2015年高考福建卷數(shù)學(xué)試題評(píng)析（二）

鄭一平

（接上期）18. （本小題滿分13分） 已知橢圓E：

x2a2+y2b2=1（a>b>0）過(guò)點(diǎn)（0，2），且離心率為e=22.

（Ⅰ）求橢圓E的方程； （Ⅱ）設(shè)直線l：x=my-1（m∈R）交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，

判斷點(diǎn)G（-94，0）與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

命題意圖本題主要考查橢圓、圓、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想.

解題思路方法一：（Ⅰ）由已知得b=2ca=22，a2=b2+c2，解得a=2b=2，c=2

所以橢圓E的方程為x24+y22=1.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)為H（x0，y0）.

由x=my-1x24+y22=1得（m2+2）y2-2my-3=0，

所以y1+y2=2mm2+2，y1y2=-3m2+2，從而y0=mm2+2.

所以|GH|2=（x0+94）2+y20=（my0+54）2+y20=（m2+1）y20+52my0+2516.

|AB|24=（x1-x2）2+（y1-y2）24=（m2+1）（y1-y2）24=（m2+1）[（y1+y2）2-4y1y2]4=（m2+1）（y20-y1y2），

故|GH|2-|AB|24=52my0+（m2+1）y1y2+

2516=5m22（m2+2）-3（m2+1）m2+2+2516=17m2+216（m2+2）>0.

所以|GH|>|AB|2，故G（-94，0）在以AB為直徑的圓外.

方法二（Ⅰ）同方法一.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則GA=（x1+94，y1），GB=（x2+94，y2）.

由x=my-1x24+y22=1得（m2+2）y2-2my-3=0，所以y1+y2=2mm2+2，y1y2=-3m2+2，

從而GA·GB=（x1+94）（x2+94）+y1y2=（my1+54）（my2+54）+y1y2=（m2+1）y1y2+54m（y1+y2）+2516=5m22（m2+2）-3（m2+1）m2+2+2516=17m2+216（m2+2）>0

所以cos>0，又GA，GB不共線，所以∠AGB為銳角.

故點(diǎn)G（-94，0）在以AB為直徑的圓外.

規(guī)律總結(jié)本解析幾何題與往年相比位置前移，難度有所下降.特別涉及的是解析幾何常見問(wèn)題.

本題為中等題，只要掌握橢圓的基本知識(shí)、直線與橢圓的位置關(guān)系以及橢圓的幾何特征，并熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算就可以得到正確結(jié)果.方法二利用向量有關(guān)知識(shí)進(jìn)行推理、計(jì)算也可達(dá)到目的.

19.（本小題滿分13分）已知函數(shù)f（x）的圖象是由函數(shù)g（x）=cosx的圖像經(jīng)如下變換得到：先將g（x）圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得到的圖像向右平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度.

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式，并求其圖像的對(duì)稱軸方程；

（Ⅱ）已知關(guān)于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π）內(nèi)有兩個(gè)不同的解α，β.

（?。┣髮?shí)數(shù)m的取值范圍；

（ⅱ）證明： cos（α-β）=2m25-1.

命題意圖本小題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、分類與整體思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想.

解題思路方法一：（Ⅰ）將g（x）=cosx的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=2cosx的圖像，再將y=2cosx的圖像向右平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=2cos（x-π2）的圖像，故f（x）=2sinx.

從而函數(shù)f（x）=2sinx圖像的對(duì)稱軸方程為x=kπ+π2（k∈Z）.

（Ⅱ） （?。?f（x）+g（x）=2sinx+cosx=5（25sinx+15cosx）

=5sin（x+φ）（其中sinφ=15，cosφ=25）

依題意，sin（x+φ）=m5在區(qū)間[0，2π）內(nèi)有兩個(gè)不同的解α，β.當(dāng)且僅當(dāng)|m5|<1，故m的取值范圍是（-5，5）.

（ⅱ）因?yàn)棣?，β是方?sin（x+φ）=m在區(qū)間[0，2π）內(nèi)的兩個(gè)不同的解，

所以sin（α+φ）=m5，sin（β+φ）=m5

當(dāng)1≤m<5時(shí)，α+β=2（π2-φ），即α-β=π-2（β+φ）；

當(dāng)-5

所以cos（α-β）=-cos2（β+φ）=2sin2（β+φ）-1=2（m5）2-1=2m25-1.

方法二（Ⅰ）同方法一.

（Ⅱ）（?。?同方法一.

（ⅱ） 因?yàn)棣粒率欠匠?sin（x+φ）=m在區(qū)間[0，2π）內(nèi)的兩個(gè)不同的解，

所以sin（α+φ）=m5，sin（β+φ）=m5.

當(dāng)-1≤m<5時(shí)，α+β=2（π2-φ），即α+φ=π-（β+φ）；

當(dāng)-5

所以cos（α+φ）=-cos（β+φ），

于是cos（α-β）=cos[（α+φ）-（β+φ）]=cos（α+φ）cos（β+φ）+sin（α+φ）sin（β+φ）=

-cos2（β+φ）+sin（α+φ）sin（β+φ）=-[1-（m5）2]+（m5）2=2m25-1.

規(guī)律總結(jié)（Ⅰ）這類問(wèn)題的解決關(guān)鍵是要掌握三角變換以及三角函數(shù)圖像及其性質(zhì)的應(yīng)用. （Ⅱ） 問(wèn)題（ⅰ）解決的關(guān)鍵是對(duì)asinx+bcosx型的三角函數(shù)化為一個(gè)三角函數(shù)的形式，這是涉及此類問(wèn)題求周期、范圍、最值等的常用方法，也是三角函數(shù)重要的考點(diǎn)之一.問(wèn)題（ⅱ）解決的關(guān)鍵是通過(guò)數(shù)形結(jié)合，利用根的對(duì)稱性結(jié)合有關(guān)知識(shí)解決.本題雖涉及的是三角函數(shù)中常見的問(wèn)題，但若對(duì)形如asinx+bcosx的三角函數(shù)的特征以及內(nèi)在聯(lián)系、幾何關(guān)系理解不透徹，就很難圓滿解決這一問(wèn)題.

20. （本小題滿分14分）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R，）

（Ⅰ）證明：當(dāng)x>0時(shí)，f（x）

（Ⅱ）證明：當(dāng)k<1時(shí)，存在x0>0，使得對(duì)任意x∈（0，x0），恒有f（x）>g（x）；

（Ⅲ）確定k的所有可能取值，使得存在t>0，對(duì)任意的x∈（0，t）， 恒有|f（x）-g（x）|

命題意圖本小題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、有限與無(wú)限思想、數(shù)形結(jié)合思想.

解題思路方法一：（Ⅰ）令F（x）=f（x）-x=ln（1+x）-x，x∈[0，+∞），則有F′（x）=11+x-1=-x1+x，

當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）<0，所以F（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，

故當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)（x）0時(shí)，f（x）

（Ⅱ）令G（x）=f（x）-g（x）=ln（1+x）-kx，x∈[0，+∞），則有G′（x）=11+x-k=-kx+（1-k）1+x.

當(dāng)k≤0，G′（x）>0，所以G（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，G（x）>G（0）=0.

故對(duì)任意正實(shí)數(shù)x0均滿足題意.

當(dāng)00.

取x0=1k-1，對(duì)任意x∈（0，x0），恒有G′（x）>0，所以G（x）在[0，x0）在上單調(diào)遞增，G（x）>G（0）=0，即f（x）>g（x）.

綜上，當(dāng)k<1時(shí)，總存在x0>0，使得對(duì)任意的x∈（0，x0），恒有f（x）>g（x）.

（Ⅲ）當(dāng)k>1時(shí)，由（1）知，對(duì)于x∈（0，+∞），g（x）>x>f（x），g（x）>f（x），|f（x）-g（x）|=g（x）-f（x）=kx-ln（1+x），

令M（x）=kx-ln（1+x）-x2，x∈[0，+∞），則有M′（x）=k-11+x-2x=-2x2+（k-2）x+k-11+x，M′（x）=0時(shí)，即

2x2-（k-2）x-k+11+x=0，

此時(shí)x1=k-2-（k-2）2-8（1-k）4<0（不合條件），x2=k-2+（k-2）2-8（1-k）4，

故當(dāng)x∈（0，k-2+（k-2）2+8（k-1）4）時(shí)，M′（x）>0，M（x）在[0，k-2+（k-2）2+8（k-1）4）上單調(diào)遞增，故M（x）>M（0）=0，即|f（x）-g（x）|>x2，所以滿足題意的t不存在.

當(dāng)k<1時(shí)，由（Ⅱ）知存在x0>0，使得當(dāng)任意x∈（0，x0），恒有f（x）>g（x）.

此時(shí)|f（x）-g（x）|=f（x）-g（x）=ln（1+x）-kx，

令N（x）=ln（1+x）-kx-x2，x∈[0，+∞），則有N′（x）=11+x-k-2x=-2x2-（k+2）x-k+11+x，故當(dāng)x∈（0，-（k+2）+（k+2）2+8（1-k）4）時(shí)，N′（x）>0，

N（x）在[0，

-（k+2）+（k+2）2+8（1-k）4）

上單調(diào)遞增，故N（x）>N（0）=0，即f（x）-g（x）>x2，記x0與-（k+2）+（k+2）2+8（1-k）4 中較小的為x1，則當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，恒有|f（x）-g（x）|>x2，故滿足題意的t不存在.

當(dāng)k=1時(shí)，由（Ⅰ）知，當(dāng)x>0時(shí)，|f（x）-g（x）|=g（x）-f（x）=x-ln（1+x），

令H（x）=x-ln（1+x）-x2，x∈[0，+∞），則有H′（x）=1-11+x-2x=-2x2-x1+x，

當(dāng)x>0時(shí)，H′（x）<0，所以H（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，故H（x）

故當(dāng)x>0時(shí)，恒有|f（x）-g（x）|

綜上，k=1.

方法二（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一.

（Ⅲ）當(dāng)k>1時(shí)，由（Ⅰ）知，對(duì)于x∈（0，+∞），g（x）>x>f（x），

故|f（x）-g（x）|=g（x）-f（x）=kx-ln（1+x）>kx-x=（k-1）x，

令（k-1）x>x2，解得0

從而得到當(dāng)k>1時(shí)，對(duì)于x∈（0，k-1）恒有|f（x）-g（x）|>x2，所以滿足題意的t不存在.

當(dāng)k<1時(shí)，取k1=k+12，從而k

由（Ⅱ）知存在x0>0，使得x∈（0，x0），f（x）>k1x>kx=g（x）.

此時(shí)|f（x）-g（x）|=f（x）-g（x）>（k1-k）x=1-k2x，

令1-k2x>x2，解得0x2，

記x0與1-k2中較小的為x1，則當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，恒有|f（x）-g（x）|>x2，

故滿足題意的t不存在.

當(dāng)k=1時(shí)，由（Ⅰ）知，x>0，|f（x）-g（x）|=g（x）-f（x）=x-ln（1+x），

令M（x）=x-ln（1+x）-x2，x∈[0，+∞），則有M′（x）=1-11+x-2x=-2x2-x1+x

當(dāng)x>0時(shí)，M′（x）<0，所以M（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，故M（x）

故當(dāng)x>0時(shí)，恒有|f（x）-g（x）|

綜上，k=1.

規(guī)律總結(jié)本題是一道考查導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算以及求解函數(shù)極值中的應(yīng)用.特別對(duì)分析、推理、論證能力要求很高.立足選拔的要求，淡化層次內(nèi)的區(qū)分，強(qiáng)化層次間的區(qū)分，合理構(gòu)建了三個(gè)問(wèn)題的難度梯度，使試題難度與題序同步增加，特別是解題過(guò)程需要利用數(shù)形結(jié)合，有一定的運(yùn)算推理能力.尤其問(wèn)題（Ⅲ）的解決需要很強(qiáng)的數(shù)學(xué)思想和方法，特別是對(duì)分類思想和推理論證能力要求很高，學(xué)生在有限的時(shí)間能完整解決此題可以反映學(xué)生良好的綜合素質(zhì)與很強(qiáng)的分析問(wèn)題與解決問(wèn)題能力.

21.本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答.滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分.作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)題號(hào)右邊的方框涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中.

（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換

已知矩陣A=2143，B=110-1.

（Ⅰ）求A的逆矩陣A-1；

（Ⅱ）求矩陣C，使得AC=B.

命題意圖本小題主要考查矩陣、逆矩陣等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.

解題思路（Ⅰ）因?yàn)閨A|=2×3-1×4=2.

所以A-1=32-12

-4222

=32-12-21.

（Ⅱ）由AC=B得（A-1A）C=A-1B，

故C=A-1B=

32-12

-21

110-1=

322-2-3.

規(guī)律總結(jié)涉及矩陣問(wèn)題多屬基礎(chǔ)性問(wèn)題，只要掌握矩陣概念及變換方法通過(guò)一些簡(jiǎn)單計(jì)算即可解決.

（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為x=1+3costy=-2+3sint（t為參數(shù)）.在極坐標(biāo)系（與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸）中，直線l的方程為2ρsin（θ-π4）=m，（m∈R）.

（Ⅰ）求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值.

命題意圖本小題主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.

解題思路（Ⅰ）消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為（x-1）2+（y+2）2=9，

由2ρsin（θ-π4）=m，得

ρsinθ-ρcosθ-m=0，

所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+m=0.

（Ⅱ）依題意，圓心C到直線l的距離等于2，即

|1-（-2）+m|2=2，解得m=-3±22.

規(guī)律總結(jié)極坐標(biāo)與參數(shù)方程的互換是近年高考重要內(nèi)容，關(guān)鍵要掌握它們?nèi)绾无D(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，通過(guò)熟悉的直角坐標(biāo)來(lái)解決問(wèn)題.本題通過(guò)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程后利用點(diǎn)到直線距離公式解決直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題.

（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講

已知a>0，b>0，c>0，函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4.

（Ⅰ）求a+b+c的值；

（Ⅱ）求14a2+19b2+c2的最小值.

命題意圖本小題主要考查絕對(duì)值不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.

解題思路（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=|x+a|+|x-b|+c≥|（x+a）-（x-b）|+c=|a+b|+c.

當(dāng)且僅當(dāng)-a≤x≤b時(shí)，等號(hào)成立.

又a>0，b>0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值為a+b+c，

又已知f（x）的最小值為4，所以a+b+c=4.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b+c=4，由柯西不等式得

（14a2+19b2+c2）（4+9+1）≥（a2×2+b3×3+c×1）2=（a+b+c）2=16，

即14a2+19b2+c2≥87.

當(dāng)且僅當(dāng)

12a2=13b3=c1，即a=87，b=187，c=27時(shí)，等號(hào)成立.

所以14a2+19b2+c2的最小值為87.

規(guī)律總結(jié)涉及絕對(duì)值不等式關(guān)鍵要理解絕對(duì)值的幾何意義、絕對(duì)值性質(zhì)和絕對(duì)值不等式.問(wèn)題一利用絕對(duì)值不等式即可解決.問(wèn)題二則根據(jù)條件利用柯西不等式易得到結(jié)果.

（收稿日期：2015-06-21）