模糊局部均值聚類分割法改進(jìn)及其應(yīng)用

劉 璐，吳成茂

（西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院，陜西 西安710121）

0 引 言

由于圖像來(lái)源千差萬(wàn)別，導(dǎo)致圖像像素分布具有多樣性，直接采用傳統(tǒng)模糊C－均值聚類算法很可能無(wú)法獲得其滿意的分割效果，其主要原因在于它利用像素灰度信息且未考慮像素與其周圍鄰域像素之間的關(guān)聯(lián)性［1－4］。為此，學(xué)者們提出具有一定抗噪性的二維或三維直方圖模糊C－均值聚類分割算法［5－7］，以及融入像素空間鄰域信息的改進(jìn)模糊C－均值聚類分割方法［8－11］，但是，它不適合復(fù)雜圖像中目標(biāo)和背景所占圖像比例相差懸殊的情形。為了進(jìn)一步增強(qiáng)具有空間信息約束的模糊C－均值聚類分割算法的魯棒性和抗噪性，Krinidis等［12］提出了一種基于模糊局部信息C－均值聚類算法，其充分利用像素與其鄰域像素之間的空間信息和灰度信息，得到一種具有較強(qiáng)普適性的圖像分割算法，其分割性能優(yōu)于現(xiàn)有眾多結(jié)合空間信息的模糊C－均值聚類分割算法，但是相比吳一全等［13］提出的新空間信息模糊C－均值聚類算法性能差。為了增強(qiáng)文獻(xiàn) ［12］模糊局部信息C－均值聚類算法的抗噪性能和分割性能，公茂果等［14］提出了改進(jìn)再生核空間的模糊局部信息C－均值聚類分割算法，其抗噪能力得到極大改善，并在醫(yī)學(xué)圖像［15］和遙感圖像［16］分割中得到了成功應(yīng)用。通過(guò)對(duì)文獻(xiàn) ［12，14］進(jìn)行認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)模糊局部C－均值聚類算法的聚類中心迭代公式存在一定的理論缺陷，于是利用拉格朗日乘數(shù)法對(duì)模糊局部信息C－均值聚類目標(biāo)函數(shù)求偏導(dǎo)并嚴(yán)格推導(dǎo)得到正確的隸屬度和聚類中心迭代表達(dá)式。實(shí)際圖例分割測(cè)試和比較結(jié)果表明修改后的表達(dá)式是正確的，同時(shí)對(duì)遙感圖像的分割驗(yàn)證了本文獲得的模糊局部C－均值聚類算法具有一定潛在優(yōu)勢(shì)。

1 模糊C－均值聚類

傳統(tǒng)模糊C－均值模糊聚類是一種非監(jiān)督聚類方法，已廣泛應(yīng)用模式識(shí)別與圖像處理等眾多領(lǐng)域。模糊C－均值聚類所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)可表示為

式 中：c——聚 類 的 類 別 數(shù)，vk——區(qū) 域 的 聚 類 中 心，uki——x 屬于k 類區(qū)域的隸屬度。dki＝xi－vk2是內(nèi)積矩陣范數(shù)，表示樣本點(diǎn)x 距聚類中心vk的歐氏距離。一般選取參數(shù)m 為1.5、2.0和2.5，常取2.0。隸屬度uki應(yīng)滿足如下條件：

其隸屬度和聚類中心表達(dá)式為

利用式 （3）和式 （4）可實(shí)現(xiàn)模糊C－均值聚類。若算法終止并遵循最大隸屬度原則實(shí)現(xiàn)樣本歸類。

2 模糊局部C－均值聚類分割法

為了改善傳統(tǒng)模糊C－均值聚類分割圖像未考慮像素鄰域信息的不足，希臘學(xué)者Krinidis等［12］提出了一種新的具有魯棒性模糊局部信息C－均值聚類算法，充分利用像素與其鄰域像素之間的空間信息和灰度信息，無(wú)需人工參數(shù)選取，極大地增強(qiáng)了算法的實(shí)用性。

2.1 模糊局部C－均值聚類分割法算法

模糊局部信息C－均值聚類目標(biāo)函數(shù)中含有模糊因子Gki，而權(quán)因子充分考慮像素與其鄰域像素之間空間信息和灰度信息，提高了對(duì)噪聲圖像分割的魯棒性。其聚類分割目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式如下

其中

式中：xi——中心像素，xj——鄰域像素， xj－xi2——鄰域像素到中心像素的歐氏距離，uki——像素xi屬于第k類區(qū)域的隸屬度，vk——第k 類的聚類中心，m 是模糊性加權(quán)指數(shù)。在滿足隸屬度uki之和為1的條件下，根據(jù)拉格朗日乘子法求目標(biāo)函數(shù)Jm的極小值，文獻(xiàn) ［12］給出的聚類中心和隸屬度矩陣結(jié)果

2.2 模糊局部C－均值聚類分割法問(wèn)題分析與改正

通過(guò)對(duì)文獻(xiàn) ［10］模糊局部C－均值聚類演算法分析發(fā)現(xiàn)，其隸屬度迭代式 （7）是按照如下目標(biāo)函數(shù)

其中

利用拉格朗日乘子法求其偏導(dǎo)并且令偏導(dǎo)為零得到的。但是其聚類中心迭代表達(dá)式 （8）并不是根據(jù)目標(biāo)函數(shù) （9）運(yùn)用拉格朗日乘子法求其偏導(dǎo)并且令偏導(dǎo)為零得到的，它是由傳統(tǒng)模糊C－均值聚類目標(biāo)函數(shù)式 （1）運(yùn)用拉格朗日乘子法求其偏導(dǎo)并且令偏導(dǎo)為零得到的，而理論上，模糊局部C－均值聚類算法的目標(biāo)函數(shù)式 （9）是在傳統(tǒng)模糊C－均值聚類算法中的目標(biāo)函數(shù)式 （1）的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)的，所以兩個(gè)迭代表達(dá)式相差甚大。這就導(dǎo)致了希臘學(xué)者所提出的聚類中心迭代式 （8）與其正確的目標(biāo)函數(shù)式 （9）嚴(yán)重的不一致，下面將對(duì)其進(jìn)行分析推導(dǎo)及改正。

利用拉格朗日乘子法建立新的無(wú)約束優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為

對(duì)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于隸屬度uki求導(dǎo)并令其導(dǎo)數(shù)為零，即

化簡(jiǎn)得

將式 （12）代入式 （11）解得

對(duì)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于聚類中心vk求導(dǎo)并令其為零，即

其中

解得

上述推導(dǎo)所得隸屬度迭代表達(dá)式 （13）與希臘學(xué)者的隸屬度迭代表達(dá)式 （7）一致，但是正確的聚類中心迭代式（14）與希臘學(xué)者的聚類中心迭代式 （8）有很大的差異，可以看出希臘學(xué)者沒(méi)有考慮到像素點(diǎn)x 的鄰域像素點(diǎn)xj對(duì)聚類中心的影響。從而進(jìn)一步說(shuō)明了聚類中心迭代式 （8）是不科學(xué)的。

3 核空間模糊局部C－均值聚類分割法

為了改善模糊局部信息C－均值聚類分割算法的分割精度和抗噪能力，我國(guó)學(xué)者公茂果等［14］提出了改進(jìn)型核函數(shù)模糊局部C－均值聚類分割法。

3.1 核函數(shù)的引入

近年來(lái)，利用核函數(shù)將非線性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化成線性問(wèn)題來(lái)求解是機(jī)器學(xué)習(xí)中的一個(gè)熱點(diǎn)，核函數(shù)的主要思想是：構(gòu)造新的特征向量，將輸入低維空間映像到高維特征空間，從而使原輸入空間的非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為高維空間的線性問(wèn)題。其定義如下

式中：x——輸入空間，Ф（x）——特征空間，Ф：x→Ф（x）是核函數(shù)導(dǎo)出的特征變換，一般情況下，變換函數(shù)Ф（x）要比核函數(shù)K（x，y）復(fù)雜的多。目前來(lái)說(shuō)有很多種內(nèi)核函數(shù)，不同的內(nèi)核函數(shù)對(duì)于原始空間會(huì)產(chǎn)生不同的測(cè)度。高斯核函數(shù)是最廣泛應(yīng)用之一。表達(dá)式為

式中：σ——尺度參數(shù)，σ表達(dá)式為

式中：di＝ xi－是像素xi到聚類中心的距離，是di的均值，聚類中心的值和di的均值d珚 的表達(dá)式分別為

3.2 核函數(shù)模糊局部C－均值聚類分割法

為了進(jìn)一步增強(qiáng)圖像分割的抗噪能力，公茂果等［14］通過(guò)引入內(nèi)核函數(shù)對(duì)模糊局部信息C－均值聚類算法進(jìn)行改進(jìn)，即核函數(shù)模糊局部C－均值聚類算法?；诤撕瘮?shù)的聚類算法有很多優(yōu)點(diǎn)：①對(duì)圖像的特征具有很好的適應(yīng)性；②不需要先驗(yàn)知識(shí)來(lái)確定各區(qū)域的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；③對(duì)噪聲具有很好的抑制能力。文獻(xiàn) ［14］所給的目標(biāo)函數(shù)如下所示

式中：G′ki——新的模糊因子。模糊因子的公式

式中：uki——第x 個(gè)像素屬于第k 類區(qū)域的隸屬度，K（xi，vk）——核函數(shù)，wij——權(quán)模糊因子。文獻(xiàn) ［14］給出的求目標(biāo)函數(shù)Jm的極小值并所使用的隸屬度和聚類中心迭代表達(dá)式分別如下

其中

3.3 核函數(shù)模糊局部C－均值聚類分割法的分析與改正

對(duì)公茂果等的核函數(shù)模糊局部C－均值聚類所對(duì)應(yīng)的聚類中心迭代式 （23）分析發(fā)現(xiàn)，它與模糊局部C－均值聚類算法中所求的聚類中心迭代式 （8）存在類似的錯(cuò)誤，下面將對(duì)其進(jìn)行分析推導(dǎo)及改正。

根據(jù)拉格朗日乘子法建立新的無(wú)約束優(yōu)化聚類目標(biāo)函數(shù)為

對(duì)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于隸屬度uki求導(dǎo)并令其導(dǎo)數(shù)為零，即

化簡(jiǎn)得

將式 （28）代入式 （27）解得

對(duì)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于聚類中心vk求導(dǎo)并令其為零，即

解得

其中，Q1，ij和Q2，ij分別表示為

上述表達(dá)式 （30）與文獻(xiàn) ［14］聚類中心表達(dá)式 （23）存在巨大差異，其中聚類中心表達(dá)式 （23）是核空間模糊C－均值聚類算法的聚類中心表達(dá)式，它與核空間模糊C－均值聚類分割算法的目標(biāo)函數(shù)不吻合。針對(duì)本文所獲得的核空間模糊局部C－均值聚類所對(duì)應(yīng)的隸屬度和聚類中心表達(dá)式 （29）和式 （30），本文根據(jù)分析與推導(dǎo)設(shè)計(jì)一種核函數(shù)模糊局部C－均值聚類分割算法如下：

步驟1 確定聚類數(shù)目c（2≤c≤n），窗口大小Ni，模糊指數(shù)m，設(shè)定終止迭代條件閾值ε。

步驟2 隨機(jī)初始化聚類中心。

步驟3 設(shè)定循環(huán)次數(shù)計(jì)數(shù)器r＝0。

步驟4 利用文獻(xiàn) ［13］中相鄰像素權(quán)系數(shù)計(jì)算表達(dá)式計(jì)算權(quán)重因子wij值。

步驟5 利用式 （29）更新模糊隸屬度矩陣。

步驟6 利用式 （30）更新聚類中心。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文所提出的圖像分割算法的有效性，本文在實(shí)驗(yàn)運(yùn)行環(huán)境為Matlab7.0，算法參數(shù)選取模糊因子m＝2，迭代誤差ε＝0.01，最大迭代次數(shù)Tm＝500的條件下，對(duì)人工合成圖像 （如圖1 所示）和復(fù)雜遙感圖像 （如圖2所示）分別添加概率為0.1，0.3的隨機(jī)椒鹽噪聲，以及均值為0且均方差分別為57 和80 的高斯噪聲，采用文獻(xiàn)［14］所建議的分割算法和本文所提出的分割算法對(duì)其進(jìn)行分割測(cè)試。

圖1 （a）為人工合成圖像，圖1 （b）為其添加概率為0.3椒鹽噪聲干擾圖像，圖1 （c）為采用文獻(xiàn) ［14］聚類算法分割結(jié)果，圖1 （d）為采用本文算法分割結(jié)果。由兩種聚類分割結(jié)果來(lái)看，兩種分割結(jié)果相近，將子圖1 （c）和子圖1 （d）相比較，其分割效果非常相似，差異很小，由此表明對(duì)于人工合成簡(jiǎn)單對(duì)稱圖像采用文獻(xiàn) ［14］所建議的算法和采用本文所提出的算法分割效果相當(dāng)，表明本文所建議的分割算法是正確的。

圖1 30%椒鹽干擾圖像及其分割結(jié)果

圖2 （a）為遙感圖像，圖2 （b）為其添加概率為0.1的椒鹽噪聲干擾圖，圖2 （c）為采用文獻(xiàn)聚類算法分割結(jié)果，圖2 （d）為采用本文算法分割結(jié)果。由分割結(jié)果來(lái)看，兩種聚類分割結(jié)果明顯不同，通過(guò)對(duì)比子圖2 （c）和子圖2（d）的標(biāo)識(shí)區(qū)域發(fā)現(xiàn)，子圖2 （d）所標(biāo)注的長(zhǎng)方形和橢圓區(qū)域顯然要比子圖2 （c）所標(biāo)注的長(zhǎng)方形和橢圓區(qū)域分割效果好，子圖2 （c）中對(duì)于顏色較深的地方并沒(méi)有有效的分割出來(lái)，子圖2 （c）所標(biāo)注的正方形區(qū)域要相比較于子圖2 （d）所標(biāo)注的正方形區(qū)域較好。總體來(lái)說(shuō)采用本文聚類算法的抗噪性能比文獻(xiàn)［14］聚類算法更有一定的優(yōu)勢(shì)。

圖3 （a）為篩子圖像，圖3 （b）為其添加均值為0且均方差為80 的高斯噪聲干擾圖像，圖3 （c）為采用文獻(xiàn)［14］聚類算法分割結(jié)果，圖3 （d）采用本文聚類算法分割結(jié)果。由兩種聚類分割算法所得結(jié)果來(lái)看，二者分割結(jié)果存在顯著差別，其中子圖3 （d）所標(biāo)注的橢圓區(qū)域比子圖3 （c）所標(biāo)注的橢圓區(qū)域分割的效果好，使得圖像輪廓更加完整。說(shuō)明采用本文聚類算法的分割效果明顯優(yōu)于采用文獻(xiàn) ［14］的聚類方法分割效果。

圖2 10%椒鹽干擾圖像及其分割結(jié)果

圖3 10%高斯干擾圖像及其分割結(jié)果

圖4 （a）為遙感圖像，圖4 （b）是添加均值為0且均方差為57 的高斯噪聲干擾圖像，圖4 （c）為采用文獻(xiàn)［14］聚類算法分割結(jié)果，圖4 （d）為采用本文聚類算法分割結(jié)果。由兩種算法分割結(jié)果來(lái)看，二者分割結(jié)果存在一定的差異，其中子圖4 （d）所標(biāo)注的長(zhǎng)方形區(qū)域比子圖4（c）所標(biāo)注的長(zhǎng)方形區(qū)域分割效果好，子圖4 （c）所標(biāo)注的長(zhǎng)方形區(qū)域出現(xiàn)明顯的斷裂，不能保證分割圖像的完整性。另外，子圖4 （d）所標(biāo)注的小正方形區(qū)域和大正方形區(qū)域比圖4 （c）所標(biāo)注的小正方形區(qū)域和大正方形區(qū)域更加平滑連續(xù)。

綜合上述不同強(qiáng)度的椒鹽與高斯噪聲干擾遙感圖像的分割結(jié)果來(lái)看，本文所建議的核空間模糊局部信息C－均值聚類算法相比文獻(xiàn) ［14］算法更適合強(qiáng)噪聲干擾圖像分割需要，并且表現(xiàn)出良好的抗噪性能。

圖4 5%高斯干擾圖像及其分割結(jié)果

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)模糊局部聚類算法的聚類中心迭代表達(dá)式與其聚類目標(biāo)函數(shù)不一致的缺陷，對(duì)聚類目標(biāo)函數(shù)采用拉格朗日乘子法重新推導(dǎo)并設(shè)計(jì)一種核空間模糊局部C－均值聚類分割算法，改善了模糊局部信息C－均值聚類算法的致命缺點(diǎn)即無(wú)法收斂至局部極小值點(diǎn)，使算法具有收斂性。相比文獻(xiàn) ［14］中的算法，本文所提出的改進(jìn)的模糊局部均值聚類分割法不僅提高了復(fù)雜遙感等圖像強(qiáng)噪聲干擾分割的抗噪能力，而且對(duì)于探討新的模糊魯棒分割算法具有積極的促進(jìn)作用。

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