高考改革與數(shù)學高效復習策略

高考改革與數(shù)學高效復習策略

苗金利

(北京市第四中學，北京100088)

黨的十八大以來，新一輪的高考改革正在逐步落實，繼《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》的頒布之后，高中新的課程標準制定即將完成，高考制度的改革逐步深入，2014年底以來教育部出臺了系列高考及高校招生(含各高校自主招生方法)改革指導文件，包括今年將增加3個省份在高考中使用國家統(tǒng)一試卷,明年再擴大7個省份．屆時，將有25個省份在高考中使用由國家考試中心統(tǒng)一命題制作的試卷．

最近頒布的2015年全國統(tǒng)一高考《數(shù)學考試大綱》，規(guī)定數(shù)學學科高考考查中學數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想方法，考查空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及分析問題和解決問題的能力．重視知識發(fā)生發(fā)展的過程考查，強化運算過程、運算結果的重要性，強化數(shù)學應用能力的考查．考查要求數(shù)學學科要注重基本的數(shù)學能力、數(shù)學素養(yǎng)和學習潛能的考查； 突出主干知識，考查基本的數(shù)學思想、方法，強調(diào)通性通法，淡化特殊技巧；注意數(shù)學應用，考查學生利用數(shù)學概念、原理和方法，結合數(shù)據(jù)分析、圖像解析等內(nèi)容，解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決生產(chǎn)生活中的數(shù)學問題．

高考《數(shù)學考試大綱》確立，數(shù)學試卷由容易題、中等難度題和難題組成．結合《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》，從高考題目的簡單容易題、中檔綜合題、高難“數(shù)學”題所占比例是3∶5∶2．從中學數(shù)學知識、方法、能力、操作來講基礎性、綜合性和抽象拓展性在試卷中所占比例也是3∶5∶2．

作為高考指導教師要注重教育培養(yǎng)學生能以平和的心態(tài)參加考試，不要把高考數(shù)學妖魔化．同時，考試中合理支配考試時間，以實事求是的科學態(tài)度解答試題，樹立戰(zhàn)勝困難的信心，體現(xiàn)鍥而不舍的精神．教學中要講“數(shù)學”：提煉數(shù)學最本質(zhì)的精髓，形成知識網(wǎng)絡架構，答題目標是：3分基礎，一分不丟；重“認知”：經(jīng)典問題洞察題眼，分析解法，熟練掌握知識內(nèi)容，答題目標是：5分綜合，分分必得；求“發(fā)展”：例題習題后面要舉一反三，拓展反思，靈活應對各類型知識和題目的考查，答題目標是：2分拓展，分步得分，力爭全拿．

針對高考改革和高考數(shù)學試題新的特點，高三指導教師對2015年高考數(shù)學試卷的結構、考試的內(nèi)容及要求等方面也應有宏觀的認識，同時在高三后期復習中要特別關注以下幾個方面：

1.高考的指導思想和目標

注重考查中學數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本操作、基本思想方法．重視考生的“終身學習和發(fā)展”，即考查學生在中學所受到的數(shù)學教育，考查學生在大學需要的數(shù)學基礎能力．試卷力爭成為學生能夠展示自己風采的舞臺．

2.試題“穩(wěn)中有新”，凸顯課程改革理念的精髓

2015年高考數(shù)學試題，會在過去兩年數(shù)學試題改革的基礎上，在很大程度繼續(xù)讓我們感受到課程改革的氣息，新課程的理念和評價思路滲透在試題中，考查目標更是與新課程的教學要求有比較緊密的體現(xiàn)，能夠讓人明顯感覺到高考與課標要求之間的對接與配合，試題體現(xiàn)出穩(wěn)定之中有新意、有亮點、有變化的共同特點．

在知識與能力、過程與方法及情感態(tài)度價值觀等不同維度的考查上，全國各命題單位組都在尋求新思路、新視角以及新的呈現(xiàn)形式方面下功夫．數(shù)學學科的試題均會有“新味”．

在平時備考過程中應多聯(lián)系生活、聯(lián)系生產(chǎn)、聯(lián)系科技，聯(lián)系社會，體現(xiàn)“學以致用”的新課程價值觀．

例1(2014北京理8)學生的語文、數(shù)學成績均被評定為三個等級，依次為“優(yōu)秀” “合格”“不合格”．若學生甲的語文、數(shù)學成績都不低于學生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學生甲比學生乙成績好”．如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好，并且不存在語文成績相同、數(shù)學成績也相同的兩位學生，那么這組學生最多有()．

A．2人B．3人C．4人D．5人

解：法一：邏輯映射

甲乙丙012

兩兩相交(不能有平行，否則出現(xiàn)“高于”)

唯一連法，再多時，無法連接．

故選B．

法二：數(shù)獨

甲乙丙數(shù)優(yōu)合不語不合優(yōu)

例2(2014全國Ⅰ卷理14)甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時，

甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；

乙說：我沒去過C城市；

丙說：我們?nèi)巳ミ^同一個城市．

由此可判斷乙去過的城市為().

解：A

甲乙丙A√√√B×C√×

①若a>0,b>0，則ln+(ab)=bln+a；

②若a>0,b>0，則ln+(ab)=ln+a+ln+b；

④若a>0,b>0，則ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2．

其中的真命題有__________.(寫出所有真命題的編號)

解析：

①若a>0,b>0，則ln+(ab)=bln+a；

當a≥1,b>0,ab≥1?ln+ab=lnab=blna=bln+a；

當00,0

所以①正確．

②若a>0,b>0，則ln+(ab)=ln+a+ln+b．

由于?ab<1,a>1,0

所以②錯誤．

同理可以判定③④正確．

答案①③④．

3.基礎知識、基本方法、基本操作、基本思想方法的運用仍為2015年高考考查的立足點

數(shù)學試題整體上從選材、設問到答案，既具有人文性、教育性、開放性的一面，同時又十分關注學科素養(yǎng)的考查．數(shù)學運算水平與數(shù)學的實際應用水平是數(shù)學學科的主要素養(yǎng)水平的體現(xiàn)．

強調(diào)主干知識、重點知識考查的覆蓋，理科確立了52個(文科41個)重要考點，強調(diào)基礎知識理解運用中的遷移、轉(zhuǎn)化和應變能力，強調(diào)文、理科數(shù)學運用能力的特點、差異以及一定程度上的跨學科綜合運用能力，仍會成為各地特色的能力考查方式．

各命題單位數(shù)學試題會注重常規(guī)與樸素；命題人不以學生為敵，不再以分出層次為目的，刻意追求區(qū)分度，要讓數(shù)學試卷成為學生展示自己才華的舞臺．高考難度繼續(xù)保持較低標準，當然這并不意味降低數(shù)學要求，而是對基礎知識、基本方法、基本操作、基本思想方法的落實上要求更高，從學生考試丟分情況看，審題錯誤、操作失誤、基本知識不落實三項丟分總和大約估計會占考生總丟分的40%以上，問題還是相當嚴重的。比如2014年高考，北京四中的朱子林同學，用一個小時答完全部試題，而此時大部分同考場考生剛剛開始答解答題第一個大題，答題慢的主要原因就是四基不落實，答題慢的后果是做不完題，結果是考試100分鐘后就心慌意亂，不能踏實答卷．

例4(2014全國2卷理19)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：

年份2007200820092010201120122013年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9

(Ⅰ)求y關于t的線性回歸方程；

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入．

所以

=0.5，

例5(2014北京理16)李明在10場籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計如下(假設各場比賽相互獨立)：

場次投籃次數(shù)命中次數(shù)場次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場12212客場1188主場21512客場21312主場3128客場3217主場4238客場41815主場52420客場52512

(Ⅰ)從上述比賽中隨機選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率；

(Ⅱ)從上述比賽中隨機選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率；

解(Ⅰ)根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，李明投籃命中率超過0.6的場次有5場，分別是主場2，主場3，主場5，客場2，客場4．

所以在隨機選擇的一場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6的概率是0.5．

(Ⅱ)設事件A為“在隨機選擇的一場主場比賽中李明的投籃命中率超過0.6”，

事件B為“在隨機選擇的一場客場比賽中李明的投籃命中率超過0.6”，

事件C為“在隨機選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6”．

4.高考題目有的也許會超出考生預料，出現(xiàn)部分考生感覺“別扭”

改革在預料之中，數(shù)學卷有的命題單位改革的步伐稍大．當然，從知識、能力、方法及創(chuàng)新上也基本是學生能力范圍之中的．

(Ⅰ)求sin∠BAD；

(Ⅱ)求BD，AC的長．

所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)

=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB

(Ⅱ)在△ABD中，由正弦定理得

在△ABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB

所以AC=7．

本題考查啟示：幾何性質(zhì)(平面幾何的外角定理)，基礎知識的綜合應用能力，克服單純靠做題代替復習，忽略知識的提煉．

例7[2014北京理17(1)]如圖，正方形AMDE的邊長為2，B，C分別為AM，MD的中點．在五棱錐P-ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點，平面ABF與棱PD，PC分別交于點G，H．

(Ⅰ)求證：AB∥FG；

(Ⅱ)若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長．

解：(Ⅰ)在正方形AMDE中，因為B是AM的中點，所以AB∥DE．

又因為AB?平面PDE，

所以AB∥平面PDE．

因為AB?平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，所以AB∥FG．

(Ⅱ)因為PA⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE．

如圖建立空間直角坐標系Axyz，

設平面ABF的法向量為n=(x，y，z)，則

令z=1，則y=-1．所以n=(0，-1，1)．

設直線BC與平面ABF所成角為α，則

設點H的坐標為(u，v，w)．

即(u，v，w-2)=2(2，1，-2)．所以u=2λ，v=λ，w=2-2λ．

部分考生習慣了空間向量，本題(1)不好確定坐標，不適宜用空間向量解答，使得部分考生耽擱了時間、影響了情緒．

現(xiàn)行課標立體幾何的教學與考查理念是空間感知，強化運算．

5.按部就班，用數(shù)學最本源的知識、方法備考2015年高考

高考改革，循序漸進，數(shù)學題目只能部分體現(xiàn)高考發(fā)展的趨勢， “考查考生的創(chuàng)新精神和潛質(zhì)，增強試題的科學性、公平性和規(guī)范性”．在進一步處理好“知識與能力”考查的同時，適當加大“過程與方法”的考查力度，兼顧“情感、態(tài)度與價值觀”的考查，強調(diào)了試卷的選拔和導向功能．

例8(2014北京文8)加工爆米花時，爆開且不煳的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分)滿足的函數(shù)關系p=at2+bt+c(a，b，c是常數(shù))，下圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為()．

A.3.50分B.3.75分

C.4.00分D.4.25分

解析：由題意將點坐標代入方程得

考查啟示：思路不明確，按部就班就好．

考查啟示：數(shù)形結合，按部就班觀察得解．

例10(2014全國1理12)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為()．

CD=4，

故選C．

考查啟示：三視圖的最本源方法是，在長方體中用“割除法”還原空間圖形本來面目．

(Ⅰ)求橢圓的離心率；

(Ⅱ)設P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1，經(jīng)過原點的直線l與該圓相切. 求直線的斜率.

x0+y0+c=0.

①

又因為點P在橢圓上，故

②

設直線l的斜率為k，依題意，直線l的方程為y=kx.

考查啟示：本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎知識. 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)這一解析幾何的本質(zhì). 考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力.部分考生習慣了“過去”解析幾何的直曲聯(lián)立韋達定理，而近年更常見的是“按部就班”，落實基礎知識，基本方法，淡化技巧．在2014年還有北京、浙江等命題單位的解析幾何都是這一考查思路．

筆者建議2015屆的高考指導教師，要關注平時練習中學生出現(xiàn)的基礎問題，不能歸納為一時馬虎粗心，要查找深層次的原因，上升到數(shù)學素養(yǎng)、情商的落實高度解決問題，查缺補漏，才能在高考中取得優(yōu)異成績．

2015年至2017年是全國大部分省市深化高考制度改革的過渡期，“和諧”穩(wěn)定的高考命題是廣大考生和命題中心及黨和政府的共同心愿．所以2015年高考數(shù)學學科與近年比較有如下特點: 適度創(chuàng)新，穩(wěn)步過渡；考查本源，發(fā)展思維；依綱靠本，注重四基．