帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界和極值問題

牛玉平

一、命題規(guī)律

帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)往往會(huì)出現(xiàn)臨界和極值問題，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)多解問題，解決這類問題，對考生分析能力、判斷能力和綜合運(yùn)用知識的能力要求較高，因此可能成為2016年高考命題點(diǎn).

二、解題策略

分析帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題時(shí)，通常以題目中的“恰好”、“最高”、“最長”、“至少”等為突破口，將不確定的物理量推向極端（如極大、極??；最上、最下；最左、最右等），結(jié)合幾何關(guān)系分析得出臨界條件，列出相應(yīng)方程求解結(jié)果.

1.常見的三種幾何關(guān)系

（1）剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切.

（2）當(dāng)速度v一定時(shí)，弧長（或弦長）越長，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長.

（3）當(dāng)速率v變化時(shí)，圓心角大的，運(yùn)動(dòng)時(shí)間長.

2.兩種動(dòng)態(tài)圓的應(yīng)用方法

（1）如圖1所示，一束帶負(fù)電的粒子以初速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，若初速度v方向相同，大小不同，所有粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心都在垂直于初速度方向的直線上，速度增大時(shí)，軌道半徑隨之增大，所有粒子的軌跡組成一組動(dòng)態(tài)的內(nèi)切圓，與右邊界相切的圓即為臨界軌跡.

（2）如圖2所示，一束帶負(fù)電的粒子以初速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，若初速度v大小相同，方向不同，則所有粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑相同，但不同粒子的圓心位置不同，其共同規(guī)律是：所有粒子的圓心都在以入射點(diǎn)O為圓心，以軌道半徑為半徑的圓上，從而可以找出動(dòng)態(tài)圓的圓心軌跡.利用動(dòng)態(tài)圓可以畫出粒子打在邊界上的最高點(diǎn)和最低點(diǎn).

三、易錯(cuò)提醒

解決帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界和極值問題極易從以下幾點(diǎn)失分：（1）審題過程出現(xiàn)多層思維障礙，不能把粒子的運(yùn)動(dòng)和磁場的分布相結(jié)合分析問題；（2）對定圓心、求半徑、找轉(zhuǎn)角、畫軌跡、求時(shí)間的方法不熟練；（3）找不出臨界點(diǎn)，挖掘不出臨界條件；（4）數(shù)學(xué)功底薄弱，求不出臨界極值.

可從以下幾點(diǎn)進(jìn)行防范：（1）正確判定洛倫茲力方向，確定軌跡的彎曲方向；（2）熟練掌握圓心、半徑、軌跡、轉(zhuǎn)角、時(shí)間的求解或確定方法；（3）靈活運(yùn)用物理方程、幾何知識找出等量關(guān)系，求出臨界極值.）

例1（2015年齊齊哈爾市5月最后一模）如圖3所示，在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處有一放射源，向四周均勻發(fā)射速度大小相等、方向都平行于紙面的帶電粒子.在放射源右側(cè)有一很薄的擋板，垂直于x軸放置，擋板與xOy平面交線兩端M、N正好與原點(diǎn)O構(gòu)成等邊三角形，O′為擋板與x軸的交點(diǎn).在整個(gè)空間中，有垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出），帶電粒子在磁場中沿順時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知帶電粒子的質(zhì)量為m，帶電荷量大小為q，速度大小為v，MN的長度為L.（不計(jì)帶電粒子的重力及粒子間的相互作用）

（1）確定帶電粒子的電性；

（2）要使帶電粒子不打在擋板上，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值；

（3）要使MN的右側(cè)都有粒子打到，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值.（計(jì)算過程中，要求畫出各臨界狀態(tài)的軌跡圖）

解析（1）帶電粒子沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，由左手定則可得，粒子帶正電荷.

（2）設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r，帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供，有qvB=mv2r，解得r=mvqB.

由于從O點(diǎn)射出的粒子的速度大小都相同，由上式可得，所有粒子的軌跡半徑都相等.

由幾何知識可知，為使粒子不打在擋板上，軌跡的半徑最大時(shí)，帶電粒子在O點(diǎn)沿y軸正方向射出，其軌跡剛好與MN相切，軌跡圓心為O1，如圖4甲所示.

則最大半徑rmax=12Lcos30°=34L，

由上式可得，磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值Bmin=43mv3qL.

（3）為使MN的右側(cè)都有粒子打到，打在N點(diǎn)的粒子最小半徑的軌跡為圖4乙中的圓弧OMN.

圖中點(diǎn)O2為軌跡的圓心，由于內(nèi)接△OMN為正三角形，

由幾何知識知，最小的軌跡半徑為rmin=L2cos30°.

粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供，有qvB=mv2r，所以磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值Bmax=3mvqL

答案：（1）正 （2）43mv3qL （3） 3mvqL

例2（多選）（2015太原質(zhì)檢）如圖5所示，有一垂直于紙面向外的有界勻強(qiáng)磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，其邊界為一邊長為L的正三角形（邊界上有磁場），A、B、C為三角形的三個(gè)頂點(diǎn).今有一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子（不計(jì)重力），以速度v=3qBL4m從AB邊上的某點(diǎn)P既垂直于AB邊又垂直于磁場的方向射入磁場，然后從BC邊上某點(diǎn)Q射出.則（ ）.

A.PB≤2+34L B.PB≤1+34L

C.QB≤34L D.QB≤12L

解析選AD.由Bqv=

mv2R，可知R=34L，則從P點(diǎn)射入的粒子軌跡最長時(shí)與AC邊相切，此時(shí)PB=2+34L，而當(dāng)粒子在其中經(jīng)歷14圓弧，從BC邊上射出時(shí)，Q′B最大為12L，故A、D正確.

例3（2015屆衡水第二次月考）如圖6所示，兩平行金屬板AB中間有互相垂直的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場.A板帶正電荷，B板帶等量負(fù)電荷，電場強(qiáng)度為E；磁場方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1.平行金屬板右側(cè)有一擋板M，中間有小孔O′，OO′是平行于兩金屬板的中心線.擋板右側(cè)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B2.CD為磁場B2邊界上的一絕緣板，它與M板的夾角θ=45°，O′C=a，現(xiàn)有大量質(zhì)量均為m，含有各種不同電荷量、不同速度的帶電粒子（不計(jì)重力），自O(shè)點(diǎn)沿OO′方向進(jìn)入電磁場區(qū)域，其中有些粒子沿直線OO′方向運(yùn)動(dòng)，并進(jìn)入勻強(qiáng)磁場B2中，求：

（1）進(jìn)入勻強(qiáng)磁場B2的帶電粒子的速度；

（2）能擊中絕緣板CD的粒子中，所帶電荷量的最大值；

（3）絕緣板CD上被帶電粒子擊中區(qū)域的長度.

解析（1）設(shè)沿直線OO′運(yùn)動(dòng)的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場B2的速度為v，根據(jù)qvB1=qE，解得：v=EB1.

（2）粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場B2中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)qvB2=mv2r，解得：q=mvB2r.

因此，電荷量最大的帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑最小.設(shè)最小半徑為r1，此帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與CD板相切.

則有：r1+2r1=a，解得：r1=（2-1）a.

電荷量最大值q=（2+1）mEB1B1a.

（3）帶負(fù)電的粒子在磁場B2中向上偏轉(zhuǎn)，某帶負(fù)電粒子軌跡與CD相切，設(shè)半徑為r2，依題意r2+a=2r2

解得：r2=（2+1）a

.則CD板上被帶電粒子擊中區(qū)域的長度為x=r2-r1=2a.

答案：（1）EB1 （2） （2+1）mEB1B1a （3）2a

（收稿日期：2015-05-16）