基于二階錐優(yōu)化的復(fù)系數(shù)FIR濾波器設(shè)計(jì)

王鐵丹，郭 輝，張 昕，陳昌云，高 祺

（中國航天科工集團(tuán)8511研究所，江蘇 南京210007）

0 引言

FIR濾波器因其良好的頻率響應(yīng)及線性相位特性而被廣泛應(yīng)用到大量工程場(chǎng)合，而隨著需求的不斷擴(kuò)大，在波形均衡器、地震雜波濾波及衛(wèi)星信道分配等應(yīng)用領(lǐng)域，要求設(shè)計(jì)出具有任意幅度及相位響應(yīng)的復(fù)系數(shù)濾波器。基于實(shí)系數(shù)交錯(cuò)定理首先被推廣到了復(fù)數(shù)域，從而提高復(fù)系數(shù)濾波器的一些性能要求［1］。之后，文獻(xiàn)［2～3］使用最小二乘法方設(shè)計(jì)具有低群延時(shí)的復(fù)系數(shù)濾波器。周青松［4］等將二階錐優(yōu)化引入低群延時(shí)復(fù)系數(shù)FIR 濾波器設(shè)計(jì)，取得較好效果。因此，本文利用二階錐優(yōu)化（SOCP）方法來設(shè)計(jì)具有任意幅相響應(yīng)的復(fù)系數(shù)FIR 濾波器，通過少許頻率響應(yīng)期望點(diǎn)進(jìn)行內(nèi)插，再通過MATLAB 的CVX 工具箱，簡(jiǎn)單有效地設(shè)計(jì)出期望的復(fù)系數(shù)FIR 濾波器，在工程中得到良好的應(yīng)用。

采用FIR 濾波器對(duì)具有一定帶寬的信號(hào)進(jìn)行幅相均衡，減少微波器件帶來的信號(hào)失真，其系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1 基于FIR 濾波器的幅相均衡器系統(tǒng)框圖

當(dāng)經(jīng)過正交解調(diào)的數(shù)字復(fù)信號(hào)數(shù)據(jù)進(jìn)入設(shè)計(jì)好的FIR 濾波器后，該濾波器的幅頻及相頻響應(yīng)在期望頻率段內(nèi)都是和頻率相關(guān)的函數(shù)，達(dá)到對(duì)信號(hào)進(jìn)行幅相均衡的效果，而該方法和核心問題為在已知預(yù)設(shè)頻譜響應(yīng)的情況下如何設(shè)計(jì)出合適的FIR 濾波器系數(shù)。

1 FIR濾波器設(shè)計(jì)算法

1.1 二階錐優(yōu)化的基本原理

二階錐優(yōu)化是凸優(yōu)化問題的一個(gè)子集。二階錐優(yōu)化是在滿足一組二階錐優(yōu)化和線性等式約束的條件下使某線性函數(shù)最小化，它具有成熟性高，計(jì)算結(jié)果精確等優(yōu)點(diǎn)［5］。

二階錐優(yōu)化一般形式為：

式中，y∈Cα×1為優(yōu)化向量，b∈Cα×1，Ai∈Cαi（）-1×α，bi∈Cαi（ ）-1×1，ci∈Cα×1，di∈R，F(xiàn)∈Cg×α，g∈Cα×1，表示Euclid范數(shù)，此處為l1范數(shù)，C 表示復(fù)數(shù)集，R 表示實(shí)數(shù)集。

其中每個(gè)約束可寫成二階錐形式：

式（1）中的Fy＝g 可以表示為零錐的形式［5］：

由上述推導(dǎo)可知，線性規(guī)劃和凸二次規(guī)劃都是二階錐規(guī)劃的特例。將非負(fù)集合表示為R＋，則二階錐問題都可以表述為：

式中的約束表示有q1個(gè)等式約束，q2個(gè)線性不等式約束及q3個(gè)二階錐優(yōu)化。

1.2 濾波器系數(shù)計(jì)算

假設(shè)FIR 濾波器的沖擊響應(yīng)為：

其在頻率fk上的頻率響應(yīng)為：

工程中一般對(duì)頻段進(jìn)行等間隔劃分后確定部分特殊頻點(diǎn)的幅相響應(yīng)，為了使濾波器設(shè)計(jì)更平滑，對(duì)特殊頻點(diǎn)進(jìn)行內(nèi)插，一般測(cè)量10～20個(gè)特殊頻點(diǎn)后，內(nèi)插至1000～2000個(gè)期望響應(yīng)值。期望濾波器響應(yīng)可表示 為：Hidea＝ ［Hidea（f1），Hidea（f2），…，Hidea（fK）］。而實(shí)際設(shè)計(jì)濾波器響應(yīng)為： Hdesign＝［Hdesign（f1），Hdesign（f2），…，Hdesign（fK）］。則期望濾波器與設(shè)計(jì)濾波器響應(yīng)的誤差可以表示為：

p 的不同取值可以代表不同的約束形式，當(dāng)p 取值為1，表示L1范數(shù)，其定義為：

常用的還有當(dāng)p 取值為2，表示L2范數(shù)，當(dāng)p 為inf時(shí)，表示無窮范數(shù)，其定義分別為：

當(dāng)使用無窮范數(shù)時(shí)，濾波器設(shè)計(jì)法則即為經(jīng)典的切比雪夫逼近理論設(shè)計(jì)法。ε表示了設(shè)計(jì)的濾波器與期望響應(yīng)之間在通帶內(nèi)的誤差，而在非通帶范圍，幅相均衡器要求不對(duì)帶外信號(hào)進(jìn)行放大即可，即：

式中，fm為對(duì)需要均衡的帶外頻率的均勻劃分。整個(gè)約束可以表示為：

式（14）通過使用MATLAB 中的CVX 工具箱可對(duì)二階錐優(yōu)化進(jìn)行求解。CVX 工具箱由斯坦福大學(xué)的Michael Grant及Stephen Boyd制作，用于求解線性優(yōu)化（Linear Programs）、二次優(yōu)化（Quadratic Programs）、二階錐優(yōu)化和半定優(yōu)化（Semidefinite Programs）。

2 設(shè)計(jì)實(shí)例

大量工程項(xiàng)目中遇到需要通過FIR 濾波器設(shè)計(jì)幅相均衡器達(dá)到通道均衡等目的，該算法負(fù)責(zé)計(jì)算所需的復(fù)系數(shù)濾波器系數(shù)，計(jì)算的結(jié)果可直接應(yīng)用于各類FPGA 或者DSP系統(tǒng)中。下面通過設(shè)計(jì)實(shí)例來證明本文所提算法的有效性。

1）工程實(shí)例一

該工程中要求設(shè)計(jì)一幅頻均衡器，幅度校正系數(shù)為：g＝［-8.75-7.78-6.72-6.86-6.80-4.98-2.42-1.42 0.00］，對(duì)應(yīng)角頻率為0.1π～0.9π，等間隔取樣共11個(gè)點(diǎn)，校正結(jié)果如圖2所示。

通過圖2的左圖可以看到實(shí)際設(shè)計(jì)的幅頻校正曲線與理想的幅頻校正曲線非常接近，通過計(jì)算得到的8階復(fù)系數(shù)FIR 濾波器校正后，幅度抖動(dòng)由原來的8dB 降低到0.7dB校正效果明顯。由于該實(shí)例未對(duì)相頻校正提出要求，設(shè)計(jì)的相頻曲線為線性相位。

2）工程實(shí)例二

該工程要求設(shè)計(jì)一幅相頻均衡器，幅度及相位校正曲線分別如圖3及圖4所示。

可以看到經(jīng)過復(fù)系數(shù)FIR 均衡器校正后，幅度偏差由原來的最大-5.5dB 降低為0.31dB，相位擾動(dòng)也由原來的最大偏差40°降低為2.5°，校正效果明顯。

圖2 8階實(shí)系數(shù)濾波器校正結(jié)果，校正后幅度差值為0.7dB

圖3 32階FIR 濾波器幅頻校正圖，校正后幅度差值為0.3115dB

圖4 32階FIR 濾波器相頻校正圖，校正后相位最大差值2.5343°

3 結(jié)束語

FIR濾波器可以一定帶寬信號(hào)進(jìn)行幅度及相位上一致性的校正。低階數(shù)的實(shí)系數(shù)FIR濾波器即可對(duì)幅頻誤差校正取得較好的效果，需要的硬件資源很少。而需要進(jìn)行幅頻及幅相同時(shí)校正的情況，需設(shè)計(jì)復(fù)系數(shù)FIR 濾波器，需要的階數(shù)一般也高于單純進(jìn)行幅頻校正的濾波器?！?/p>

［1］Karam LJ，Mcclellan JH.Complex Chebyshev approximation for FIR filter design［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems II，1995，42（3）：207-246.

［2］賴曉平，袁博，徐東.低群延遲有限沖激響應(yīng)濾波器約束最小二乘設(shè)計(jì)［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版），2010，44：1271-1275.

［3］張少蔚，徐東，袁博，等.復(fù)數(shù)FIR 濾波器橢圓誤差約束最小二乘設(shè)計(jì)［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版），2010，44：1339-1342.

［4］周青松，張劍云，李小波，等.二階錐規(guī)劃方法對(duì)于低群延時(shí)復(fù)系數(shù)有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.電路與系統(tǒng)學(xué)報(bào)，2011，16（3）：75-80.

［5］Lobo MS，Vandenberghe L，Boyd S.Applications of second order cone programming international linear algebra society symposim on fast algorithms for control［J］.Signals and Image Processing，1998，284：193-228.