2)～式（6)代入式（7),根據(jù)哈密頓原理可得到單元的自由振動方程為

其中,Ke,Me分別為單元剛度陣和質(zhì)量陣,表示為

而Bε,Bγ,D可由下式計算獲得:

在此基礎(chǔ)上,對所有單元的質(zhì)量矩陣和剛度陣進行組集,可得結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量矩陣、剛度陣以及自由振動方程.

4 隨機動力特性分析

考慮功能梯度材料組分材料物性參數(shù)的隨機性,將功能梯度材料梁的動力特性（模態(tài)頻率和模態(tài)振型)在隨機變量均值點處進行泰勒級數(shù)展開

其中,z（θ)=[f1（θ),?1（θ),…,fl（θ),?l（θ),…,fn（θ),?n（θ)]T,fl（θ)、?l（θ)為第l階模態(tài)頻率和模態(tài)振型,θ是由隨機材料物性參數(shù)組成的隨機向量,m為所涉及隨機變量的個數(shù),o（h)表示高階微小量.

忽略高階項,式（11)可表示為

利用隨機變量函數(shù)的矩法,功能梯度材料梁隨機動力特性的均值和協(xié)方差可表示為

其中,S為靈敏度矩陣,可表示為

而模態(tài)頻率和振型相對于物性參數(shù)的一階偏導(dǎo)可由下式計算:

這里,βlq可通過振型的正交性獲得,表示為

動力特性靈敏度計算時涉及到結(jié)構(gòu)剛度陣和質(zhì)量陣對物性參數(shù)的一階偏導(dǎo).而對高維結(jié)構(gòu)而言,在解析解不易獲得的情況下,可通過如下差分進行近似計算:

其中,Δθi為步長.

5 仿真研究

文中功能梯度材料梁由陶瓷和金屬兩種材料構(gòu)成,其彈性模量分別為Ec=151GPA和Em=70GPA;密度分別為ρc=3 000 kg/m3和ρm=2 707 kg/m3;泊松比均為0.3.左表層為陶瓷,右表層為金屬.梁的長為8 m,寬為0.8 m,高為1 m.梁的邊界條件為左端固定,右端自由.分別利用筆者提出的方法和蒙特卡洛方法,表1至表4給出了結(jié)構(gòu)前兩階固有頻率在不同體積組分指數(shù)下的均值與變異系數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差與均值之比),這里兩種材料密度的變異系數(shù)固定為1%.可以發(fā)現(xiàn),筆者提出的方法（FOPT)計算結(jié)果與MCS方法很接近,這表明筆者的計算結(jié)果是可信賴的.從表中可以看出,均值隨指數(shù)的提高而下降,這主要由于指數(shù)的增加導(dǎo)致金屬材料的含量增多,從而降低了結(jié)構(gòu)的剛度.不過,由于忽略了高階項,筆者提出的方法計算的均值并不隨著物性參數(shù)隨機性的變化而變化.如果物性參數(shù)的隨機性比較大（一般其變異系數(shù)超過20%),需要考慮二階項.在小隨機參數(shù)的情況下,物性參數(shù)的隨機性主要會造成動力特性的分散,對其均值的影響不大.

表1 第1階模態(tài)頻率的均值

表2 第1階模態(tài)頻率的變異系數(shù)

表3 第2階模態(tài)頻率的均值

表4 第2階模態(tài)頻率的變異系數(shù)

為了進一步研究物性參數(shù)的隨機性在不同體積組分指數(shù)下對模態(tài)頻率分散性的影響,圖2給出在不同物性參數(shù)隨機性下功能梯度材料梁前兩階模態(tài)頻率的變異系數(shù)隨材料體積組分指數(shù)的變化關(guān)系.可以發(fā)現(xiàn),指數(shù)越小,Ec的隨機性對頻率的分散性影響越明顯;隨著指數(shù)的增大,Ec的影響減小,而Em的影響會逐步增大;在指數(shù)超過一定值時,Em的隨機性對頻率的分散性影響比較明顯.這主要是由于指數(shù)比較小時,陶瓷的成分比較高,而指數(shù)比較大時,金屬的含量比較高.

圖3給出了在體積組分指數(shù)n=2時,功能梯度材料梁前兩階模態(tài)頻率的變異系數(shù)隨物性參數(shù)隨機性的關(guān)系.從圖中可以發(fā)現(xiàn),相比較僅考慮一種或兩種參數(shù)的隨機性,同時考慮多個材料物性參數(shù)的隨機性會明顯提高模態(tài)頻率的分散性.從圖3（a)中可以發(fā)現(xiàn),相比較僅考慮Ec的隨機性,在同時考慮兩種材料彈性模量的隨機性影響的情況下,第1階模態(tài)頻率分散性并沒有明顯提高.從圖3（b)中可以發(fā)現(xiàn),在n=2時,Ec和Em隨機性對第2階頻率分散性的貢獻基本接近.

圖2 模態(tài)頻率的變異系數(shù)隨材料體積組分指數(shù)的變化關(guān)系

圖3 模態(tài)頻率的變異系數(shù)隨材料參數(shù)的變化關(guān)系

圖4給出了功能梯度材料梁前兩階振型的均值和分散性（n=2,密度ρc、ρm的變異系數(shù)為1%).對正則振型而言,其分散性主要來自于組分材料密度的隨機性,彈性模量及體積組分指數(shù)對其影響可以忽略.

圖4 正則振型的均值及其分散性

6 結(jié) 論

筆者以材料特性沿軸向連續(xù)變化分布的功能梯度材料梁為研究對象,考慮其組分材料物性參數(shù)的隨機性,基于高階剪切變形理論和有限元建模,利用隨機變量函數(shù)的矩法,綜合考查材料熱物參數(shù)的隨機性在不同組分體積指數(shù)下對結(jié)構(gòu)動力特性的影響.主要結(jié)論如下:組分材料物性參數(shù)的隨機性主要會造成動力特性的分散性,對其均值的影響不大;組分材料物性參數(shù)的隨機性對動力特性分散性的貢獻隨組分體積指數(shù)的變化而變化;在特定分體積指數(shù)的情況下,相比較僅考慮單一參數(shù)的隨機性,同時考慮多個材料物性參數(shù)的隨機性會明顯提高模態(tài)頻率的分散性;但相比較僅考慮一種材料的隨機性,在同時考慮兩種材料彈性模量的隨機性影響的情況下,模態(tài)頻率分散性并沒有明顯提高.

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（編輯:郭 華)

Dynamic characteristics analysis for the random FGM beam

CHEN Yongqin,XU Yalan
(School of Mechano-electronic Engineering,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

The uncertainty in effective physical properties is inherent since the manufacturing and fabrication processes of FGM(Functionally Graded Materials)are extremely complex.Based on the highorder shear deformation theory,the finite element model is developed for the FGM beam with material properties varying in the axial direction,taking into account the shear deformation.Using the moment method of the random function,the statistics of dynamic characteristics for the FGM beam is calculated,and the effect of random constituent material properties on the dynamic characteristics for the FGM beam is systemically investigated in the case of different volume fraction indexes.The Monte-Carlo method is used to verify the presented method.Numerical results show the dominant effect of the constituent volume fraction index on the dispersion in dynamic characteristics,and the dispersion in modal frequencies becomes higher when more material properties are considered random,and the dispersion in mode shapes depends mainly on the randomness of constituent material mass densities,while the volume fraction index and random elastic modulus of constituent materials have little influence on mode shapes.

functionally graded material;beam;axial direction;randomness;dynamic characteristics

TU311;O327

A

1001-2400（2015)06-0099-07

10.3969/j.issn.1001-2400.2015.06.018

2014-07-09

時間:2015-03-13

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金資助項目（JY10000904012);國家863高技術(shù)研究發(fā)展計劃資助項目（2006AA04Z402)

陳永琴（1971-),女,副教授,博士,E-mail:microeng@nwpu.edu.cn.

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150313.1719.018.html