一種低快拍情況下的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法

朱玉堂,趙永波,水鵬朗,程增飛,李 慧

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710071)

一種低快拍情況下的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法

朱玉堂,趙永波,水鵬朗,程增飛,李 慧

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710071)

針對(duì)低快拍情況下自適應(yīng)波束形成器性能急劇下降的問題,提出一種基于聯(lián)合協(xié)方差矩陣修正和導(dǎo)向矢量估計(jì)的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法.該算法先對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行修正,再用修正的協(xié)方差矩陣估計(jì)最優(yōu)導(dǎo)向矢量,最后利用修正的協(xié)方差矩陣和估計(jì)的最優(yōu)導(dǎo)向矢量計(jì)算自適應(yīng)波束形成器的加權(quán)矢量.該算法不僅能有效地處理各種失配,還能解決自適應(yīng)波束形成器在低快拍情況下性能急劇下降的問題,提高了自適應(yīng)波束形成器的穩(wěn)健性.計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了所提算法的正確性和有效性.

自適應(yīng)波束形成;陣列信號(hào);低快拍;穩(wěn)健性

自適應(yīng)波束形成是陣列信號(hào)處理中一個(gè)重要的研究方向,在雷達(dá)、聲納、無線通信、醫(yī)學(xué)影像和射電天文學(xué)等多種領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用.在理想情況下,自適應(yīng)波束形成器具有較高的分辨力和較強(qiáng)的干擾抑制能力.但在實(shí)際工程應(yīng)用中,快拍數(shù)有限、期望信號(hào)指向誤差、陣列標(biāo)定誤差或局部相干散射等非理想因素均可引起協(xié)方差矩陣失配和導(dǎo)向矢量失配,導(dǎo)致主瓣畸變、旁瓣升高和期望信號(hào)自消,造成自適應(yīng)波束形成器的性能下降.如果接收數(shù)據(jù)中存在期望信號(hào),自適應(yīng)波束形成器的性能下降更嚴(yán)重.因此,穩(wěn)健性成為了自適應(yīng)波束形成器的必需要求.

為提高自適應(yīng)波束形成器的穩(wěn)健性,近年來學(xué)者們提出了很多穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法,如基于特征空間的算法[1],常用的對(duì)角加載類算法[2-5]和基于角度區(qū)間類算法[6-7]等.其中基于特征空間的算法利用假定的導(dǎo)向矢量在信號(hào)協(xié)方差矩陣的特征空間中投影,緩解了導(dǎo)向矢量失配對(duì)波束形成器性能的影響;對(duì)角加載類算法通過向協(xié)方差矩陣添加加載陣,提高了波束形成器對(duì)一般失配的穩(wěn)健性;基于角度區(qū)間類算法利用期望信號(hào)所在的角度區(qū)間估計(jì)期望信號(hào)的最優(yōu)導(dǎo)向矢量,也同樣增強(qiáng)了波束形成器對(duì)一般失配的穩(wěn)健性.然而這些算法在低快拍情況下性能急劇下降,甚至部分算法在快拍數(shù)低于陣元數(shù)情況下完全失效.快拍數(shù)是信號(hào)處理中一種重要資源,高的快拍數(shù)可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性,但也會(huì)造成計(jì)算復(fù)雜度增高、硬件實(shí)現(xiàn)困難、通信及時(shí)性差等一系列問題.另外,當(dāng)接收數(shù)據(jù)的維數(shù)比較大（如多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Output,MIMO)雷達(dá))或者要求自適應(yīng)波束形成器對(duì)接收環(huán)境的快速變化反應(yīng)敏感時(shí),接收數(shù)據(jù)的采樣快拍數(shù)都不會(huì)很高[8].因此,如何在低快拍情況下改善自適應(yīng)波束形成器的穩(wěn)健性具有重要意義.

針對(duì)低快拍情況下自適應(yīng)波束形成器的穩(wěn)健性問題,筆者在深入分析低采樣快拍數(shù)對(duì)自適應(yīng)波束形成器性能影響的基礎(chǔ)上,提出一種基于聯(lián)合協(xié)方差矩陣修正和期望信號(hào)最優(yōu)導(dǎo)向矢量估計(jì)的穩(wěn)健波束形成算法.與現(xiàn)有的算法相比,文中算法對(duì)各種失配都具有較好的穩(wěn)健性,特別是在快拍數(shù)低于陣元數(shù)的情況下.

1 信號(hào)模型

考慮一個(gè)N元的線陣,有一個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶期望信號(hào)和P個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)干擾信號(hào)入射到陣列,其中P+1＜N,則第k次快拍陣列的接收數(shù)據(jù)矢量可以表示為

其中,xs（k)、xi（k)和xn（k)分別為接收數(shù)據(jù)中互不相關(guān)的期望信號(hào)、干擾和噪聲部分,xs（k)=a s（k),a∈CN×1,為期望信號(hào)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量,s（k)為期望信號(hào)的復(fù)包絡(luò).

對(duì)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行波束形成,則波束形成器的輸出為其中,w=[w1,w2,…,wN]T∈CN,為波束形成器的加權(quán)矢量,（·)T和（·)H分別表示轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置.

陣列的輸出信干噪比為

為期望信號(hào)的功率,Ri+n=E{[ xi（k)+xn（k)][xi（k)+xn（k)]H}∈CN×N,為干擾噪聲協(xié)方差矩陣,E{·}表示數(shù)學(xué)期望.其中,

2 MVDR和MPDR

波束形成器的最優(yōu)加權(quán)矢量可以通過最大化陣列的輸出信干噪比得到,其等價(jià)的數(shù)學(xué)模型[9]可以表示為

小方差無畸變響應(yīng)（Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)波束形成器,式（5)的解w2=被稱為最小能量無畸變響應(yīng)（Minimum Power Distorionless Response,MPDR)波束形成器.盡管在理想條件下兩種波束形成器等價(jià)相同,但在低采樣快拍數(shù)情況下MPDR波束形成器的性能遠(yuǎn)不如MVDR波束形成器.

假定接收數(shù)據(jù)為L(zhǎng)次快拍的采樣數(shù)據(jù),期望信號(hào)、干擾和噪聲之間以及它們相互間的相關(guān)性增加,互不相關(guān)的假設(shè)不再滿足,則

3 文中算法

文獻(xiàn)[1]證明了由快拍數(shù)不足造成的協(xié)方差矩陣失配可以和期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量失配等價(jià),因此,可以通過修正︵w2中的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量或協(xié)方差矩陣來同時(shí)克服快拍數(shù)不足和導(dǎo)向矢量失配對(duì)SMI（也就是MPDR[9])波束形成器性能的影響.但是這種等價(jià)關(guān)系是建立在期望信號(hào)的功率遠(yuǎn)大于噪聲功率且快拍數(shù)遠(yuǎn)高于陣元數(shù)的條件之上,如果該條件不滿足,特別是快拍數(shù)高于陣元數(shù)時(shí),單一地修正協(xié)方差矩陣或期望信號(hào)導(dǎo)向矢量并不能很好地解決上述失配問題.因此,筆者提出一種新的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法,將協(xié)方差矩陣的修正和期望信號(hào)最優(yōu)導(dǎo)向矢量的估計(jì)聯(lián)合起來,從而更好地處理波束形成器的協(xié)方差矩陣失配和導(dǎo)向矢量失配.

3.1 協(xié)方差矩陣的修正

在低快拍情況下采樣協(xié)方差矩陣的失配主要表現(xiàn)為小特征值的擴(kuò)散,下面將通過公式推導(dǎo)來說明這個(gè)問題,并提出解決方法.

將︵Rx特征分解為

其中,λk（k=1,…,P)為干擾對(duì)應(yīng)的特征值,λP+1為期望信號(hào)對(duì)應(yīng)的特征值,λk（k=P+2,…,N)為噪聲對(duì)應(yīng)的小特征值,uk為特征值λk對(duì)應(yīng)的特征向量.由于x為Hermitian矩陣,因此,所有特征值都是實(shí)數(shù)且特征向量相互正交.

取最小特征值為λmin,則x的逆可用特征值和特征向量表示為

從上式可以看出,自適應(yīng)波束圖可以認(rèn)為是靜態(tài)波束圖（即沒有外界干擾僅有內(nèi)部噪聲時(shí)的狀態(tài))減去特征向量對(duì)應(yīng)的特征波束圖,a即為靜態(tài)波束圖對(duì)應(yīng)的權(quán)值.由于干擾的功率遠(yuǎn)大于噪聲的功率,所以（λkλmin)λk（i=1,…,P)接近1,干擾幾乎被完全抑制掉,在干擾方向形成零陷;而期望信號(hào)由于受到約束的保障,在導(dǎo)向矢量不存在失配的情況下,能夠無損耗地輸出.在假設(shè)的理想條件下用協(xié)方差矩陣Rx計(jì)算時(shí),λP+1=…=λN=λmin,（λk-λmin)λk=0（k=P+2,…,N),小特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量不參與計(jì)算.但在低快拍情況下,期望信號(hào)、干擾和噪聲之間以及它們相互間的相關(guān)性增加.假設(shè)的白噪聲實(shí)際等價(jià)為色噪聲,從而造成了采樣協(xié)方差矩陣的小特征值擴(kuò)散[10].小特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量擾動(dòng)參與了自適應(yīng)權(quán)值的計(jì)算,導(dǎo)致了自適應(yīng)波束形成器的主瓣畸變,旁瓣抬高,干擾對(duì)應(yīng)的零陷變淺,收斂速度變慢,甚至發(fā)散.另外,當(dāng)快拍數(shù)低于陣元數(shù)時(shí),部分小特征值等于0,傳統(tǒng)的MPDR波束形成器完全失效.

為了解決低快拍數(shù)造成采樣協(xié)方差矩陣小特征值擴(kuò)散的問題,文中采用自動(dòng)對(duì)角加載的方法對(duì)x進(jìn)行修正[11].基本思想是通過單位陣I和采樣協(xié)方差矩陣Rx的凸線性組合來估計(jì)協(xié)方差矩陣,即

這樣最小化,就可以得到

要計(jì)算出MVDR波束形成器的權(quán)值,就必須得到干擾噪聲協(xié)方差矩陣.干擾噪聲協(xié)方差矩陣的估計(jì)方法有很多[7,12-13],為了方便說明問題,利用Capon譜重構(gòu)干擾噪聲協(xié)方差矩陣[7]為

3.2 期望信號(hào)最優(yōu)導(dǎo)向矢量的估計(jì)

根據(jù)上文的分析,在低快拍情況下單一地修正協(xié)方差矩陣并不能徹底地解決期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量失配,還需要自適應(yīng)地估計(jì)期望信號(hào)的最優(yōu)導(dǎo)向矢量.期望信號(hào)導(dǎo)向矢量的估計(jì)可以轉(zhuǎn)化為導(dǎo)向矢量誤差e的估計(jì),而導(dǎo)向矢量誤差e又可以分解為垂直部分e⊥（與期望信號(hào)的假定導(dǎo)向矢量a垂直)和平行部分e∥（與a平行),其中e∥不影響陣列的輸出信干噪比.因此,類似于文獻(xiàn)[7]期望信號(hào)最優(yōu)導(dǎo)向矢量的估計(jì)可以簡(jiǎn)化為垂直部分e⊥的搜索:

其中,目標(biāo)函數(shù)是為了最大化陣列的輸出功率,第1行約束是為了保證e⊥和假定導(dǎo)向矢量a垂直,第2行約束是為了防止a+e⊥向干擾導(dǎo)向矢量及其線性組合收斂.又因?yàn)閕+n正定,所以這個(gè)優(yōu)化問題是一個(gè)可解的二次約束二次問題（Quadratic Constraint Quadratic Problem,QCQP).求解之后就可以得到期望信號(hào)最優(yōu)導(dǎo)向矢量的估計(jì)為

在得到重構(gòu)的干擾噪聲協(xié)方差矩陣和估計(jì)的最優(yōu)導(dǎo)向矢量后,將其分別代入MVDR波束形成器就可以得到一種新的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成器:

4 計(jì)算機(jī)仿真

為了驗(yàn)證文中算法的有效性,進(jìn)行如下仿真.仿真基于一個(gè)N=10的均勻線陣,陣元間隔為半波長(zhǎng),接收數(shù)據(jù)中包含互不相關(guān)的期望信號(hào)、干擾和噪聲,期望信號(hào)的方向?yàn)?°,干擾信號(hào)的方向分別為30°和50°,信噪比（Signal to Noise Ratio,SNR)為10 dB,干噪比（Interference and Noise Ratio,INR)均為30 dB,噪聲為空域、時(shí)域獨(dú)立的零均值圓對(duì)稱復(fù)高斯白噪聲.另外,為了充分說明文中算法的性能,在部分仿真中,文中算法與LSMI[2]、WC-RCB[3]、GLC[4]、文獻(xiàn)[6-7]的算法進(jìn)行對(duì)比,其中LSMI的對(duì)角加載因子設(shè)定為10倍的噪聲功率,WC-RCB的不確定集上界設(shè)定為0.3,文中算法、文獻(xiàn)[6-7]的算法中期望信號(hào)所在的角度區(qū)間設(shè)定為Θ=[0°,10°],干擾信號(hào)所在的角度區(qū)間為Θ的補(bǔ)集.

實(shí)驗(yàn)1 在低快拍情況下MVDR和MPDR的關(guān)系.接收數(shù)據(jù)的快拍數(shù)L=20,其他參數(shù)根據(jù)上文設(shè)定.

圖1 MVDR和MPDR的波束響應(yīng)

實(shí)驗(yàn)2 自動(dòng)對(duì)角加載對(duì)小特征值擴(kuò)散的改善.接收數(shù)據(jù)的快拍數(shù)L=5,蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)為500,其他參數(shù)根據(jù)上文設(shè)定.

從圖2中可以看出,由于接收數(shù)據(jù)的快拍數(shù)過少,采樣協(xié)方差矩陣的小特征值遠(yuǎn)小于理想?yún)f(xié)方差矩陣的小特征值,但是經(jīng)過自動(dòng)對(duì)角加載的處理,修正后采樣協(xié)方差矩陣的小特征值逼近理想?yún)f(xié)方差矩陣的小特征值.另外,從圖2中還可以看出,修正后協(xié)方差矩陣仍然存在失配,說明了采用MVDR波束形成器的必要性.

實(shí)驗(yàn)3 在低快拍情況下不同算法的波束響應(yīng)對(duì)比.接收數(shù)據(jù)的快拍數(shù)L=5,其他參數(shù)根據(jù)上文設(shè)定.

圖2 不同協(xié)方差矩陣的特征值分布

圖3 給出了在低快拍情況下,文中算法與適合低快拍的常用算法（LSMI、GLC、WC-RCB)的波束響應(yīng)的對(duì)比,從圖中可以看出,文中算法不僅可以保證主瓣的形狀、壓低旁瓣,還能在干擾方向形成很深的零陷.

實(shí)驗(yàn)4 在導(dǎo)向矢量失配情況下不同算法的性能對(duì)比.在存在指向誤差的情況下期望信號(hào)的假定方向?yàn)?°,在存在近場(chǎng)相干散射的情況下期望信號(hào)的實(shí)際導(dǎo)向矢量可以表示為=a0+,a0為直達(dá)信號(hào)的導(dǎo)向矢量,d（θi)（i=1,…,I)表示從θi方向入射的相干散射信號(hào)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量,?i為相干散射信號(hào)相對(duì)直達(dá)波信號(hào)的相位差.此例中I取4,直達(dá)波信號(hào)的入射方向?yàn)?°,反射信號(hào)的入射方向θi服從均值為0°,標(biāo)準(zhǔn)差為4°的高斯隨機(jī)分布,?i服從[0,2π]間的均勻分布.蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)為500,其他參數(shù)根據(jù)上文設(shè)定.

圖3 文中算法與常用算法的波束響應(yīng)對(duì)比

圖4（a)和圖4（b)分別給出了期望信號(hào)存在指向誤差和近場(chǎng)相干散射情況下不同算法的性能對(duì)比.從圖中可以看出,當(dāng)快拍數(shù)低于陣元數(shù)時(shí),文中算法的性能明顯優(yōu)于其他算法;當(dāng)快拍數(shù)高于陣元數(shù)時(shí),文中算法的性能和同類算法相當(dāng).另外,從圖中還可以看出,MVDR類算法（文中算法和文獻(xiàn)[7]算法)的性能優(yōu)于MPDR類算法（LSMI、GLC、WC-RCB和文獻(xiàn)[6]算法);單一地修正協(xié)方差矩陣失配的算法（LSMI、GLC和WC-RCB)或?qū)蚴噶渴涞乃惴ǎㄎ墨I(xiàn)[6-7]算法)的性能均不如聯(lián)合修正協(xié)方差矩陣失配和導(dǎo)向矢量失配的文中算法,特別是在快拍數(shù)低于陣元數(shù)情況下.

圖4 在導(dǎo)向矢量存在失配時(shí)不同算法的性能對(duì)比

5 結(jié)束語

針對(duì)低快拍情況下自適應(yīng)波束形成器性能急劇下降的問題,提出一種新的穩(wěn)健波束形成算法.該算法基于MVDR波束形成器,聯(lián)合協(xié)方差矩陣的修正和期望信號(hào)導(dǎo)向矢量的估計(jì),提高了陣列的輸出信干噪比（Signal to Interference and Noise Ratio,SINR),增強(qiáng)了算法對(duì)協(xié)方差矩陣失配和導(dǎo)向矢量失配的穩(wěn)健性.

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（編輯:李恩科)

Robust adaptive beamforming algorithm in the situation of limited snapshots

ZHU Yutang,ZHAO Yongbo,SHUI Penglang,CHENG Zengfei,LI Hui
(National Key Lab.of Radar Signal Processing,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

In order to solve the problem of the sharp degradation of the adaptive beamformer performance due to limited snapshots,this paper proposes a new robust adaptive beamforming algorithm based on the correction of the covariance matrix and the estimation of the steering vector.The proposed algorithm first corrects the covariance matrix,and then obtains the estimation of the optimal steering vector with the corrected covariance matrix.Finally,using the corrected covariance matrix and the estimated optimal steering vector,the weight vector of the adaptive beamformer is calculated.The proposed algorithm can not only deal with all kinds of mismatches efficiently,but also solve the problem of the sharp degradation of the adaptive beamformer performance in the situation of limited snapshots,so that the robustness of the adaptive beamformer can be improved.Simulation results demonstrate the correctness and effectiveness of the proposed algorithm.

adaptive beamforming;array signal;limited snapshots;robustness

TN911.7

A

1001-2400（2015)06-0037-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2015.06.007

2014-06-23

時(shí)間:2015-03-13

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（K5051202047)

朱玉堂（1988-),男,西安電子科技大學(xué)博士研究生,E-mail:yutangzhu_xd@163.com.

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150313.1719.007.html