基于PMA的船舶多學(xué)科協(xié)同可靠性分析

蔡厚平，李明霞

(南通航運職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 南通226010)

0 引 言

船舶作為一個復(fù)雜的龐大系統(tǒng)，涉及到操縱、阻力、耐波、結(jié)構(gòu)、振動與噪聲、工藝、材料等多個方面，這些方面之間存在著相互影響、制約的耦合關(guān)系，使得船舶設(shè)計是一個多學(xué)科、多變量、多約束的復(fù)雜工程設(shè)計問題。傳統(tǒng)的串行設(shè)計方法由于割裂了學(xué)科間耦合關(guān)系，設(shè)計的結(jié)果往往失去了全局最優(yōu)性，而陷入局部最優(yōu)。近年來，興起于航空航天領(lǐng)域的多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化(Multidisciplinary Design Optimization，MDO)開始被應(yīng)用于船舶優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域。Christopher［1］將粒子群算法與協(xié)同優(yōu)化算法結(jié)合，以年運貨量、單位重量運輸費用、空船質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)完成了雜貨船多學(xué)科概念設(shè)計。李冬琴等［2］針對海洋平臺支援船優(yōu)化設(shè)計存在的多目標(biāo)、多約束特點，建立了海洋平臺支援船的多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計模型，并采用協(xié)同優(yōu)化算法，完成了優(yōu)化模型的求解;姜哲等［3］針對船舶和海洋平臺設(shè)計的具體特點，歸納了適合于船舶或海洋平臺多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化的MDO算法所需要具備的特征。

然而，上述多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計是在確定性條件下得出的優(yōu)化方案，而忽略了船舶設(shè)計制造過程中存在著不確定的事實，這樣出來的優(yōu)化方案存在2 個缺陷:一是系統(tǒng)性能受設(shè)計變量波動敏感，嚴(yán)重時導(dǎo)致產(chǎn)品失效，甚至災(zāi)難發(fā)生;二是設(shè)計方案往往偏于保守，往往以犧牲經(jīng)濟性為代價?；诳煽啃缘亩鄬W(xué)科設(shè)計優(yōu)化 (Reliability － Based Multidisciplinary Design Optimization，RBMDO)因而得到了廣泛關(guān)注，DU 等［4］在所提出的RBMDO 策略中，采用了性能測量法 (Performance Measure Approach，PMA) 與多學(xué)科可行方向法 (Multidisciplinary Feasible ，MDF)結(jié)合的方法進行可靠性分析，但復(fù)雜產(chǎn)品的系統(tǒng)分析是一個迭代過程，需要進行大量的單學(xué)科分析，計算效率低下。孟德彪 等［5］提 出 將 PMA 與 單 學(xué) 科 可 行 方 向 法 (Individual Disciplinary Feasible ，IDF)結(jié)合的方法，但系統(tǒng)級仍然承擔(dān)整個可靠性分析任務(wù)，子學(xué)科系統(tǒng)仍然沒有獨自優(yōu)化能力。

針對上述問題，本文提出一種基于性能策略法的遺傳協(xié)同優(yōu)化算法的多學(xué)科可靠性分析方法。該方法將PMA 方法與多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化算法結(jié)合進行復(fù)雜系統(tǒng)工程可靠性分析。同時，采用遺傳算法求解系統(tǒng)級可靠性優(yōu)化問題，克服多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化算法中拉格朗日乘子不存在的缺陷。通過散貨船概念設(shè)計多學(xué)科可靠性分析這一簡單的工程例子證明了文中提出方法的效率和精度，這個優(yōu)點在大規(guī)模的復(fù)雜工程系統(tǒng)的設(shè)計中能夠更好地體現(xiàn)出來。

1 多學(xué)科遺傳－協(xié)同優(yōu)化算法

不失一般性，我們以三學(xué)科的例子來說明多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計問題。如圖1 所示。

圖1 三學(xué)科多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計框架Fig.1 Multidisciplinary design optimization framework with three disciplines

優(yōu)化數(shù)學(xué)模型表示為:

在上述多學(xué)科系統(tǒng)中，xs為共享變量，是系統(tǒng)級和學(xué)科級的輸入設(shè)計變量;xi為學(xué)科級各自的輸入變量，y=(y21，y31，y12，y32，y12，y32)為耦合變量，yij為學(xué)科i 的輸出，同時，也作為學(xué)科j 的輸入;zi為學(xué)科i 的輸出。

協(xié)同優(yōu)化算法將式(1)所述優(yōu)化問題分為兩級:一個系統(tǒng)級和并行的多個子學(xué)科級同時通過附加到系統(tǒng)級優(yōu)化中的等式約束來保證不同學(xué)科的一致性，一致性等式的值通過學(xué)科級優(yōu)化得到。如圖2所示，優(yōu)化初期，系統(tǒng)級向各個子學(xué)科級傳遞系統(tǒng)級共享變量的期望值，各個子學(xué)科級在滿足學(xué)科內(nèi)局部約束的條件下，其目標(biāo)函數(shù)即為子學(xué)科間共享變量與系統(tǒng)級傳遞的期望值的差距最小，子學(xué)科級優(yōu)化結(jié)束后，將共享變量解返回到系統(tǒng)級，系統(tǒng)級在滿足一致性等式約束條件下，優(yōu)化共享變量，以解決各學(xué)科間耦合變量的不一致。通過系統(tǒng)級優(yōu)化和子學(xué)科級之間的多次迭代，最終得到滿足一致性約束的最優(yōu)方案。

圖2 協(xié)同優(yōu)化框架Fig.2 Flow chart of CO

協(xié)同優(yōu)化算法中系統(tǒng)級優(yōu)化的一致性等式約束條件形式是L2 － 范數(shù)形式，其導(dǎo)數(shù)在最優(yōu)解處的Jacobia 矩陣是奇異矩陣將導(dǎo)致系統(tǒng)級Kuhn －Tucker條件無法滿足，優(yōu)化求解時采用基于梯度的優(yōu)化方法，常出現(xiàn)無法收斂或收斂陷入局部最優(yōu)的尷尬境地。針對這種情況，本文采用具有優(yōu)秀全局搜索能力的遺傳算法取代系統(tǒng)級中基于梯度的優(yōu)化算法，由于遺傳算法并不需要計算拉格朗日乘子，在一定程度上能保證協(xié)同算法的魯棒性。

2 可靠性分析與多學(xué)科遺傳－協(xié)同優(yōu)化算法的集成

2.1 可靠性分析方法

可靠性分析的任務(wù)其實就是計算下面的這樣一個多元積分:

式中:g(x)為極限狀態(tài)函數(shù);g(x)≤0 為安全模式;X={x1，x2，…，xn}為隨機設(shè)計變量;fx(X)為X 的聯(lián)合概率密度函數(shù);R = Prob{g(x)≤0}為極限狀態(tài)函數(shù)可靠性概率。

在復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計時，fx(X)和g(x)通常具有高維非線性，往往無法通過解析法直接獲得極限狀態(tài)函數(shù)的可靠度。在設(shè)計問題比較簡單時，蒙特卡羅仿真(MCS)方法能夠有效解決上述問題，但當(dāng)工程系統(tǒng)設(shè)計問題規(guī)模增大時，該方法的計算成本將呈幾何級數(shù)增長。一階可靠性方法 (First Order Reliability Method，F(xiàn)ORM)和二階可靠性方法(Second Order Reliability Method，SORM)是解決這類概率積分高效的解析方法。FORM 或SORM 求解上式的共同點是通過求解MPP，MPP 是U 空間中極限狀態(tài)函數(shù)曲線上概率密度函數(shù)值最大的點，即極限狀態(tài)函數(shù)上對可靠度積分貢獻最大的點，且把從原點到MPP 的距離定義為可靠性指數(shù)β，如圖3所示。

圖3 MPP 點示意圖Fig.3 Schematic diagram of MPP

求解MPP 的步驟如下:

首先，隨機變量X={x1，x2，…，xn}，通過把隨機變量由起始空間轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的變量實現(xiàn)的轉(zhuǎn)換后的叫u 空間，也叫標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間，該空間中的變量服從N ～(0，1)分布。轉(zhuǎn)換后式就變?yōu)槿缦滦问?

然后，采用FORM 或SORM 在MPP 點處展開極限狀態(tài)函數(shù)g(u)。FORM 方法計算簡便，且它的計算精度一般能達到工程需求，因此本文用FORM 方法來進行可靠性分析。

求解MPP 點的數(shù)學(xué)模型如下:

上式的最優(yōu)解即為MPP 點，β = u*為可靠度指標(biāo)，由此得到可靠度R=φ(β)

然而，式(3)和式(4)是計算概率約束的值，而在設(shè)計優(yōu)化中，通常有很多約束不起作用，也就是說它們的概率約束非常接近于1，這時求解式(3)和式(4)方法仍然對它們進行大量的計算，這樣就會帶來很高的計算負(fù)擔(dān)，造成計算效率低的問題。為了解決這個問題，只在必要的水平進行可靠性評價，即定義［6］

gR可通過如下模型求解:

式(6)式即為PMA 方法的數(shù)學(xué)表達。

2.2 基于PMA 的多學(xué)科遺傳協(xié)同可靠性分析

考慮不確定性，式(1)多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型變?yōu)?

本文采用協(xié)同優(yōu)化的方法將可靠性約束分成單學(xué)科問題進行求解，這使得系統(tǒng)對目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化的計算變得簡單。尤其當(dāng)系統(tǒng)比較復(fù)雜、可靠性約束較多時，其效率會更高。流程如圖4 所示。

圖4 PMA－GA－CO 框架Fig.4 Flow chart of PMA－GA－CO

圖4 中，u 是與x 空間中的變量相對應(yīng)的設(shè)計變量在u 空間所組成的向量。us0，uj0，yi0。是從系統(tǒng)級傳下來的目標(biāo)值。對于給定的R，β=φ-1(R)，φ-1是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)的反函數(shù)。

采用遺傳協(xié)同優(yōu)化算法求解上式的計算步驟如下:

1)系統(tǒng)級將us0，uj0，yi0作為子系統(tǒng)共享變量的期望值傳遞給子學(xué)科。

2)子學(xué)科并行優(yōu)化，求得各子學(xué)科的最優(yōu)解。用最優(yōu)解替換q 中的us0，uj0，yi0，這樣新得到的q 就作為系統(tǒng)級優(yōu)化的約束，以實現(xiàn)學(xué)科間的一致性，學(xué)科分析被當(dāng)作子系統(tǒng)級優(yōu)化的等式約束參與運算。

3)系統(tǒng)級優(yōu)化得到新的最優(yōu)解，將其作為新的期望值傳給各子學(xué)科級。

4)循環(huán)迭代求解，如收斂，則結(jié)束，否則轉(zhuǎn)步驟2。

3 散貨船概念設(shè)計多學(xué)科協(xié)同可靠性分析

3.1 散貨船概念設(shè)計多學(xué)科數(shù)學(xué)模型建立

本文在參考文獻［7］中載重35 000 DWT 散貨船散貨船多目標(biāo)概念設(shè)計優(yōu)化例子的基礎(chǔ)上，將其修改為一多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化問題。根據(jù)船舶總體概念設(shè)計的實際流程，按照多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化的思路，將散貨船概念設(shè)計優(yōu)化問題分解為1 個系統(tǒng)級層和5 個子學(xué)科級，如圖5 所示。

圖5 散貨船概念協(xié)同設(shè)計框架Fig.5 Conceptual framework for collaborative design of bulk carriers

各個子學(xué)科級的數(shù)學(xué)模型分析如下:

1)浮性與穩(wěn)性子系統(tǒng)

對于船舶設(shè)計而言，首先要保證船舶的浮態(tài)和初穩(wěn)性。本子系統(tǒng)計算重量和排水量和初穩(wěn)性高。概念設(shè)計階段要求重量W 和排水量Δ 相等。其中排水量計算公式為:

W 由空船重量WL和載重量DWT 兩個部分組成，估算公式參照文獻［7］。初穩(wěn)性約束條件為［8］:

2)阻力子系統(tǒng)

船舶阻力一般可以分成兩大部分，一是裸船體在靜水中的阻力，另外一部分包括空氣阻力、波浪引起的阻力增值和附體阻力。設(shè)RT為船的總阻力，可以采用Holtrop 阻力公式估算［9］:

3)推進子系統(tǒng)

推進子系統(tǒng)根據(jù)給定的主機功率和轉(zhuǎn)速，進行螺旋槳的終結(jié)沒計。螺旋槳總效率:

式中:ηs為軸系效率;ηR為相對旋轉(zhuǎn)效率;ηO為敞水效率、相對旋轉(zhuǎn)效率;ηH為船身效率。

4)操縱性與適航性子系統(tǒng)

在概念設(shè)計階段，由于獲得的數(shù)據(jù)優(yōu)先，僅對船舶的相對回轉(zhuǎn)直徑和橫搖周期進行估算。相對回轉(zhuǎn)直徑的計算采用Lyster 和Knights 的回歸公式［10］:

式中:δ 為舵角;Ab為首部浸濕面積;Trim為船舶縱傾。

適居性條件需滿足

式中

5)造價子系統(tǒng)

船舶造價采用分項估價法，將船舶分成船體鋼料、木作棲裝、機電設(shè)備三大項，分項的價格均根據(jù)其重量乘以每噸價格估算。由此可以寫出船價估算公式:

式中:rs，ro，rm分別為船體鋼料、舾裝及機電設(shè)備每噸的價格。本文取rs= 0.5，ro= 0.8，rm= 1.5。

3.2 可靠性分析及結(jié)果討論

由于制造工藝誤差，設(shè)計變量往往為不確定量，當(dāng)設(shè)計變量有微小波動時，會對經(jīng)濟性和安全性造成一定影響，為簡化分析，本例將船長L，船寬B，型深D，吃水T，方形系數(shù)CB看作隨機設(shè)計變量，浮性要求g1、初穩(wěn)性要求g2、適居性條件g3看作極限狀態(tài)函數(shù)，進行可靠性分析。假設(shè)L，B，D，T，CB服從正態(tài)分布，變差系數(shù)為0.1，(L，B，D，T，CB)=(172，31.7，11.85，9.4，0.79)，各極限狀態(tài)函數(shù)的多學(xué)科可靠性分析數(shù)學(xué)描述如下:

1)對于浮性要求g1:

2)對于初穩(wěn)性要求g2:

3)對于適居性條件g3:

根據(jù)本文提出方法，建立極限狀態(tài)函數(shù)g1，g2，g3的CO 框架，即一個系統(tǒng)級優(yōu)化和2 個子系統(tǒng)級優(yōu)化。采用MCS 方法，取樣10 000 次所得結(jié)果作為上述船舶多學(xué)科可靠性分析的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果，比較文獻［4］中的PMA － MDF 與本文的PMA － GA － CO 算法。結(jié)果如表1 所示。

表1 可靠性分析結(jié)果比較Tab.1 Comparative of reliability analysis results

由表1 可知，PMA －MDF 與PMA －GA －CO 方法得出的可靠性指數(shù)和可靠度與MCS 方法得出的結(jié)果基本相同。但是，PMA －GA －CO 函數(shù)評價次數(shù)明顯少于PMA－MDF 方法。說明，本文方法計算效率高于PMA－MDF 方法。當(dāng)工程系統(tǒng)設(shè)計問題規(guī)模增大時，這種計算成本的節(jié)約將更加明顯。

4 結(jié) 語

在大規(guī)模工程中，現(xiàn)有的多學(xué)科可靠性分析方法由于只進行系統(tǒng)級優(yōu)化使過多的時間花費在學(xué)科分析子模塊和系統(tǒng)級優(yōu)化器的通訊上，求解效率很低，系統(tǒng)級優(yōu)化器的工作負(fù)擔(dān)很重。文中提出采用PMA －GA －CO，在這個方法中，所有的學(xué)科能夠獨立的進行優(yōu)化。這個方法不僅解除了所有學(xué)科之間的耦合，而且提高了搜索MPP 的效率。由于學(xué)科級能進行優(yōu)化，系統(tǒng)級優(yōu)化器的負(fù)擔(dān)可顯著地降低。通過散貨船概念設(shè)計多學(xué)科可靠性分這一簡單的工程例子證明了文中提出方法的精度，這個優(yōu)點在大規(guī)模的工程系統(tǒng)設(shè)計中能夠更好地體現(xiàn)出來。此外，文中提出的方法僅僅對隨機不確定性進行分析，并沒有考慮認(rèn)知不確定性，下一步的研究將考慮隨機和認(rèn)知不確定同時存在的情況下，進行多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計可靠性分析。

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