噪聲強(qiáng)度對(duì)空間公共物品博弈的影響

牛亞蘭，趙 明

（1.廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，桂林541004；2.柳州師范高等?？茖W(xué)校圖書館，廣西 來賓546100）

自然或社會(huì)系統(tǒng)中廣泛存在著合作與競(jìng)爭(zhēng)行為，博弈理論能夠很好地描述與解釋這些現(xiàn)象。在之前的研究中，為了方便人們通常假設(shè)個(gè)體以均勻混合的方式進(jìn)行聯(lián)系，即所有個(gè)體全部相互接觸或者個(gè)體之間隨機(jī)接觸，但在現(xiàn)實(shí)中，個(gè)體之間的聯(lián)系并非如此，個(gè)體往往是只與其有限的特定鄰居相聯(lián)系。最早研究這個(gè)問題的是Nowak和May，1992年他們將博弈個(gè)體放置在具有空間結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)上并讓所有個(gè)體只與其鄰居進(jìn)行囚徒困境博弈［1］，在這樣的系統(tǒng)中合作者與背叛者能夠很好地共存，在特殊的初始條件下甚至可以產(chǎn)生類似于混沌的時(shí)空斑圖，由此開始了空間演化博弈的研究。在隨后的二十幾年內(nèi)這一研究方向吸引了許多生物學(xué)家、物理學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、社會(huì)科學(xué)者，各種空間博弈理論逐步被提出，空間演化博弈的研究取得了豐碩的成果［2－16］。在早期的博弈研究中個(gè)體往往被假設(shè)是完全理性的，這顯然與現(xiàn)實(shí)不相符，因?yàn)樵诮?jīng)濟(jì)系統(tǒng)中非理性因素是普遍存在的，它的作用類似于噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響。為了描述這一現(xiàn)象，1998年物理學(xué)家Szabó和T?ke將二維平面格子中的伊辛模型和費(fèi)米動(dòng)力學(xué)引入到囚徒困境博弈［4］，作者在學(xué)習(xí)概率公式中巧妙加入了噪聲項(xiàng)，允許個(gè)體非理性的選擇是否改變?cè)呗?，這給博弈的研究帶來了一次質(zhì)的飛躍。到目前為止，研究最多的博弈模型是囚徒困境博弈和鏟雪堆博弈，但近年來多人參與的公共物品博弈模型也被廣泛關(guān)注，它能夠模擬真實(shí)的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中個(gè)體或團(tuán)隊(duì)的投資、合作與收益分配等現(xiàn)象，存在噪聲的情況下空間公共物品博弈合作行為的演化勢(shì)必會(huì)受到影響。過去人們只是定性討論了噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響［4，8－12］，本文對(duì)噪聲強(qiáng)度對(duì)空間公共物品博弈的影響加以細(xì)致研究。模擬結(jié)果表明，噪聲對(duì)合作行為的出現(xiàn)起到了抑制作用，并且抑制作用的大小跟系統(tǒng)增益系數(shù)有關(guān)。另外，在噪聲強(qiáng)度較小時(shí)合作頻率隨增益系數(shù)的增大呈現(xiàn)階梯式上升，并且噪聲越小階梯越明顯；在噪聲強(qiáng)度很小（如κ＝0.001）即個(gè)體是非常理性的情況下，合作頻率隨增益系數(shù)的變化不再是連續(xù)增大而是出現(xiàn)分段現(xiàn)象，在臨界增益系數(shù)處合作頻率發(fā)生了突變。我們對(duì)合作頻率分段現(xiàn)象的原因進(jìn)行解釋。

1 模型介紹

我們采用的網(wǎng)絡(luò)模型是具有周期邊界條件的二維正方晶格網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)均有4個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)代表博弈個(gè)體，邊表示個(gè)體與其鄰居的博弈關(guān)系。類似經(jīng)典公共物品博弈實(shí)驗(yàn)［17］，假設(shè)有一個(gè)公共的基金，每個(gè)個(gè)體獨(dú)立并且同時(shí)決定選擇投資（合作）或者不投資（背叛）到這個(gè)基金中，合作者每次均投資c單位的貨幣，背叛者投資為零，所投進(jìn)的總資金將以r的倍數(shù)增值（r為增益系數(shù)，r＞1），然后平分給所有個(gè)體。公共物品博弈模型的定義有多種形式，例如，個(gè)體只參與自身及其鄰居組成的群體博弈，即單群體博弈［18］；另外，個(gè)體同時(shí)參與多個(gè)群體的博弈，每個(gè)個(gè)體持有固定的資金c，合作者的資金c平分到所參與的群體中，即多群體博弈［19－20］；還有一種形式是個(gè)體雖然參與多個(gè)群體，但每參與一個(gè)群體就投入c單位的資本，這是介于以上兩種形式之間的另一種公共物品博弈模型?，F(xiàn)在我們研究的是最后一種形式，在我們的模型中，個(gè)體和其最近鄰進(jìn)行公共物品博弈，每個(gè)個(gè)體同時(shí)參加以自己為中心和以其鄰居為中心的群體博弈，為研究方便假設(shè)合作者每參與一個(gè)群體投入1單位的資本，每個(gè)群體增值后的總資金將平分給參與這個(gè)群體的所有個(gè)體，平分到的資金減去自身投資的金額為個(gè)體的凈利潤(rùn)，稱為收益。初始狀態(tài)是合作者與背叛者均勻混合分布在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)個(gè)體以相等的概率選擇合作或背叛策略。個(gè)體x參與一個(gè)群體博弈所得收益為

其中，nc與nd分別為這個(gè)群體中選擇合作和背叛的個(gè)體數(shù)，s（x）為個(gè)體x的投資金額。每一時(shí)步個(gè)體x所得收益為參與5個(gè)群體所得收益和，用P（x）表示。

采取同步更新策略的方法，個(gè)體根據(jù)費(fèi)米更新規(guī)則調(diào)整自己的策略，個(gè)體x隨機(jī)等概率地選擇一個(gè)鄰居個(gè)體y并以一定概率學(xué)習(xí)其策略，學(xué)習(xí)概率為

其中，P（x）和P（y）分別為x和y兩參與者在上一時(shí)步所得的收益，κ為噪聲強(qiáng)度。在噪聲強(qiáng)度很小（κ→0）的情況下，當(dāng)P（y）＞P（x）時(shí)學(xué)習(xí)概率為1，當(dāng)P（y）≤P（x）時(shí)學(xué)習(xí)概率為0，意味著個(gè)體一定向比自己收益高的個(gè)體學(xué)習(xí)；當(dāng)噪聲強(qiáng)度取大于零的某一值時(shí)，即使所選鄰居收益比自身收益小仍有一定的概率學(xué)習(xí)其策略，這表示了個(gè)體的非理性行為，并且κ越大個(gè)體越不理性。

2 數(shù)值模擬結(jié)果與理論分析

本文采用蒙特卡洛方法進(jìn)行數(shù)值模擬，考察在不同的增益系數(shù)下噪聲強(qiáng)度對(duì)合作行為的影響，另外還計(jì)算了不同噪聲強(qiáng)度值下合作頻率隨增益系數(shù)的變化情況。在模擬中，我們的結(jié)果都是通過讓系統(tǒng)演化2 000時(shí)步后取1 000步的數(shù)據(jù)，并且對(duì)50個(gè)不同初始合作者與背叛者分布狀態(tài)做了平均獲得的，經(jīng)驗(yàn)證演化2 000時(shí)步系統(tǒng)已達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡。

圖1a給出了在不同的增益系數(shù)r下合作頻率ρc隨噪聲強(qiáng)度κ的變化關(guān)系，從圖可以看出：除了增益系數(shù)r過小（r＝3.5）或過大（r＝6.0）的情況，隨著噪聲強(qiáng)度κ的增加合作頻率ρc都存在一個(gè)降低的過程，這表明噪聲的存在會(huì)抑制合作，并且噪聲越大合作現(xiàn)象越稀少，此外這個(gè)抑制作用對(duì)不同的增益系數(shù)所產(chǎn)生的影響強(qiáng)度是不一樣的，增益系數(shù)越小，抑制作用越明顯。圖1b給出了在不同的噪聲強(qiáng)度κ下，合作頻率ρc隨增益系數(shù)r的變化關(guān)系，由圖可見：隨著增益系數(shù)的增加，合作頻率都會(huì)存在一個(gè)從零變大的突變過程，并且噪聲強(qiáng)度越大，合作涌現(xiàn)所需的臨界增益系數(shù)rc越大，即噪聲對(duì)合作的涌現(xiàn)起到抑制作用；當(dāng)噪聲強(qiáng)度比較大時(shí)，隨著增益系數(shù)的增加合作頻率曲線光滑上升，但當(dāng)噪聲強(qiáng)度比較小時(shí)曲線的上升出現(xiàn)了階梯形式，并且噪聲強(qiáng)度越小階梯形式越明顯，當(dāng)噪聲強(qiáng)度很?。ㄈ绂剩?.001）時(shí)，合作頻率曲線出現(xiàn)了分段現(xiàn)象，在每段中系統(tǒng)的合作頻率值近似相等，且分段個(gè)數(shù)等于節(jié)點(diǎn)的度。這個(gè)分段現(xiàn)象與王文旭等［7］提出的基于記憶的鏟雪堆博弈結(jié)果類似，即在某些增益系數(shù)r值附近合作頻率會(huì)從一個(gè)值突變到另一個(gè)值，作者通過局域穩(wěn)定性方法解釋了分段現(xiàn)象，我們?cè)诖嘶A(chǔ)之上從合作團(tuán)簇存亡的角度分析了合作頻率的分段現(xiàn)象并提出自己的見解。

圖1 空間公共物品博弈中，在不同的增益系數(shù)和噪聲強(qiáng)度下合作頻率的變化情況Fig.1 Changes of the frequency of cooperation with different multiplication factor and noise intensity in spatial public goods game

為了研究方便我們把噪聲強(qiáng)度很小（如κ＝0.001）的合作頻率隨增益系數(shù)變化的曲線單獨(dú)畫出來，如圖2所示。通過數(shù)值模擬，得出的3個(gè)臨界增益系數(shù)值分別為rc1≈3.58，rc2≈4.17，rc3≈5.0，被這3個(gè)臨界增益系數(shù)所分割的4段合作頻率曲線所對(duì)應(yīng)的合作合作率分別為ρc＝0.0，ρc1≈0.52，ρc2≈0.88，ρc3＝1.0。在每一段對(duì)應(yīng)的增益系數(shù)范圍內(nèi)，系統(tǒng)演化穩(wěn)定后合作者和背叛者分布的斑圖類似，圖3就給出了對(duì)應(yīng)于4段穩(wěn)定的合作率在演化穩(wěn)定后某一時(shí)步的斑圖快照。明顯地，這4個(gè)斑圖的面貌截然不同：在對(duì)應(yīng)于Ⅰ段的圖3a中所有的個(gè)體都采取背叛策略，而在對(duì)應(yīng)于Ⅳ段的圖3d中所有的個(gè)體都采用了合作策略，在對(duì)應(yīng)于Ⅱ段的圖3b中合作者形成團(tuán)簇并且被背叛者包圍，而在對(duì)應(yīng)于Ⅲ段的圖3c中合作團(tuán)簇連成片，在成片的合作者團(tuán)簇中只有被擠壓成狹窄空間中的背叛者存在。

圖2 當(dāng)噪聲強(qiáng)度很小（如κ＝0.001）時(shí)，合作頻率隨增益系數(shù)的變化情況Fig.2 Changes of the frequency of cooperation with multiplication factor when the noise intensity is very small（e.g.κ＝0.001）

圖3 當(dāng)噪聲強(qiáng)度很?。ㄈ绂剩?.001）時(shí)，在不同增益系數(shù)下系統(tǒng)演化到2 000時(shí)步時(shí)的斑圖快照Fig.3 The spot pattern snapshots with different multiplication factor after 2000time step evolution when the noise intensity is very small（e.g.κ＝0.001）

我們所研究的空間公共物品博弈模型是以每個(gè)個(gè)體為中心與其鄰居構(gòu)成一個(gè)群體進(jìn)行一次博弈，所以個(gè)體會(huì)參與以它及其鄰居為中心的多次博弈，從而使得個(gè)體的收益受其鄰居及鄰居的鄰居的投資行為的共同影響，呈現(xiàn)群體交互的形式，為了更直觀地描述該博弈我們畫出了示意圖，如圖4所示。從圖4a中可以看出中心個(gè)體同時(shí)參與了5個(gè)群體博弈（分別是以自身為中心的群體和以它的4個(gè)鄰居為中心的群體），另外中心個(gè)體的鄰居以及其鄰居的鄰居的投資行為都會(huì)對(duì)中心個(gè)體的收益產(chǎn)生影響，但影響大小不同，在圖4b中，正方形框上的個(gè)體對(duì)中心個(gè)體收益貢獻(xiàn)兩次，因此被稱為中心個(gè)體的內(nèi)層鄰居，圓形框上的個(gè)體對(duì)中心個(gè)體收益貢獻(xiàn)一次因此被稱為中心個(gè)體的外層鄰居。

圖3以及之前的研究［1］都表明系統(tǒng)中的合作者是以團(tuán)簇的形式存在的，要想使得合作團(tuán)簇得以生存就要求合作團(tuán)簇周圍的背叛者轉(zhuǎn)變?yōu)楹献髡叩母怕什恍∮趫F(tuán)簇邊沿合作者轉(zhuǎn)變?yōu)楸撑颜叩母怕剩瑥奈⒂^上看，一個(gè)合作團(tuán)簇能否生存并向外擴(kuò)張跟這個(gè)團(tuán)簇邊沿上合作者的分布情況及增益系數(shù)大小息息相關(guān)，因?yàn)橹車撑颜咭氤晒W(xué)習(xí)其鄰居的合作行為的前提是其鄰居收益比自身收益大，而從式（1）中可以看出群體合作者數(shù)量及增益系數(shù)決定個(gè)體收益大小。想使背叛者轉(zhuǎn)變?yōu)楹献髡?，那么背叛者至少要有一個(gè)鄰居是合作者并且該合作者的收益要大于該背叛者的收益。注意到，對(duì)于噪聲強(qiáng)度為零的情況，只要所選鄰居的收益比自身收益大，就一定會(huì)學(xué)習(xí)鄰居的策略。下面我們仔細(xì)考察了一個(gè)背叛者x周圍只有一個(gè)合作者y的情況，考察合作者y的鄰居的策略對(duì)y的收益的影響，從而保證y的收益大于x的收益，進(jìn)而使得背叛者x轉(zhuǎn)變?yōu)楹献髡叩母鞣N可能情況。我們將臨界情況下背叛者x及合作者y的周圍的所有可能情況繪制在圖5，在該圖中圓圈區(qū)域?yàn)閭€(gè)體y參與的其中一個(gè)群體，該群體中合作者數(shù)量用nc表示，其取值分別為1，2，3，4。（因?yàn)槲覀冇懻摰氖桥R界情況，此時(shí)對(duì)應(yīng)于x的內(nèi)層和外層鄰居中有且只有一個(gè)合作者鄰居，所以不能取0和5。）具體情況有圖5a～f共6種。

圖4 公共物品博弈微觀圖Fig.4 Microgram of the public goods game

圖5a中很明顯在x，y所參與的群體中只有一個(gè)合作者y，下一時(shí)步必將全部為背叛者；圖5b中有兩個(gè)合作者并都是對(duì)方的內(nèi)層鄰居，所以對(duì)彼此收益貢獻(xiàn)兩次，當(dāng)增益系數(shù)足夠大時(shí)合作者收益有可能比它的背叛者鄰居收益高，因此該合作團(tuán)簇可能會(huì)生存下來并擴(kuò)張；圖5c中也有兩個(gè)合作者，但兩者都是對(duì)方的外層鄰居，所以對(duì)彼此收益只貢獻(xiàn)一次，所以該合作團(tuán)簇生存下來需要的臨界增益系數(shù)要比圖5b的大；圖5d中有3個(gè)合作者，對(duì)合作者y而言其余兩個(gè)均是其內(nèi)層鄰居，都對(duì)y的收益貢獻(xiàn)兩次，當(dāng)增益系數(shù)達(dá)到一定值時(shí)背叛者x會(huì)學(xué)習(xí)y的合作策略，從而使原合作團(tuán)簇生存下來并擴(kuò)張；圖5e中也有3個(gè)合作者，對(duì)合作者y來說一個(gè)合作者是其內(nèi)層鄰居，另一個(gè)是其外層鄰居，當(dāng)增益系數(shù)達(dá)到一定值時(shí)背叛者x也會(huì)學(xué)習(xí)y的合作策略，該合作團(tuán)簇能夠生存下來并擴(kuò)張，但臨界增益系數(shù)要比圖5d的大；圖5f中有4個(gè)合作者，使x變?yōu)楹献髡邔?duì)應(yīng)的臨界增益系數(shù)應(yīng)該是最小的。綜上所述，下一時(shí)步個(gè)體x變?yōu)楹献髡叩目赡芮闆r有圖5b、圖5c、圖5d、圖5e、圖5f5種，并且改變的可能性從小到大的排序是圖5c、圖5b、圖5e、圖5d、圖5f。

圖5 背叛者x與合作者y以及他們所參與的群體中其他個(gè)體的示意圖Fig.5 Cooperators x，defectors yand the other individuals in the group they participate in

按前面博弈規(guī)則，合作者每參與一個(gè)群體投資1單位貨幣，背叛者不投資。對(duì)于圖5b～圖5f5種情況，要想使得背叛者x成功學(xué)習(xí)合作者y的策略，須保證個(gè)體x的收益小于y的收益，所以有不等式：

不等式左邊表示x的收益右邊表示y的收益。由這5個(gè)不等式分別得出增益系數(shù)r的取值范圍為r＞5.0，r＞25／4＝6.25，r＞25／7≈3.58，r＞25／6≈4.17，r＞25／8＝3.125，其值按大小排序與上述預(yù)測(cè)一致。下面我們分析對(duì)應(yīng)于圖5b～圖5f的這些臨界增益系數(shù)值是否為圖2的分段點(diǎn)：圖5b中兩個(gè)合作者都是對(duì)方的內(nèi)層鄰居，只要增益系數(shù)r達(dá)到5.0該合作團(tuán)簇就會(huì)生存下來并向外擴(kuò)張，實(shí)際上這種結(jié)構(gòu)是普遍存在于合作團(tuán)簇中的，隨時(shí)間的演化最終所有的合作團(tuán)簇會(huì)聚集在一起，使得系統(tǒng)中個(gè)體全部都變?yōu)楹献髡?，合作率?，因此臨界增益系數(shù)5.0是圖2其中一個(gè)分段點(diǎn)；圖5c中計(jì)算得增益系數(shù)為6.25，而當(dāng)增益系數(shù)r達(dá)到5.0就全部為合作者了，r再繼續(xù)增大合作率仍為1，故6.25不是分段點(diǎn)；對(duì)于圖5d中這樣的合作團(tuán)簇結(jié)構(gòu)當(dāng)增益系數(shù)大于3.58時(shí)，合作團(tuán)簇才能向外擴(kuò)張；對(duì)于圖5e中當(dāng)增益系數(shù)大于4.17時(shí)，合作團(tuán)簇才能向外擴(kuò)張；而圖5f中理論上只要增益系數(shù)達(dá)到3.125個(gè)體x就會(huì)變?yōu)楹献髡?，但圖5f中4個(gè)合作者分布在圓圈上，圓的中心是一個(gè)背叛者，即4個(gè)合作者包圍一個(gè)背叛者，該背叛者將獲得很高的收益，其周圍的合作者有很大的概率學(xué)習(xí)其策略，這終將導(dǎo)致原合作團(tuán)簇分裂，原合作團(tuán)簇不能生存。綜上所述，下一時(shí)步個(gè)體x可能變?yōu)楹献髡叩那闆r就只有圖5b、圖5d、圖5e3種情況，在這3種情況中，圖5d的結(jié)構(gòu)是最容易使背叛者x變?yōu)楹献髡叩?，即需要的增益系?shù)最小，約為3.58。當(dāng)r＜3.58時(shí)，對(duì)于圖5d的結(jié)構(gòu)都不能使背叛者x成功學(xué)習(xí)合作者y的策略，隨時(shí)間的演化導(dǎo)致整體沒有合作者幸存，合作率為0，故臨界增益系數(shù)25／7對(duì)應(yīng)于圖2其中一個(gè)分段點(diǎn)；r再繼續(xù)增大當(dāng)達(dá)到25／6時(shí)對(duì)于圖5e的合作團(tuán)簇結(jié)構(gòu)也能生存，從而使得合作率突然增大，故25／6也是圖2其中一個(gè)分段點(diǎn)。綜上，理論分析得到圖2的3個(gè)增益系數(shù)的臨界點(diǎn)分別為25／7，25／6和5.0。

仿真結(jié)果rc1≈3.58，rc2≈4.17，rc3≈5.0與理論值吻合得很好。遺憾的是我們未能從理論上解釋圖2中Ⅱ，Ⅲ段合作頻率為什么分別為0.52和0.88。

3 結(jié)論

本文通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)噪聲強(qiáng)度對(duì)空間公共物品博弈合作行為的出現(xiàn)起到了抑制作用，而且在增益系數(shù)較小時(shí)抑制作用比較明顯。另外我們還發(fā)現(xiàn)當(dāng)噪聲強(qiáng)度很?。ㄈ绂剩?.001）時(shí)，合作頻率隨增益系數(shù)的變化出現(xiàn)分段現(xiàn)象，我們通過理論分析并計(jì)算得到臨界增益系數(shù)，仿真結(jié)果與理論值吻合得很好。

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