考慮橫向剪切變形下水中矩形板聲振特性研究

朱擁勇

(海軍工程大學(xué) 兵器工程系，湖北 武漢430033)

0 引 言

水中結(jié)構(gòu)的特征阻抗與結(jié)構(gòu)周圍的聲傳輸介質(zhì)特征阻抗接近，故介質(zhì)阻抗對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)不可忽略。結(jié)構(gòu)振動(dòng)向周圍介質(zhì)空間輻射聲能，同時(shí)反作用于結(jié)構(gòu)的聲場(chǎng)又改變結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，這種特性稱為流-固耦合，通常求解時(shí)的步驟為:先求解結(jié)構(gòu)的聲輻射問(wèn)題，得到結(jié)構(gòu)的輻射阻抗，再將結(jié)構(gòu)輻射阻抗等效為流體對(duì)結(jié)構(gòu)的反作用力，用結(jié)構(gòu)的位移變量引入到結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程中，求解該耦合方程就得到結(jié)構(gòu)在考慮流體加載效應(yīng)時(shí)的響應(yīng)，進(jìn)而得到結(jié)構(gòu)輻射的聲壓場(chǎng)。1952 年，Junger［1］最早對(duì)浸沒(méi)聲場(chǎng)中的圓柱殼進(jìn)行研究，將此類問(wèn)題簡(jiǎn)化為平面問(wèn)題情況下分析流體載荷對(duì)圓柱殼振動(dòng)特性影響，得出了附連水的存在降低殼體固有頻率顯著影響結(jié)構(gòu)低頻振動(dòng)的結(jié)論。Davies［2］采用瑞利積分公式研究了水下矩形薄板受到簡(jiǎn)諧點(diǎn)激勵(lì)、面激勵(lì)、線激勵(lì)作用下低頻段的聲振特性。Nelisse 和Beslin［3］用一組特定的三角函數(shù)作為基函數(shù)，采用瑞利-里茲方法求解了有、無(wú)障板條件下矩形板在水中的輻射效率。Chang［4］假定流體在不可壓、無(wú)旋無(wú)粘以及“濕”模態(tài)擾度等于“干”模態(tài)擾度的條件下，利用二維傅里葉變換，求解了無(wú)限大障板中單面臨水的簡(jiǎn)支、固支矩形板的聲振動(dòng)頻率。求解水中結(jié)構(gòu)聲輻射問(wèn)題還有一種等效方法，將結(jié)構(gòu)聲輻射抗等效為附加在結(jié)構(gòu)上的質(zhì)量塊，結(jié)構(gòu)的同振質(zhì)量隨之改變，將改變的質(zhì)量以結(jié)構(gòu)密度的等效密度體現(xiàn)出來(lái)［5］。國(guó)內(nèi)對(duì)水中結(jié)構(gòu)聲振特性研究，崔宏武等［6］對(duì)水下結(jié)構(gòu)聲振特性做了詳細(xì)的理論分析，具有國(guó)內(nèi)研究開(kāi)創(chuàng)性。何祚鏞出版專著重點(diǎn)研究了水下結(jié)構(gòu)和聲場(chǎng)耦合產(chǎn)生振動(dòng)和聲場(chǎng)的分析計(jì)算［7］。湯渭霖［8］、石煥文［9］等集中于研究結(jié)構(gòu)噪聲的控制激勵(lì)，系統(tǒng)研究了水中彈性結(jié)構(gòu)聲散射和聲輻射以及水下裂紋板結(jié)構(gòu)的聲振耦合機(jī)理。研究結(jié)構(gòu)-流體耦合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，需充分考慮結(jié)構(gòu)表面聲壓對(duì)結(jié)構(gòu)的作用力，結(jié)構(gòu)在外界激勵(lì)載荷和流體耦合力的綜合作用下達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡，這樣的研究對(duì)水下航行體的設(shè)計(jì)更具參考價(jià)值。

本文采用變分法建立流- 固耦合方程，通過(guò)求解結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣及剛度矩陣，并結(jié)合模態(tài)疊加方法分析結(jié)構(gòu)模態(tài)輻射效率及振動(dòng)模態(tài)耦合對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響，對(duì)比分析空氣與水中結(jié)構(gòu)的聲振特性。

1 聲振模型及基本理論公式

1.1 矩形板動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

一般從經(jīng)典的線彈性理論出發(fā)，給出描述問(wèn)題的控制方程、物理方程和幾何方程，以及實(shí)際求解時(shí)的位移、應(yīng)力、應(yīng)變以及邊界條件。經(jīng)典板殼振動(dòng)彈性理論是基于Love -Kirchhoff 假定的所謂薄板理論，采用直法線假定，忽略了板橫向的剪切變形，計(jì)算誤差較大。鑲嵌在無(wú)限大障板中的簡(jiǎn)支矩形板模型如圖1 所示，長(zhǎng)、寬分別為a，b，流體介質(zhì)為輕流體空氣和重流體水介質(zhì)。變分法涉及到結(jié)構(gòu)動(dòng)力和應(yīng)變能，基于Mindlin 模型，考慮板振動(dòng)的橫向剪切變形下板的位移場(chǎng)可表示為

式中:u，v，w 為板沿x，y，z 方向的振動(dòng)位移;u0，v0，w0為中面的面內(nèi)和法向線位移;φx和φy為橫截面分別繞x 和y 軸的旋轉(zhuǎn)角位移。從而可知，計(jì)算過(guò)程中含有3 個(gè)線自由度u0，v0，w0，以及2 個(gè)法向轉(zhuǎn)角自由度φx和φy。線自由度以與坐標(biāo)軸的正方向一致時(shí)為正，轉(zhuǎn)角自由度遵守右手螺旋定則，以繞各坐標(biāo)軸順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)為正。

圖1 簡(jiǎn)支矩形層合板結(jié)構(gòu)的空間模型Fig.1 Space model of simply supported multilayered rectangular plate

研究板振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，需建立形變分量與位移的關(guān)系，也就是振動(dòng)響應(yīng)的幾何方程，通過(guò)此方成能將振動(dòng)位移分量與各應(yīng)變分量聯(lián)系起來(lái)。應(yīng)力根據(jù)按照幾何關(guān)系和Mindlin 彎曲理論，對(duì)于單層板可得到位移應(yīng)變關(guān)系為

其中應(yīng)變關(guān)系分為面內(nèi)應(yīng)變{ε0}，橫向剪切應(yīng)變{γ}，及彎曲應(yīng)變{χ}。

對(duì)于各向同性的材料，一般認(rèn)為z 軸方向的變形和x 及y 軸方向的變形相比較小，則可近似σz=0，τyz= τzx= 0，運(yùn)用胡克定理來(lái)表示為建立形變分量與應(yīng)力的關(guān)系，也就是振動(dòng)響應(yīng)的物理方程

式中:Qmn為板的剛度系數(shù);Q11= Q22= E/1 - υ2，Q12=Q21= Eυ/1 - υ2，Q44= Q55= Q66= G = E/2(1 + υ2)E 為板的楊氏模量;υ 為泊松比;G 為剪切模量。

最后建立邊界條件方程，簡(jiǎn)支矩形板的振型函數(shù)為φmn(x，y)= sin(αmx)sin(βny)，則板結(jié)構(gòu)的線自由度及轉(zhuǎn)角自由度可表示為:

式中:Amn，Bmn，Cmn，Dmn和Emn為各自由度所對(duì)應(yīng)的主則坐標(biāo)。通過(guò)Rayleigh - Ritz 變分法求解振動(dòng)問(wèn)題，關(guān)鍵是表示出結(jié)構(gòu)的動(dòng)能和應(yīng)變勢(shì)能，一旦式(8)中的振動(dòng)位移確定，就能確定系統(tǒng)的能量。這里只考慮橫向位移引起的動(dòng)能，應(yīng)變能綜合考慮拉壓變形、彎曲變形以及剪切變形引起的應(yīng)變勢(shì)能。則結(jié)構(gòu)的動(dòng)能可表示為:

應(yīng)變勢(shì)能可表示為:

結(jié)合式(8)可表示出應(yīng)變勢(shì)能，將式(9)第2 項(xiàng)和第3 項(xiàng)代入式(10)并在整個(gè)面內(nèi)積分，可得拉壓應(yīng)變勢(shì)能的主則坐標(biāo)的表達(dá)式為:

式中Rmn為拉壓比例系數(shù)，則拉壓應(yīng)變勢(shì)能可表示為:

同理，可假設(shè)剪切應(yīng)變與橫向位移的關(guān)系為:

式中Pmn為剪切比例系數(shù)，則拉壓應(yīng)變勢(shì)能可表示為:

彎曲應(yīng)變勢(shì)能中只含Amn一個(gè)未知量，直接對(duì)式(8)進(jìn)行積分即可求出彎曲應(yīng)變勢(shì)能。結(jié)合式(14)和式(15)以及積分表達(dá)式(9)可獲得結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變勢(shì)能為:

簡(jiǎn)寫為矩陣的形式為

式中Lmn為應(yīng)變勢(shì)能的總比例系數(shù)。利用粘彈性層減振降噪技術(shù)，主要是利用其在受交變應(yīng)力作用時(shí)，變形滯后于應(yīng)力的變化，這種滯后將振動(dòng)體的動(dòng)能一部分轉(zhuǎn)化為熱能而消耗掉，一部分以應(yīng)變的形式

式中含有2 個(gè)未知量Bmn和Cmn，如果要求解出3 種應(yīng)變勢(shì)能共需要求解5 個(gè)主則坐標(biāo)，Amn易于求出，其余4 個(gè)量求解較困難。針對(duì)上述問(wèn)題，Ungar針對(duì)簡(jiǎn)支梁模型［10］，將結(jié)構(gòu)的拉壓應(yīng)變表示成橫向位移的形式，這樣簡(jiǎn)化了模型并且降低了求解系數(shù)矩陣的維數(shù)。則簡(jiǎn)支板結(jié)構(gòu)的相應(yīng)近似關(guān)系可表示為:存儲(chǔ)起來(lái)，進(jìn)而達(dá)到減振降噪的目的。從而可知，在計(jì)算粘彈性層時(shí)主要考慮的是其拉壓的變化，因此粘彈性層的橫向剪切變形不可忽略，但對(duì)于彈性層(基板、約束板)剛度較大，主要發(fā)生的是彎曲變形以及拉壓變形，因此可忽略粘彈性的橫向剪切變形，則Lmn表示為:

通過(guò)以上分析可知，總的應(yīng)變勢(shì)能中的未知量只有Amn。運(yùn)用哈密爾頓(Hamilton)原理對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的能量進(jìn)行變分處理，則能求出Amn。結(jié)構(gòu)系統(tǒng)涉及的能量包括橫向位移引起的動(dòng)能、應(yīng)變勢(shì)能外載荷能量以及流體介質(zhì)反作用施加的能量。前2 種能量在上述分析中已給出，后2 種能量的表達(dá)式為:

式中:f(x，y，0)為外載荷;P(x，y，0，t)為結(jié)構(gòu)表面聲壓。結(jié)構(gòu)在(x0，y0)處受到簡(jiǎn)諧激勵(lì)載荷的作用，則Vexcition= F0(t)w(x0，y0，t)。

1.2 聲輻射阻抗公式推導(dǎo)

聲輻射阻抗為復(fù)雜的四重積分，很難直接計(jì)算出，通過(guò)坐標(biāo)變換可將四重積分化為二重積分，坐標(biāo)變換時(shí)令ε = 2x/a，η = 2y/b，ε′ = 2x′/a，η′ =2y′/b，結(jié)合變換坐標(biāo)有μ = ε - ε′，ν = ε′ 及μ′ =η -η′，ν′ = η′。則輻射阻抗可表示為

為坐標(biāo)變換后的格林方程

通過(guò)式(20)成功將聲輻射阻抗矩陣化為二重積分求解的形式，F(xiàn)mp(μ)和Fnq(μ′)很容易得到，大大降低了求解的難度。由聲場(chǎng)互易性原理知，輻射阻抗矩陣是對(duì)稱矩陣，其對(duì)角線元素對(duì)應(yīng)自輻射阻抗，且恒為正，非對(duì)角元素對(duì)應(yīng)互輻射阻抗，且呈稀疏排列。自輻射表示第(m，n)階振動(dòng)模態(tài)對(duì)聲輻射的貢獻(xiàn)，互輻射表示第(m，n)與(p，q)階模態(tài)之間的耦合對(duì)聲輻射的貢獻(xiàn)。(m，n)與(p，q)為同類型時(shí)互輻射不為0，其余情況下均為0。

1)當(dāng)(m + p)為奇數(shù)時(shí)，F(xiàn)mp(μ) = 0;當(dāng)Fmp(μ)≠0 時(shí)，F(xiàn)mp(μ)= Fpm(μ)。

2)當(dāng)m = p 時(shí)，代表自輻射阻抗值

3)當(dāng)m ≠p 時(shí)，代表互輻射阻抗值

采用Gaussian 方法求解Zmn，pq，因?yàn)楦咚骨蠓e分針對(duì)積分范圍為［-1，1］，需要轉(zhuǎn)換積分象限。則高斯求解方程可表示為

式中，Ng為高斯積分階數(shù);Pr和Ps為高斯求積節(jié)點(diǎn);μr和μ′s為相應(yīng)的求積系數(shù)。

1.3 矩形板聲學(xué)問(wèn)題

推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)，通過(guò)根據(jù)赫爾姆茲聲學(xué)方程以及邊界連續(xù)聲壓條件則可將振動(dòng)橫向位移與聲壓聯(lián)系起來(lái)，再接合輻射阻抗以及結(jié)構(gòu)振動(dòng)速度則可求出聲輻射特性參數(shù)，赫爾姆茲聲學(xué)方程以及結(jié)構(gòu)表面的連續(xù)邊界條件

結(jié)構(gòu)表面聲壓可由瑞利積分獲得

剔除時(shí)間部分ejωt，結(jié)合式(22)及式(23)可獲得流體介質(zhì)反作用的能量

表示為矩陣形式為

根據(jù)哈密爾頓(Hamilton)原理，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的總能量滿足關(guān)系式

利用拉格朗日方程求解式(26)有:

由于結(jié)構(gòu)受到簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用，則結(jié)構(gòu)振動(dòng)體現(xiàn)簡(jiǎn)諧變化規(guī)律，若剔除時(shí)間部分ejωt，式的矩陣形式為:

式中:Mmnpq為質(zhì)量矩陣;Kmnpq為剛度矩陣;{fmn}為外部激勵(lì)載荷向量。質(zhì)量矩陣和剛度矩陣具體表達(dá)式為:

表征結(jié)構(gòu)阻尼性能最常用的量是結(jié)構(gòu)損耗因子，它的物理意義是表征每振動(dòng)一次所損耗的能量與原有總能量的比值。阻尼層即利用其大阻尼的特性而達(dá)到減振降噪的效果，考慮結(jié)構(gòu)的阻尼作用時(shí)，彈性模量為復(fù)數(shù)= E(1 +jη)，η 為第i 層板的結(jié)構(gòu)損耗因子，則相應(yīng)量的復(fù)數(shù)形式為和

式(28)給出了考慮流固耦合作用下板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程，獲得了唯一的未知量Amn，則可獲得結(jié)構(gòu)的聲學(xué)特性，均方速度、聲輻射功率以及輻射效率可表示為:

2 仿真分析

以鋁材料為例進(jìn)行實(shí)例分析，密度ρp= 2.680 ×103kg/m3，結(jié)構(gòu)幾何尺寸為:a = 1.0 m，b = 0.8 m，h = 0.005 m;結(jié)構(gòu)損耗因子η = 0.01，泊松比υ =0.33，彈性模量E = 6.6 × 1010N/m2，空氣密度ρ0= 1.293 kg/m3，聲速c0= 340 m/s，水密度ρ =1 000 kg/m3，聲速c = 1 400 m/s，激勵(lì)幅值F = 1，點(diǎn)激勵(lì)力位置為(0.5，0.4)。

2.1 模態(tài)疊加效應(yīng)及振動(dòng)模態(tài)耦合

模態(tài)作用效應(yīng)與結(jié)構(gòu)總體體現(xiàn)的關(guān)系如圖2 所示，圖2(a)將均方振速進(jìn)行歸一化處理，表示各階振動(dòng)模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)貢獻(xiàn)量，圖中的波峰對(duì)應(yīng)的頻率表示結(jié)構(gòu)的自然頻率。在結(jié)構(gòu)發(fā)生共振時(shí)，該階模態(tài)振動(dòng)所引起的輻射聲是板結(jié)構(gòu)被激噪聲的主要構(gòu)成，尤其是前幾階模態(tài)的振動(dòng)程度直接決定了結(jié)構(gòu)的整體輻射噪聲水平。圖2(b)給出了模態(tài)輻射效率與總輻射效率對(duì)比圖，從中可以看出，低頻段時(shí)模態(tài)輻射效率呈現(xiàn)較大差異，結(jié)構(gòu)的聲輻射能力主要取決于低階振動(dòng)模態(tài)，此時(shí)平均輻射效率隨激勵(lì)頻率的變化呈現(xiàn)一定的波動(dòng)，這是由于簡(jiǎn)支板為有限結(jié)構(gòu)，振動(dòng)波在邊界存在反射，振動(dòng)波相互疊加產(chǎn)生駐波效應(yīng)。隨著頻率的增大，有限結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性趨近于無(wú)限結(jié)構(gòu)，邊界處反射作用減小，曲波波長(zhǎng)減小，輻射效率趨向于1。

圖2 聲振特性中模態(tài)量與總量的關(guān)系圖Fig.2 The relationship between modal and total of vibro-acoustic characteristics

圖3 給出了(1，1)，(2，3)模態(tài)的自輻射阻抗以及(11，13)， (21，43)階模態(tài)的互輻射阻抗。從圖中可知，自輻射阻隨著頻率的增大逐漸趨近于1，自輻射抗部分逐漸趨于0，但自輻射阻抗始終大于0。由于模態(tài)間的耦合作用，互輻射阻抗有在0 附近波動(dòng)，隨著頻率的增加，最終趨于0，互輻射阻抗幅值較自輻射阻抗相差約一個(gè)數(shù)量級(jí)，在低頻時(shí)模態(tài)的耦合效應(yīng)較強(qiáng)，從而可知只有在高頻計(jì)算結(jié)構(gòu)聲輻射時(shí)不需考慮模態(tài)之間的耦合效應(yīng)。因此在計(jì)算結(jié)構(gòu)輸出聲功率時(shí)必須考慮到結(jié)構(gòu)模態(tài)間的耦合。

圖3 輻射阻抗的實(shí)部與虛部Fig.3 The real part and imaginary part of radiation impedance

2.2 水中、空氣中聲振特性對(duì)比分析

圖4 給出了空氣介質(zhì)和水介質(zhì)中結(jié)構(gòu)的聲振特性。從圖4 (a)中可知，水介質(zhì)中結(jié)構(gòu)的均方速度峰值較空氣中整體前移，這是因?yàn)榱黧w-結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)在振動(dòng)平衡狀態(tài)下，附加質(zhì)量使水中結(jié)構(gòu)的各階共振頻率降低，附加質(zhì)量體現(xiàn)為聲輻射抗部分。從圖4 (a)與4 (c)可看出，均方振速和輻射效率曲線因其水介質(zhì)的作用，在數(shù)值上都有較大幅度下降，聲輻射效率最大相差達(dá)到2 個(gè)數(shù)量級(jí)。雖然水中的輻射效率遠(yuǎn)小于空氣中的輻射效率，但由于水中的特性阻抗(ρc)較大，水介質(zhì)的特征阻抗約為空氣的3 500 倍，這表明較小的速度將會(huì)輻射出較大的能量，如圖4 (b)所示，水介質(zhì)中輻射聲功率較大，同時(shí)還可知隨著頻率的升高水介質(zhì)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)和輻射聲功率更易衰減。

圖4 不同介質(zhì)中結(jié)構(gòu)的聲振特性Fig.4 Vibro-acoustic characteristics of the structure in different modal medium

3 結(jié) 語(yǔ)

本文以Mindlin 板彈性理論為基礎(chǔ)，考慮結(jié)構(gòu)橫向剪切振動(dòng)，通過(guò)近似替代將結(jié)構(gòu)的線自由度和和轉(zhuǎn)角自由度均表示成橫向位移的形式，進(jìn)而導(dǎo)出了矩形簡(jiǎn)支板振動(dòng)方程。結(jié)合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程，采用變分法建立了水中矩形簡(jiǎn)支板的流- 固耦合方程，分析了單一模態(tài)量和整體量的相互關(guān)系，討論了自輻射模態(tài)和互輻射模態(tài)的變化規(guī)律，對(duì)比分析了空氣中和水中結(jié)構(gòu)聲振特性。研究表明:低頻時(shí)振動(dòng)模態(tài)的耦合較明顯，在計(jì)算結(jié)構(gòu)聲功率輸出時(shí)必須考慮振動(dòng)模態(tài)的耦合，高頻時(shí)可忽略。

［1］JUNGER M C.Vibrations of elastic shells in a fluid medium and the associated radiation of sound［J］.Journal of Applied Mechanics，1952，19:439-445.

［2］DAVIES H G.Low frequency random excitation of water -loaded rectangular plates［J］. Journal of Sound and Vibration，1971，15(1):107 -126.

［3］NELISSE H，BESLIN O，NICOLAS.A generalized approach for the acoustic radiation from a baffled of baffled plate with arbitrary boundary conditions，immersed in a light or heavy fluid［J］. Journal of Sound and Vibration，1998，211(2):207 -225.

［4］CHANG T P. On the frequency of a rectangular isotropic plate in contact with fluid［J］. Journal of Sound and Vibration，2000，236(3):547 -553.

［5］GRAHAM W R. Analytical approximations for the model acoustic impedance of simply supported rectangular plates［J］. Journal of the Acoustical Society of America，2007，122(2):719 -729.

［6］崔宏武，趙德有，等. 結(jié)構(gòu)振動(dòng)的水中聲輻射計(jì)算［J］.中國(guó)造船，1990(4):49 -54.CUI Hong-wu，ZHAO De-you，et al. Numerical calculation of underwater acoustic radiation by structure vibration［J］.Shipbuilding of China，1990(4):49 -54.

［7］何祚鏞.結(jié)構(gòu)振動(dòng)與聲輻射［M］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2001:25 -27.HE Zuo-yong.Structure vibration and sound radiation［M］.Harbin:Harbin Institute of Technology Press，2001:25-27.

［8］湯渭霖，范軍. 水中彈性結(jié)構(gòu)聲散射和聲輻射機(jī)理:結(jié)構(gòu)和水的聲-振耦合作用［J］.聲學(xué)學(xué)報(bào)，2004，29(5):385 -392.TANG Wei-lin，F(xiàn)AN Jun. Mechanisms of sound scattering and radiation of submerged elastic structure-vibro-acoustic coupling of structure and water［J］.Acta Acustica，2004，29(5):385 -392.

［9］石煥文，孫進(jìn)才，盛美萍.裂紋及水介質(zhì)對(duì)薄圓板振動(dòng)輻射聲場(chǎng)特性的影響［J］聲學(xué)學(xué)報(bào)，2006，31(2):158-166.SHI Huan-wen，SUN Jin-cai，SHENG Mei-ping.Effects of a crack and water on the characteristics of vibration and sound field radiated by a circular plate［J］.Acta Acustica，2006，31(2):158 -166.

［10］UNGAR E E. Loss factor of viscoelasticaly damped beam structures［J］. Journal of the Acoustical Society of America，1962，34(8):1082 -1089.