延遲預(yù)警對(duì)家庭網(wǎng)絡(luò)早期傳播行為的影響

劉 芳，許小媛，鄭 義

（1.江蘇開放大學(xué)，南京210036；2.南京郵電大學(xué)，南京210023）

0 引言

信息的擴(kuò)散隨著通訊技術(shù)的飛速發(fā)展而變得快捷，現(xiàn)代社會(huì)的個(gè)體，不論是Internet網(wǎng)絡(luò)的使用者，還是SARS，禽流感等流行性病毒爆發(fā)過程中的人類個(gè)體，都更容易獲得有關(guān)蠕蟲病毒或疾病的預(yù)警信息。在獲知預(yù)警信息情況下，個(gè)體會(huì)采取相應(yīng)的防護(hù)措施，從而影響病毒的傳播動(dòng)力學(xué)進(jìn)程。預(yù)警機(jī)制以及由此產(chǎn)生的人類行為，對(duì)傳播動(dòng)力學(xué)的影響獲得了廣泛關(guān)注和研究［1－6］。依據(jù)預(yù)警信息的來源，可分為全局預(yù)警與本地預(yù)警，全局預(yù)警對(duì)應(yīng)現(xiàn)實(shí)中官方機(jī)構(gòu)使用廣播、電視、報(bào)紙、網(wǎng)絡(luò)等手段進(jìn)行的全局范圍的通知；本地預(yù)警則對(duì)應(yīng)現(xiàn)實(shí)中個(gè)體通過接觸、交流獲知的本地鄰居中的警示信息。預(yù)警信息一旦產(chǎn)生并傳播，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中即存在兩個(gè)傳播過程，即信息的傳播與病毒的傳播。為了反映現(xiàn)實(shí)世界的不同情況，相關(guān)研究又分為兩類：預(yù)警信息流行度依賴于病毒流行程度［2，5］；預(yù)警信息的流行與病毒的傳播過程相互獨(dú)立［6］。前者為基于流行程度的模型，反映的是個(gè)體依靠獲知染病個(gè)體的比例，從而判斷病毒的流行與嚴(yán)重程度，進(jìn)而升級(jí)或減少防護(hù)行為；后者基于信任建模，即個(gè)體不考慮病毒流行程度，以事先假設(shè)的概率對(duì)接收到的預(yù)警信息進(jìn)行判斷、采納與繼續(xù)傳播。

預(yù)警機(jī)制研究中，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋵?duì)動(dòng)力學(xué)行為的影響是不可忽略的，交叉覆蓋網(wǎng)絡(luò)［7］，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)［5，7］，家庭（社團(tuán)，群組等，以下均記為家庭）網(wǎng)絡(luò)［8］均得到了關(guān)注。文獻(xiàn)［8］對(duì)基于雙層混合假設(shè)的家庭網(wǎng)絡(luò)的早期干預(yù)行為進(jìn)行了研究，并對(duì)早期干預(yù)措施的延遲（包括常數(shù)和指數(shù)分布延遲）對(duì)傳播進(jìn)程的影響進(jìn)行了分析仿真，將其分析模型應(yīng)用于2009年H1N1流感數(shù)據(jù)，得到了基于藥物的早期干預(yù)措施只有在病毒爆發(fā)的第一個(gè)24小時(shí)內(nèi)具有遏制有效性的結(jié)論，其方法具有計(jì)算高效的特點(diǎn)。

在基于流行程度的預(yù)警機(jī)制研究中，節(jié)點(diǎn)的風(fēng)險(xiǎn)意識(shí)隨著本地和全局的預(yù)警信息量成指數(shù)變化，而本地預(yù)警信息量正比于染病鄰居數(shù)與節(jié)點(diǎn)總鄰居數(shù)的比值，全局預(yù)警信息量正比于網(wǎng)絡(luò)全體染病個(gè)體與總?cè)丝诘谋嚷剩?，5］。文獻(xiàn)［2－5］專注于傳播閾值研究，使用節(jié)點(diǎn)脆弱性指標(biāo)來捕捉預(yù)警機(jī)制的動(dòng)力學(xué)影響，隨著預(yù)警信息量增大，節(jié)點(diǎn)脆弱性下降。染病個(gè)體與健康個(gè)體一次接觸的傳播成功率設(shè)定為染病個(gè)體傳播率與健康個(gè)體脆弱性的乘積。文獻(xiàn)［4］對(duì)全局預(yù)警、本地預(yù)警與接觸過程進(jìn)行了綜合考慮，提出了流行程度和預(yù)警信息接觸次數(shù)兩種建模因素，其研究發(fā)現(xiàn)，不同于本地預(yù)警和接觸預(yù)警，全局預(yù)警并不影響傳播閾值。與文獻(xiàn)［2－5］專注于傳播閾值分析不同，本文將研究重點(diǎn)集中于早期傳播動(dòng)力行為，具體在雙層混合結(jié)構(gòu)的家庭網(wǎng)絡(luò)上，專注于對(duì)基本家庭復(fù)制數(shù)，雙倍復(fù)制時(shí)間等指標(biāo)的計(jì)算與分析。

在雙層混合網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上，考慮預(yù)警感知的動(dòng)力學(xué)行為的相關(guān)文獻(xiàn)還較少。文獻(xiàn)［8］專注于早期干預(yù)行為的時(shí)間有效性研究，對(duì)干預(yù)機(jī)制簡(jiǎn)化設(shè)定為傳播率與脆弱性分別下降為干預(yù)前的（1－τ）與（1－ρ），其中τ，ρ∈（0，1）且為常數(shù)。我們利用其分段馬爾科夫鏈路徑積分計(jì)算方法［8－9］，綜合考慮了家庭網(wǎng)絡(luò)上全局預(yù)警與本地預(yù)警，對(duì)全局預(yù)警和本地預(yù)警的延遲敏感性進(jìn)行了對(duì)比分析。

1 傳播模型

基于雙層混合假設(shè)的家庭網(wǎng)絡(luò)其基本模型如下［10］：從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)角度，將系統(tǒng)劃分為多群組結(jié)構(gòu)，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)既屬于全局網(wǎng)絡(luò)，也屬于某個(gè)規(guī)模上小得多的特定的家庭，其既與全局范圍內(nèi)的其他家庭成員發(fā)生弱交互行為，同時(shí)又與本地家庭成員存在強(qiáng)交互行為，且節(jié)點(diǎn)接觸率在家庭內(nèi)比在家庭間高得多。雙層混合結(jié)構(gòu)可以視為數(shù)學(xué)易求解性與真實(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復(fù)雜性的一種折中［11］。

對(duì)疾病、蠕蟲病毒以及謠言的傳播行為進(jìn)行數(shù)學(xué)建模研究，已經(jīng)具有較長(zhǎng)的歷史，并根據(jù)其在傳播過程中的不同側(cè)重得到了多種數(shù)學(xué)模型。在我們工作中，使用SEIR模型進(jìn)行分析，在種群空間封閉且均勻混合的假設(shè)下，將個(gè)體依其傳播狀態(tài)劃分為S（Susceptible，健康易染狀態(tài)）、E（Exposed，潛伏）、I（Infected，感染狀態(tài)）和 R（Removed，移除狀態(tài)，包括免疫、死亡、隔離等多種因素）4個(gè)子種群空間，模型如表1所示。

表1 家庭網(wǎng)絡(luò)SEIR模型Tab.1 The SEIR model of household networks

其中，k為家庭規(guī)模，δk為規(guī)模為k的家庭中成員的脆弱性參數(shù)，λL為家庭內(nèi)傳播率，λG為家庭間傳播率，γ為康復(fù)率，σ為發(fā)病率，p（k）為規(guī)模為k的家庭在全局網(wǎng)絡(luò)中所占比例，f為病 毒 流 行 程 度，f ＝為當(dāng)前t時(shí)刻規(guī)模為k的家庭中處于感染狀態(tài)成員的數(shù)目。

從傳播率與脆弱性參數(shù)兩方面考慮預(yù)警效應(yīng)，當(dāng)節(jié)點(diǎn)接收預(yù)警后，不論是來自本地、全局還是兩者都有，染病個(gè)體的群間與群內(nèi)傳播率分別變?yōu)椋?－τ）λG和（1－τ）λL，健康個(gè)體的脆弱性參數(shù)則變化為

其中，本地預(yù)警效應(yīng)引起的節(jié)點(diǎn)脆弱性變化為δLk，全局預(yù)警引起的脆弱性變化為δGk，設(shè)節(jié)點(diǎn)初始脆弱性為1。脆弱性表示健康節(jié)點(diǎn)在受到傳染接觸時(shí)，自身免疫力決定的易感染程度，脆弱性下降對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)感知預(yù)警后采取防護(hù)措施導(dǎo)致被感染變難的情況。β為個(gè)體采納一次本地警示信息后，采取防護(hù)行為（個(gè)體防護(hù)，減少接觸等）對(duì)脆弱性的降低程度（0＜β＜1）。健康節(jié)點(diǎn)以當(dāng)前時(shí)刻家庭內(nèi)染病節(jié)點(diǎn)的比例I（t）／（k－1）為概率來選擇采納本地預(yù)警。α（0＜α＜1）為個(gè)體對(duì)本地預(yù)警信息多次接觸導(dǎo)致的防護(hù)加強(qiáng)效應(yīng)。接觸頻率效應(yīng)（k－1）－α項(xiàng)設(shè)計(jì)主要基于兩個(gè)假設(shè)：對(duì)家庭內(nèi)接觸，個(gè)體i一個(gè)時(shí)步內(nèi)會(huì)與家庭內(nèi)所有其他成員發(fā)生接觸，當(dāng)家庭出現(xiàn)染病個(gè)體時(shí)，成員間的警示不僅由染病個(gè)體發(fā)出，也會(huì)由健康個(gè)體傳遞，故個(gè)體i會(huì)接收到k－1次提醒；對(duì)家庭間接觸，盡管理論上假設(shè)個(gè)體i與家庭外所有成員均以較小概率發(fā)生接觸，但現(xiàn)實(shí)中在一個(gè)時(shí)步內(nèi)，個(gè)體只會(huì)與其中很小一部分發(fā)生接觸，故外部交互行為可視為家庭在外部所有染病個(gè)體集合作用下的一次狀態(tài)變化（S，E→S－1，E＋1），因此δGk中不出現(xiàn)多次接觸效應(yīng)項(xiàng)。此設(shè)定與文獻(xiàn)［2－3］中的一般性假設(shè)相符，即個(gè)體接收到來自全局的預(yù)警信息時(shí)，傾向于將其看成是一個(gè)信息片。

在我們工作中發(fā)現(xiàn)，如果全局預(yù)警信息以概率f被節(jié)點(diǎn)采納，f為全局染病率，即用式（2）中fρ項(xiàng)表示全局預(yù)警效應(yīng)，則節(jié)點(diǎn)的脆弱性指標(biāo)δGk對(duì)早期動(dòng)力學(xué)指標(biāo)，如家庭基本復(fù)制數(shù)、早期增長(zhǎng)率等的影響近似為零。家庭復(fù)制數(shù)是擁有一個(gè)初始染病個(gè)體的家庭，從初始時(shí)刻到其內(nèi)部病毒傳播過程完全結(jié)束的時(shí)間段里，所有染病個(gè)體對(duì)其它健康家庭的家庭成功傳播數(shù)。因?yàn)榧彝ツＰ偷睦硐爰僭O(shè)是家庭成員數(shù)有限，全局家庭數(shù)無窮大。因此，在早期種子家庭的病毒傳播壽命里，f值變化很小。文獻(xiàn)［5］亦指出，基于流行程度的全局預(yù)警對(duì)傳播閾值，病毒爆發(fā)率沒有影響。因此我們使用了與流行程度無關(guān)，脆弱性變化參數(shù)ρ（0＜ρ＜1）固定不變的全局預(yù)警模型，對(duì)應(yīng)現(xiàn)實(shí)中權(quán)威機(jī)構(gòu)預(yù)警通知的情況。由此，我們的工作集中于固定不變的全局預(yù)警與基于本地流行程度動(dòng)態(tài)變化的本地預(yù)警對(duì)延遲的動(dòng)力學(xué)敏感性分析。

2 數(shù)學(xué)計(jì)算

在早期家庭網(wǎng)絡(luò)的傳播動(dòng)力學(xué)研究中，Ball等［10］提出了雙層混合網(wǎng)絡(luò)模型，來研究現(xiàn)實(shí)世界以家庭為單位的疾病傳播行為。文獻(xiàn)［12］在Ball等的基礎(chǔ)上，研究了這類網(wǎng)絡(luò)的SIS傳播模型基于馬爾科夫鏈的計(jì)算方法，得到

其中，Q＝（qij，i，j∈S）為馬爾可夫鏈狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，P＝（P1，…，Pn）T為社團(tuán)中擁有n個(gè)感染者的狀態(tài)演化向量。

Ross等將上述方法拓展到SIRS模型（式（4）），并在文獻(xiàn)［13］的馬爾科夫鏈路徑積分方法基礎(chǔ)上（式（5）），得到了家庭基本復(fù)制數(shù)R＊（式（6））和早期增長(zhǎng)率φ（式（7））的計(jì)算式：

其中，基本復(fù)制數(shù)R＊考慮的是擁有一個(gè)初始傳播個(gè)體的家庭在其傳播壽命里對(duì)健康家庭的感染家庭數(shù)，雙倍時(shí)間Td定義為系統(tǒng)從初始染病個(gè)體數(shù)增加一倍感染者所需時(shí)間［8］，φ為早期增長(zhǎng)率，Td＝ln（2）／φ。

受文獻(xiàn)［8］對(duì)馬爾科夫鏈路徑積分分段處理方法啟發(fā)，本文對(duì)考慮預(yù)警延遲因素的R＊和早期增長(zhǎng)率φ的計(jì)算分別為

由家庭基本復(fù)制數(shù)的定義可知，考察預(yù)警影響家庭m0感染健康家庭mj的效果時(shí)，預(yù)警效應(yīng)是只施加在m0的動(dòng)力學(xué)過程中的，本地預(yù)警源于本地流行程度，因此只與m0有關(guān)；而全局預(yù)警效果也只存在于m0中，則基于如下假設(shè)：在傳播早期，全局性的干預(yù)（如預(yù)防藥物發(fā)放，隔絕等）出于成本或社會(huì)、經(jīng)濟(jì)負(fù)面影響的考慮，在疾病大范圍流行之前，只會(huì)施加在發(fā)現(xiàn)病例的家庭，公司或社團(tuán)等局部網(wǎng)絡(luò)。我們的模型也很容易應(yīng)用于全局預(yù)警作用于所有家庭的情況，此時(shí)c2（X2（t））＝（1－τ）（1－ρ）λGI（X2（t）），I（X2（t））的求解同上。

通過設(shè)定δk構(gòu)成和延遲時(shí)間分布，可以比較本地預(yù)警和全局預(yù)警的動(dòng)力學(xué)影響及其延遲敏感性，在數(shù)值結(jié)果部分進(jìn)一步分析。

3 數(shù)值結(jié)果

我們將延遲分兩種來考慮：即全局預(yù)警延遲和本地預(yù)警延遲。借鑒文獻(xiàn)［8］的設(shè)定方法，兩種延遲均存在前后階段，從接觸到采納預(yù)警信息為第一階段，使用值為1的常數(shù)延遲；獲得預(yù)警后到采取防護(hù)為第二階段，使用均值為T的指數(shù)延遲，其中T∈［0，5］。除特別指出，一般參數(shù)均設(shè)為家庭規(guī)模k＝5，發(fā)病率σ＝1，康復(fù)率γ＝1，家庭間傳播率λG＝1，家庭內(nèi)傳播率λL＝2，接觸頻率影響因子α＝0.2。

圖1研究?jī)H存在本地預(yù)警時(shí)的早期動(dòng)力行為變化規(guī)律，設(shè)τ＝0，ρ＝0。在T∈［1，3］區(qū)間比較3條曲線，可以看出，盡管本地預(yù)警效應(yīng)是基于病毒流行程度的，而早期流行程度值較低，本地預(yù)警依然對(duì)R＊和Td擁有較明顯的影響作用。我們認(rèn)為這是由家庭模型的人口有限性造成的。值得指出的是，在T∈［5，6］區(qū)間，β＝0曲線趨于平緩而β≠0的兩條曲線依然存在坡度，表明基于流行程度的本地預(yù)警效應(yīng)在此時(shí)依然發(fā)揮作用，對(duì)延遲的敏感性低于預(yù)警效應(yīng)取常數(shù)值的情況（β＝0時(shí)，δLk＝k－α為常數(shù)）。

為了對(duì)圖1中表現(xiàn)出的兩種現(xiàn)象以及我們的分析猜想進(jìn)行驗(yàn)證，對(duì)圖1的模型進(jìn)行了改變，以探討引起興趣的兩點(diǎn)：家庭規(guī)模有限與延遲敏感性。圖2首先將網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變化到復(fù)雜的真實(shí)世界的家庭規(guī)模分布，星號(hào)線、加號(hào)線、菱形線分別對(duì)應(yīng)2001年英國(guó)、2003年印度尼西亞與1990年蘇丹家庭規(guī)模分布［8］。接著，嘗試比較常數(shù)取值的全局預(yù)警與基于流行程度的本地預(yù)警的延遲敏感性，設(shè)α＝0，即不考慮接觸頻率因素，τ＝0.5，ρ＝0.5，虛線與實(shí)線分別對(duì)應(yīng)β＝0（即不考慮流行程度引起的動(dòng)態(tài)變化）和β＝0.5（考慮流行程度）。圖2可以看出，只考慮流行程度的本地預(yù)警效應(yīng)隨著平均家庭規(guī)模的增大（英國(guó)2.371，印度尼西亞4.235，蘇丹6.536）延遲敏感性降低，衰弱速度在小家庭規(guī)模種群中較快，在家庭規(guī)模較大的種群中衰減變慢，并在5－6個(gè)時(shí)步的延遲后其作用仍不可忽略。圖2同時(shí)指出，在家庭規(guī)模很小的情況下（英國(guó)家庭），經(jīng)歷高延遲的本地預(yù)警效應(yīng)已經(jīng)大大降低，近乎可以忽略。一個(gè)合理的解釋是，由于家庭規(guī)模較小，此時(shí)發(fā)生在初始傳播家庭內(nèi)部的傳播過程已經(jīng)接近結(jié)束，即所有的感染節(jié)點(diǎn)已經(jīng)康復(fù)。顯然，該現(xiàn)象與傳播壽命與家庭規(guī)模的關(guān)系有關(guān)，因此，在圖3中，利用潛伏期因素，對(duì)家庭傳播過程的壽命與預(yù)警延遲性的相互關(guān)系進(jìn)行了進(jìn)一步討論。

圖1 延遲本地預(yù)警對(duì)早期動(dòng)力行為的影響Fig.1 The impact of delayed local awareness on early dynamics

圖2 不同家庭規(guī)模分布下延遲全局預(yù)警與本地預(yù)警的早期動(dòng)力學(xué)影響Fig.2 The impact of delayed global and local awareness on early dynamics with different household size distributions

圖3考察了不同潛伏期長(zhǎng)時(shí)，不考慮接觸頻率條件下，即α＝0，基于流行程度的本地預(yù)警的延遲實(shí)施對(duì)早期動(dòng)力學(xué)數(shù)值的影響。假設(shè)系統(tǒng)中不存在全局預(yù)警，即ρ＝0，τ＝0.1，β＝0.8。潛伏期變化分別用星號(hào)線、加號(hào)線、菱形線對(duì)應(yīng)σ＝1、σ＝0.5和σ＝0.2（潛伏期長(zhǎng)為1／σ）。圖3a可以看出，只考慮流行程度的本地預(yù)警效應(yīng)隨著潛伏期長(zhǎng)的變化出現(xiàn)臨界點(diǎn)tdelay＝2，當(dāng)平均延遲在［1，2］區(qū)域內(nèi)時(shí)，潛伏期越短，本地預(yù)警越能夠利用系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻的I（t）的數(shù)值實(shí)施其影響，R＊數(shù)值越??；隨著實(shí)施延遲的增加tdelay∈（2，6］，本地預(yù)警對(duì)R＊影響變?nèi)酰藭r(shí)潛伏期長(zhǎng)對(duì)R＊的影響成為主要作用因素，潛伏期越短，第二子代家庭數(shù)R＊越大。對(duì)雙倍復(fù)制時(shí)間Td，主要受到潛伏期長(zhǎng)的影響，在tdelay∈［1，2］區(qū)域，本地預(yù)警對(duì)Td具有一定幅度的影響。

圖3 潛伏期與延遲本地預(yù)警對(duì)早期傳播行為的影響Fig.3 The impact of latent period and delayed local awareness on early spreading

圖4 延遲全局預(yù)警的早期動(dòng)力行為影響Fig.4 The impact of delayed global awareness on early dynamics

在前面的數(shù)值仿真中，主要關(guān)注于本地預(yù)警與全局預(yù)警在其它動(dòng)力學(xué)參數(shù)變化下，如家庭規(guī)模，家庭傳播壽命等的變化下，其影響力的延遲敏感性。為了進(jìn)一步比較兩者的影響，同時(shí)也反映某些現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景中存在的真實(shí)情況，此處考慮一種新的假設(shè)，即：系統(tǒng)中個(gè)體基于本地流行程度的防護(hù)舉措始終存在，官方權(quán)威發(fā)布的全局預(yù)警卻存在延遲。由此，設(shè)定α＝0.2，β＝0.5，本地預(yù)警從家庭擁有初始感染者開始，就立刻作用于家庭成員上，星號(hào)線、加號(hào)線、菱形線分別對(duì)應(yīng)ρ＝0、ρ＝0.2和ρ＝0.5，全局預(yù)警則隨延遲施加到系統(tǒng)中去?？梢钥闯觯谘舆t與本地預(yù)警已作用兩種因素下，不同強(qiáng)度的全局預(yù)警作用下的R＊和Td曲線在tdelay∈［5，6］區(qū)域趨向重合，意味著強(qiáng)度的增加已經(jīng)不產(chǎn)生效果。一個(gè)合理的解釋為：在這個(gè)時(shí)間段，I（t）在人口中的比例已經(jīng)明顯上升，本地預(yù)警對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力行為的影響大大增強(qiáng)，經(jīng)過延遲施加在系統(tǒng)上的全局預(yù)警，已經(jīng)對(duì)反映系統(tǒng)早期動(dòng)力行為的指標(biāo)R＊和Td擁有相對(duì)微弱的影響。

4 結(jié)語

文章探討了預(yù)警信息接觸次數(shù)，本地預(yù)警和全局預(yù)警的延遲實(shí)施對(duì)家庭網(wǎng)絡(luò)的早期動(dòng)力行為影響。通過對(duì)仿真數(shù)據(jù)比較發(fā)現(xiàn)，與一般直觀猜想不同，基于流行的本地預(yù)警機(jī)制經(jīng)由不同的延遲時(shí)間施加在系統(tǒng)中時(shí)，始終對(duì)系統(tǒng)早期動(dòng)力行為擁有一定的不可忽略的作用，不論是低延遲實(shí)施在早期感染個(gè)體稀少的初始時(shí)刻，還是經(jīng)歷較高延遲后實(shí)施在感染者比例較高的系統(tǒng)狀態(tài)下。仿真發(fā)現(xiàn)，考慮接觸次數(shù)的本地預(yù)警，與一定取值下（ρ∈（0，0.5］）的全局預(yù)警相比較，具有更低的延遲敏感性。數(shù)據(jù)仿真中對(duì)參數(shù)取值的假設(shè)符合相關(guān)預(yù)警機(jī)制研究的一般假設(shè)：全局預(yù)警傾向造成傳播率與脆弱性的減弱，而本地預(yù)警傾向于強(qiáng)防護(hù)甚至病毒傳播的完全隔絕。由于家庭基本復(fù)制數(shù)等指標(biāo)考察的是預(yù)警效應(yīng)在家庭傳播壽命里的累積作用，文章對(duì)潛伏期引起的家庭傳播過程變慢，傳播壽命變長(zhǎng)的情況進(jìn)行了分析。結(jié)果顯示，相對(duì)于延長(zhǎng)預(yù)警機(jī)制的作用時(shí)間，提高當(dāng)前時(shí)刻的傳播者個(gè)體數(shù)目對(duì)R＊的影響更大。因此，對(duì)比潛伏期與延遲預(yù)警的動(dòng)力學(xué)影響力，出現(xiàn)臨界點(diǎn)現(xiàn)象，低延遲短潛伏期系統(tǒng)，預(yù)警機(jī)制大大抑制了新感染個(gè)體出現(xiàn)；高延遲下，較短的潛伏期迅速轉(zhuǎn)化已有感染者，其抑制效應(yīng)強(qiáng)于預(yù)警作用。文章對(duì)預(yù)警機(jī)制的延遲分析，集中在本地預(yù)警與全局預(yù)警的延遲敏感性分析，以及引起敏感性指標(biāo)變化的因素，如家庭規(guī)模分布，家庭傳播壽命等。

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