長方體錦囊中出妙招

韓天禧

處處可見、形體簡單、性質豐富的長方體，與一般的一些幾何體有著千絲萬縷的必然聯(lián)系，若能找到、找準這些幾何體與長方體的契合點，用對應的長方體輔助證明幾何體點、線、面的相互間位置關系，和求解相關量的大小，能化難為易，變陌生為熟悉，方法簡單、過程快捷.毫不夸張地說，只要把幾何體放到長方體這個錦囊中，有出奇的效果，解題也就成功了一半.

一、長方體是球心的定位儀

解球內(nèi)接多面體時的難點在于球心定位.若多面體各頂點都是某一長方體的部分頂點，由于長方體的幾何中心到各頂點距離相等，這樣，球內(nèi)接多面體的球心必在長方體對角線的中點上.

例1 已知A，B，C，D各點都在半徑為 29 2 的同一球面上，且AC=BD= 13 ，AD=BC=5，AB=CD，則三棱錐的體積為 .

圖1

解 由于三棱錐D-ABC四個面都是全等三角形，把這個三角形的三邊長視為長方體三個面對角線長，這樣就將特殊的三棱錐補形成如圖1所示的長方體，

設長方體的長、寬、高分 別是a，b，c，則有 a2+b2+c2=29a2+b2=13b2+c2=25

解得a=2，b=3，c=4，由此三棱錐D-ABC的體積為V=abc-4· 1 3 · 1 2 abc= 1 3 abc=8.

點評 把這個三棱錐鑲嵌在長方體中，兩幾何體的特征量有了完美的對應關系，三棱錐的所有棱均為長方體各面對角線，三棱錐外接球的直徑就是體對角線的長，陌生又抽象的幾何條件，立刻就形象直觀化了.

二、長方體是線與面的關系網(wǎng)

若把幾何體鑲嵌在或割補成一個長方體，借助長方體豐富的幾何性質，該幾何體各量間的相互關系不僅形象直觀，而且親切熟悉、轉化自如，尤其是建立空間直角坐標系后寫點坐標，更是快捷又準確.

圖2

例2 在四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點，平面EDC⊥平面SBC.

（Ⅰ）證明：SE=

2EB；（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .

解 由于共點的三線段DC、AD、SD兩兩互相垂直，作出

棱長為2的正方體FMCD-F1M1C1S，將四棱錐S-ABCD鑲嵌在

如圖2所示的正方體中，由條件不難確定出，A為DF的中點，B為正

方形FMCD對角線交點，平面BCE被平面SFC替代，平面ADE

被平面FDE替代.

（Ⅰ）由SD⊥底面ABCDSD⊥FC，又BD⊥FCFC⊥平面SBD，DE平面SBDFC⊥DE；過B作BK⊥EC，垂足為K，又平面EDC⊥平面SFC，平面EDC∩平面SFC=ECBK⊥平面EDCBK⊥ED.由此可得ED⊥平面SFC，又DS=DF=DC =2，SF=FC=CS=2 2 ，即三棱錐D-FCS為正三棱錐，E為正△FCS的幾何中心，也是重心，又由于SB是正△FCS的一邊FC的中線，從而證得SE=2EB.

由（Ⅰ）ED⊥平面SFC，平面FDE∩平面SFC=FE，平面DEC∩平面SFC=EC，得∠FEC為二面角A-DE-C的平面角.由于E為正△FSC的重心，∠EFC=∠ECF=30°得∠FEC=120°，故二面角A-DE-C的大小為120°.

用空間直角坐標方法更方便省事，解法略.

評注 將四棱錐鑲嵌在正方體中，平面延展了，棱垂面也浮于水面了，點易于定位了，找出二面角的平面角真可謂是水到渠成了.

三、長方體是三視圖的載體

在做幾何體的三視圖時，若將幾何體鑲嵌在長方體中，不僅三個正立面是現(xiàn)實直觀的，再無需憑空想象，而且做投影時前后、上下、左右處處都有可供參考的線面垂直與線線平行關系，這個長方體的其中三個面就是最合理的投影面.

例3 某幾何體的一條棱長為 7 ，在該幾何體的正視圖中， 這條棱的投影是長為 6 的線段，在該幾何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+b的最大值為（ ）.

A.2 2 B.2 3 C.4 D.2 5

圖3

解 不妨構造一個以 7 為對角線的長方體如圖3，使D1B= 7 ，D1C= 6 ，a=BC1，b=BD，設長方體的長、寬、

高分別為m，k，n，則有m2+n2+k2=7，在Rt△D1DC中，m2+n2=6，由此解得k=1，又在Rt△BCC1中，得a= n2+1 ，在Rt△DAB中，b= m2+1 ，由此得（a+b）2=n2+1+m2+1+2 （n2+1）（m2+1） =8+2 m2n2+7 ，又2mn≤n2+m2=6，即mn≤3，由此得（a+b）2≤8+2 9+7 =16，即a+b≤4，當且僅當m=n又m2+n2=6，即m=n= 3 時等號成立.故選（C）.

評注 把幾何體的這條棱視為長方體一條對角線，它對應的三個視圖就是這個長方體的三個面對角線，在找體與面對角線間關系時，還需要設出長方體的長、寬、高作媒介.這題若脫離具體的長方體模型是難以入手的.

G.波利亞在《怎樣解題》中說：“畫一個假設圖形，假設它的各個部分都滿足題目條件，也許是邁出解題的重要一步 ”.把幾何體放到長方體中去證、去解，也正是這種解題的思維意識引領的結果.

鞏固練習

1.已知A，B，C，D在同一個球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=6，AC=2 13 ，AD=8，則B，C兩點間的球面距離是 .

2.將正三棱柱截去三個角（A，B，C分別是△GHI三邊的中點）得幾何體如圖4所示，則該幾何體的側視圖是 （ ）.

圖4

圖5

3.如圖5，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB= 2 ，CE=EF=1.

（1）求證：AF∥平面BDE；

（2）求證：CF⊥平面BDE；

（3）求二面角A-BE-D的大小.

參考答案：

1. 4π 3 2.A 3.（3） π 6