新型三軸離心機(jī)系統(tǒng)構(gòu)型及數(shù)學(xué)建模

常樂，劉正華，溫暖，吳森堂

(北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京100191)

現(xiàn)代軍事、國防領(lǐng)域?qū)δ承o人高速飛行器的機(jī)動(dòng)性能要求很高，即要求其具有很強(qiáng)的承受機(jī)動(dòng)過載的能力［1-2］.國內(nèi)外的實(shí)踐證明，如果某些產(chǎn)品只做地面普通試驗(yàn)，不測試其承受高過載下的性能，可能會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)品在機(jī)動(dòng)飛行中失效［3］，為了在地面上驗(yàn)證無人高速飛行器的整體強(qiáng)度，就需要有一套可以模擬其在運(yùn)動(dòng)中承受載荷的設(shè)備［4］.查閱國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)國內(nèi)外至今缺乏對(duì)其的研究資料，固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)高速旋轉(zhuǎn)試驗(yàn)臺(tái)［5］雖然實(shí)現(xiàn)了高速旋轉(zhuǎn)條件下固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)推力、壓力的同時(shí)測量，但此試驗(yàn)臺(tái)不能實(shí)現(xiàn)對(duì)飛行器進(jìn)行離心過載的模擬試驗(yàn).根據(jù)離心機(jī)系統(tǒng)可以通過高速旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生幾十倍重力加速度的超重環(huán)境這一特性［6］，本文設(shè)計(jì)了一套小型無人高速飛行器載荷模擬系統(tǒng)，通過理論分析計(jì)算，實(shí)現(xiàn)模擬3個(gè)方向連續(xù)變化的動(dòng)態(tài)過載，從而驗(yàn)證產(chǎn)品是否有較好的機(jī)動(dòng)性能［7］.與常見的臥式螺旋離心機(jī)［8］和三足式離心機(jī)［9］不同，本文提出的離心機(jī)由1臺(tái)底座和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)框架組成，這種結(jié)構(gòu)形式在之前的國內(nèi)外文獻(xiàn)中研究很少.

1 過載模擬系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

過載模擬系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)如圖1所示，由底座、地面導(dǎo)軌輔助支撐機(jī)構(gòu)和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)框架組成.其中地面輔助支撐機(jī)構(gòu)主要用來解決大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量外框的配平問題［10］，同時(shí)增加整個(gè)離心機(jī)系統(tǒng)的剛度和強(qiáng)度;轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)通過外框主軸的精確速度控制，形成綜合的離心加速度，同時(shí)通過改變內(nèi)框、中框兩軸的角度轉(zhuǎn)換得到負(fù)載需要的3個(gè)法向過載力.從圖1可知，外框沿著主軸以角速率ω轉(zhuǎn)動(dòng)，內(nèi)框可以繞附軸Ⅱ轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為θ1，中框可以繞附軸Ⅰ轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為θ2.考慮到機(jī)械結(jié)構(gòu)，質(zhì)量塊放置時(shí)沿附軸I高出內(nèi)框水平平面0.1 m，通過改變內(nèi)框、中框兩軸的角度和外框的轉(zhuǎn)速，可以實(shí)時(shí)準(zhǔn)確模擬出如圖1所示的x，y，z 3個(gè)方向連續(xù)變化的動(dòng)態(tài)過載.

圖1 過載模擬系統(tǒng)機(jī)械本體三維圖Fig.1 Three-dimensional structure of overload simulation system

2 數(shù)學(xué)建模

2.1 過載的定義

設(shè)N為作用在對(duì)象上的除重力G以外的所有外力的合力，定義過載為n=N/G，方向與N一致［11］.

1)離心機(jī)過載.

定義離心機(jī)過載為外框高速旋轉(zhuǎn)(角速度為ω，角加速度為dω/dt)時(shí)，在離心機(jī)質(zhì)心處產(chǎn)生的過載(距離主軸回轉(zhuǎn)中心距離為R).此處受到法向過載GN、切向過載GT分別為

2)機(jī)動(dòng)過載.

無人高速飛行器在飛行過程中承受的載荷，也是過載模擬系統(tǒng)需要模擬的過載.通過改變轉(zhuǎn)角θ1，θ2以及外框轉(zhuǎn)速ω可以改變伺服機(jī)構(gòu)受到的過載大小以及方向.

2.2 坐標(biāo)系的建立及繞旋轉(zhuǎn)矩陣的定義

在研究初期，忽略控制機(jī)構(gòu)對(duì)旋轉(zhuǎn)平臺(tái)產(chǎn)生耦合帶來的影響，僅考慮x，y，z 3個(gè)方向上的過載.建立如圖2所示的坐標(biāo)系.3個(gè)坐標(biāo)系的建立均以中框旋轉(zhuǎn)軸線與內(nèi)框旋轉(zhuǎn)軸線的交點(diǎn)為公共原點(diǎn)建立.Ox1y1z1坐標(biāo)系為內(nèi)框坐標(biāo)系，固連于內(nèi)框.Oz1軸與內(nèi)框軸線重合，質(zhì)量塊可在Oz1軸上滑動(dòng)(±200 mm)，Oy1軸垂直于內(nèi)框載臺(tái)表面，Ox1軸按右手定則與其他兩軸成90°關(guān)系.因質(zhì)量塊可以沿著z軸(即附軸Ⅱ)移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)后的質(zhì)心為OL.Ox2y2z2為中框坐標(biāo)系，Oz2軸與 Oz1軸重合，Ox2垂直于中框所在鉛垂平面，指向如圖2所示，Oy2與其他兩軸按右手定則成90°關(guān)系.Ox3y3z3為外框坐標(biāo)系，Oy3與Oy2軸重合，Oz3軸垂直于中框軸線與外框軸線所在平面并與Oy3軸垂直，Ox3按右手定則與其他兩軸成90°關(guān)系.各坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的正方向如圖2所示.

圖2 過載模擬系統(tǒng)坐標(biāo)系示意圖Fig.2 Coordinate system schematic diagram of overload simulation system

按照以上方法建立坐標(biāo)系后，質(zhì)量塊在載臺(tái)上做指定運(yùn)動(dòng)時(shí)，其質(zhì)心在內(nèi)框坐標(biāo)系的坐標(biāo)表示為(0，0.1，z).下面介紹三框坐標(biāo)系的變換關(guān)系.

設(shè)內(nèi)框坐標(biāo)系內(nèi)的一點(diǎn)(x1，y1，z1)，其坐標(biāo)變換到中框坐標(biāo)系中，有

式中L(θ1)為旋轉(zhuǎn)矩陣，且

中框坐標(biāo)系內(nèi)的該點(diǎn)(x2，y2，z2)，其坐標(biāo)變換到外框坐標(biāo)系中，有

式中L(θ2)為旋轉(zhuǎn)矩陣，且

綜合以上變換有

前面提到，當(dāng)質(zhì)量塊在載臺(tái)上滑動(dòng)(±200 mm)時(shí)，其質(zhì)心在內(nèi)框坐標(biāo)系的坐標(biāo)表示為(0，0.1，z).則轉(zhuǎn)換到外框坐標(biāo)系內(nèi)為

2.3 數(shù)學(xué)模型

當(dāng)外框繞主軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，質(zhì)量塊有離心趨勢(shì)，此時(shí)受到了可以按內(nèi)框坐標(biāo)系分解的3個(gè)方向的過載，假定力的正方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的正向，則變換到外框坐標(biāo)系中:

式中G的下標(biāo)*1，*2，*3分別代表在各自坐標(biāo)系內(nèi) x，y，z軸上的分量.

設(shè)外框旋轉(zhuǎn)角速度為 ω，則在 x3，y3，z3軸方向上的過載［G31G32G33］為

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

3.1 離心機(jī)以恒定的角速率ω做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)

1)在x3軸方向上過載由向心力在該軸上的一個(gè)分量產(chǎn)生，即G31=rω2.其中r為質(zhì)量塊繞回轉(zhuǎn)中心勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑在x3軸上的投影長度.由于回轉(zhuǎn)中心在外框坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為(R，0，0)，而質(zhì)量塊坐標(biāo)為

則由距離計(jì)算公式知:

2)外框轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，近似認(rèn)為在y3軸方向上加載為0，即G32=0.

3)離心機(jī)做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，不產(chǎn)生切向加速度，但z3軸方向上的過載由向心力Gc在該軸上的一個(gè)分量產(chǎn)生，即 G33=Gcsin θ0，θ0為外框轉(zhuǎn)角.其中，由加載的矢量合成，可得 Gc=對(duì)于 sinθ0的計(jì)算，有

圖3中，OM為外框回轉(zhuǎn)中心，質(zhì)量塊在原點(diǎn)處質(zhì)心為O，移動(dòng)z后質(zhì)心為Oz，構(gòu)造直角三角形后，得 OzA=zcosθ2，OMA=R+zsinθ2.因?yàn)榧词乖趜=±200 mm的情況下，OMA和OMOz依然是近似相等的，因而簡化計(jì)算，可以用OMA代替OMOz，則得到3個(gè)坐標(biāo)軸上的過載為

式中z為質(zhì)量塊沿z1軸上滑動(dòng)的距離，延z軸正向?yàn)檎?

圖3 轉(zhuǎn)角計(jì)算圖Fig.3 Calculating diagram of θ0

由上述方程組中的第2個(gè)式子解得

由式(10)第3個(gè)等式得

通過 Matlab 可以求出 θ2，θ2∈(－ π/2，π/2).求出了θ1和θ2，通過方程組第1個(gè)式子可以得出轉(zhuǎn)速ω為

特殊情況:當(dāng)z=0時(shí)，有

這樣，如果已知內(nèi)框加載塊3個(gè)方向的過載［G11G12G13］，就可以求得 θ1，θ2和 ω.

3.2 離心機(jī)以加速度α做勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)

離心機(jī)做勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，則z3軸上合力產(chǎn)生切向過載，即G33=rα，同樣近似認(rèn)為外框轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)在y3軸方向上加載為0，即 G32=0，在 x3軸方向上有法向過載 G31=rω2=r(αt)2.其中 r=R+z′+y′，z′為質(zhì)量塊沿 z1軸上滑動(dòng)的距離在 x方向產(chǎn)生的距離，y′為質(zhì)量塊在y向上的100 mm偏心在x方向上產(chǎn)生的距離.

得到以下方程組:

由上述方程組中的第2個(gè)式子解得

這種情況沒有解析解，但可以算出切向過載G33對(duì)坐標(biāo)系 OLx1y1z1下過載［G11G12G13］帶來的影響［G1tG2tG3t］為

4 仿真驗(yàn)證

給定如圖2所示x1，y1，z13個(gè)方向的過載大小和質(zhì)量塊在Oz1軸上的位移z，且給定質(zhì)量塊質(zhì)量m=15 kg;距離主軸回轉(zhuǎn)中心距離為R=0.8 m，重力加速度 g0=9.806 m/s2;依據(jù)以上解算方法，得到θ1，θ2和ω的仿真曲線及切向加速度對(duì)x1，y1，z13個(gè)方向加載產(chǎn)生的影響如下(見圖4～圖9):

1)過載大小恒定且為最大過載，即x1向過載為45g0;y1向過載為40g0;z1向過載為15g0.

2)x1，y1，z13方向的過載為如圖7～圖9所示的正弦曲線.

圖4 恒定加載時(shí)3方向過載及質(zhì)量塊位移Fig.4 Overload in three directions and displacement of mass at constant loading

圖5 恒定加載時(shí)模擬系統(tǒng)各變量曲線Fig.5 Variable curves of simulation system at constant loading

圖6 恒定加載時(shí)切向加速度產(chǎn)生的誤差曲線Fig.6 Error curves caused by tangential acceleration at constant loading

圖7 加載變化時(shí)3方向過載及質(zhì)量塊位移Fig.7 Overload in three direction and displacement of mass at variational loading

圖8 加載變化時(shí)模擬系統(tǒng)各變量曲線Fig.8 Variable curves of simulation system at variational loading

圖9 加載變化時(shí)切向加速度產(chǎn)生的誤差曲線Fig.9 Error curves caused by tangential acceleration at variational loading

5 結(jié)論

通過仿真曲線可以看出，該系統(tǒng)可以通過改變內(nèi)框、中框的角度以及外框的轉(zhuǎn)速，準(zhǔn)確地模擬出各方向連續(xù)變化的動(dòng)態(tài)過載，證明文中提出的過載模擬系統(tǒng)及反解算法是正確且有效可行的.

但是從仿真結(jié)果也可以看出反解出的過載和給定過載之間存在誤差，產(chǎn)生誤差的原因有:

1)進(jìn)行過載模擬時(shí)，所需要的持續(xù)性過載由法向過載提供，但在離心機(jī)外框角速度改變時(shí)，會(huì)出現(xiàn)瞬時(shí)的切向過載，該切向加速度會(huì)對(duì)過載需求［G11G12G13］帶來影響，但從圖中可以看出誤差在1.5g0之內(nèi).

2)文中提出的建模和解算方法是假設(shè)過載模擬系統(tǒng)是剛性體，并且軸系傳動(dòng)有很好的剛度，但過載模擬系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行時(shí)特別是在離心機(jī)高速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，結(jié)構(gòu)上一定會(huì)產(chǎn)生形變［12］，這也會(huì)對(duì)最終結(jié)果帶來影響.

3)從仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)給定的過載大小和頻率變化較快，解算出的內(nèi)框、中框的角度值和外框的轉(zhuǎn)速變化也會(huì)復(fù)雜，這就對(duì)離心機(jī)的數(shù)字伺服控制系統(tǒng)提出了很高的要求，要求其能滿足對(duì)內(nèi)框、中框角度及外框轉(zhuǎn)速的高動(dòng)態(tài)、精確跟蹤控制，控制中的滯后、非線性和外界未知干擾［13］也會(huì)對(duì)結(jié)果帶來誤差，因此必須通過設(shè)計(jì)先進(jìn)的自適應(yīng)控制器［14-15］使系統(tǒng)擁有很強(qiáng)的干擾抑制和穩(wěn)定特性.

References)

［1］ 于進(jìn)勇，顧文錦，張友安.導(dǎo)彈過載控制系統(tǒng)的非線性反演設(shè)計(jì)［J］.彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào)，2004，4(S1):399-403.Yu J Y，Gu W J，Zhang Y A.Nonlinear backstepping design for missile overload control system［J］.Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2004，4(S1):399-403(in Chinese).

［2］ 梁雪超，楊軍，邱峰.大攻角導(dǎo)彈法向過載控制的變結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)［J］.計(jì)算機(jī)與現(xiàn)代化，2014，11(1):46-50.Liang X C，Yang J，Qiu F.Design of VSC for overload control in high angle-of-attack missile［J］.Computer and Modernization，2014，11(1):46-50(in Chinese).

［3］ 鄧濤.空氣炮加速度過載實(shí)驗(yàn)技術(shù)研究［D］.南京:南京理工大學(xué)，2011.Deng T.Research on the technology of acceleration overload tests by use of gas gun［D］.Nanjing:Nanjing University of Science and Technology，2011(in Chinese).

［4］ 戴邵武，張亦農(nóng).導(dǎo)彈過載控制設(shè)計(jì)方法研究［J］.彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào)，2004，4(S7):97-99.Dai S W，Zhang Y N.Study on overload control for missile［J］.Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2004，4(S7):97-99(in Chinese).

［5］ 王彬，武曉松，余陵.固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)高速旋轉(zhuǎn)試驗(yàn)臺(tái)設(shè)計(jì)［J］.南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，29(5):536-539.Wang B，Wu X S，Yu L.Design of rocket engine test-bed with high-speed rotation［J］.Journal of Nanjing University of Science and Technology，2005，29(5):536-539(in Chinese).

［6］ 李果，黃孝斌.離心機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2002，24(7):119-122.Li G，Huang X B.Design of the control system of the centrifuge［J］.Systems Engineering and Electronices，2002，24(7):119-122(in Chinese).

［7］ 袁沖，周洲.自主攔截?zé)o人機(jī)機(jī)動(dòng)過載指標(biāo)影響因素分析［J］.航空科學(xué)技術(shù)，2011(5):36-38.Yuan C，Zhou Z.Analysis of motor overload index influence factor about unmanned independently intercepting air vehicle［J］.Aeronautical Science ＆ Technology，2011(5):36-38(in Chinese).

［8］ 孫水平，李偉夫.臥螺離心機(jī)先進(jìn)控制系統(tǒng)的應(yīng)用［J］.純堿工業(yè)，2013(5):31-33.Sun S P，Li W F.Application of horizontal screw centrifuge advanced control system［J］.Soda Industry，2013(5):31-33(in Chinese).

［9］ 徐罕.三足式離心機(jī)運(yùn)行穩(wěn)定性的監(jiān)控［J］.科技與企業(yè)，2014(2):237-238.Xu H.The monitoring of running stability for the tripod type centrifuge［J］.Science and Enterprise，2014(2):237-238(in Chinese).

［10］ 楊亞非，霍鑫.離心機(jī)動(dòng)不平衡量的配平方法［J］.中國慣性技術(shù)學(xué)報(bào)，2008，16(2):249-252.Yang Y F，Huo X.Balancing method of dynamic unbalance amount of centrifuge［J］.Journal of Chinese Inertial Technology，2008，16(2):249-252(in Chinese).

［11］ 陶笛.自尋的導(dǎo)彈捷聯(lián)導(dǎo)引系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)比例導(dǎo)引設(shè)計(jì)與研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué)，2005.Tao D.Investigation on design of homing missile strapdown guidance system based on proportional navigation laws［D］.Harbin:Harbin Engineering University，2005(in Chinese).

［12］ 王昀績.精密離心機(jī)動(dòng)平衡系統(tǒng)控制方法研究［D］.哈爾濱:哈爾濱理工大學(xué)，2008.Wang Y J.Research on control of precision centrifuge dynamic balance system［D］.Harbin:Harbin University of Science and Technology，2008(in Chinese).

［13］ Ackermann J.Robust flight control:a design example［J］.Journal of Guidance Control and Dynamics，1981，4(6):597-605.

［14］ Hsu C F.Self-organizing adaptive fuzzy neural control for a class of nonlinear systems［J］.IEEE Transactions on Neural Network，2007，18(4):1232-1241.

［15］ Han H，Wu X L，Qiao J F.Nonlinear systems modeling based on self-organizing fuzzy-neural-network with adaptive computation algorithm［J］.IEEE Transactions on Cybernetics，2014，44(4):554-564.