基于奇異值分解法的微震子臺(tái)網(wǎng)監(jiān)測能力分析

陳法兵 王 穎 任文濤 王傳朋 王元杰 李 巖

1）中國北京 100013 煤炭科學(xué)研究總院開采設(shè)計(jì)研究分院

2）中國北京 100013 天地科技股份有限公司開采設(shè)計(jì)事業(yè)部

3）中國山東274718 鄆城煤礦

4）中國山東272055 山東唐口煤業(yè)有限公司

0 引言

微震震源參數(shù)測定的精確性是合理分析微震數(shù)據(jù)和有效防治沖擊地壓災(zāi)害的基礎(chǔ)。因此精確測定微震事件的震源位置和發(fā)震時(shí)刻是微震監(jiān)測臺(tái)網(wǎng)的首要任務(wù)。微震事件定位的精確性取決于多種因素，比如臺(tái)站分布、速度模型、震相讀取、走時(shí)區(qū)域異常、拾震器運(yùn)行狀態(tài)和環(huán)境噪音、臺(tái)基情況等（焦遠(yuǎn)碧，1986；焦遠(yuǎn)碧等，1990；朱元清等，1997；姜長寧，2001；郭飆，2002），其中速度模型等因素是現(xiàn)階段不可能完全解決的，震相讀取誤差具有一定的隨機(jī)性。煤礦井下存在不規(guī)則的采空區(qū)和地質(zhì)構(gòu)造帶，且采空區(qū)范圍時(shí)刻處于動(dòng)態(tài)變化當(dāng)中，走時(shí)區(qū)域異常較為復(fù)雜，一般通過多點(diǎn)放炮試驗(yàn)得出不同源檢距的平均波速，以此作為初始參數(shù)。進(jìn)行拾震器選址時(shí)，要求候選點(diǎn)避開破碎巖體、大斷層等。建造水泥臺(tái)基，臺(tái)基錨桿深度必須達(dá)到堅(jiān)硬原巖。臺(tái)站布置在硐室內(nèi)，有效避開皮帶機(jī)和轉(zhuǎn)載機(jī)等大型用電設(shè)備的電磁干擾以及運(yùn)輸車輛和人類活動(dòng)的噪音干擾。綜上所述，只有測震臺(tái)網(wǎng)布置是人為可以有效優(yōu)化和改進(jìn)的（許俊奇，1988 ；張玲等，2010）。本文使用奇異值分解法，從測震臺(tái)網(wǎng)布置的角度對微震監(jiān)測子臺(tái)網(wǎng)的定位誤差進(jìn)行分析。

Kijko A（1977）、Nitzan 等（1990）、唐禮忠等（2006）、鞏思園（2010）利用最佳實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)理論中的D值優(yōu)化法，得到震中和震源的定位誤差。Yasuo Sato等（1965）通過蒙特卡洛法得到地震參數(shù)的誤差值，從而計(jì)算出震源位置、起震時(shí)刻和波速的標(biāo)準(zhǔn)偏差。鞏思園（2010）、唐禮忠等（2006）在分析測震臺(tái)網(wǎng)監(jiān)測能力時(shí)假設(shè)，對于任何一個(gè)微震事件，所有臺(tái)站能接收到事件波形，但現(xiàn)實(shí)中小能量事件和強(qiáng)烈衰減的大能量事件可能無法觸發(fā)所有臺(tái)站甚至觸發(fā)臺(tái)站數(shù)達(dá)不到可以進(jìn)行震源定位的最小臺(tái)站數(shù)。對于某一震動(dòng)事件，把能夠接收到明顯震動(dòng)波形的臺(tái)站組合稱為子臺(tái)網(wǎng)組合，即震源所能激發(fā)臺(tái)站的集合，S（ S為全部臺(tái)站的集合）。對于既定微震臺(tái)網(wǎng)S，子臺(tái)網(wǎng)組合是震源位置和震級的函數(shù)，即）。因此，針對不同位置、不同震級的微震事件，應(yīng)該選擇不同的子臺(tái)網(wǎng)組合，對微震事件進(jìn)行定位計(jì)算和誤差分析（趙英萍等，2006；季愛東等，2011），因此，稱為動(dòng)態(tài)子臺(tái)網(wǎng)組合。在合理確定子臺(tái)網(wǎng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的定位誤差分析，可精確反映現(xiàn)場實(shí)際情況，對現(xiàn)場微震監(jiān)測具有指導(dǎo)意義。

1 定位子臺(tái)網(wǎng)組合的判別方法

單臺(tái)地震監(jiān)測能力是指單臺(tái)拾震器對于不同能量等級的微震事件所能監(jiān)測的最大距離（單新建等，1996）。此處假設(shè)臺(tái)站性能和讀取震相的能力相同。單臺(tái)地震監(jiān)測能力決定了測震臺(tái)網(wǎng)的密度大小和實(shí)際監(jiān)測效能。

在假設(shè)煤礦地質(zhì)和開采條件各個(gè)方向上無較大差別的情況下，可以近似把微震事件的能量和監(jiān)測半徑r聯(lián)系起來（國家地震局地球物理研究所，1978），關(guān)系式為

式中，q接近2，μ與q都可以求出，不同煤礦取值不同。里氏震級公式為

式中，M為震級，E為能量，a、b為地震常數(shù)。聯(lián)立式（1）、式（2）可得

按照波蘭煤礦規(guī)程的規(guī)定，式中a=1.8，b=1.9。

對于任意給定震級和震源位置的微震事件，利用式（3）可以得到有效監(jiān)測半徑r，結(jié)合臺(tái)站分布可唯一確定子臺(tái)網(wǎng)組合。微震事件的震源位置和震級變化均會(huì)引起子臺(tái)網(wǎng)組合的變化，這種動(dòng)態(tài)的子臺(tái)網(wǎng)組合合理反映了參與定位臺(tái)站的實(shí)際情況。圖1為唐口煤礦能量分別為1×103J，2×103J和5×103J的微震事件可激發(fā)的臺(tái)站數(shù)目云圖。

圖1 不同能量等級微震事件的有效定位范圍（a） E=103J；（b） E=2×103J；（c） E=5×103JFig.1 Effective location range of microseismic event with different energy

圖2中菱形塊折線代表子臺(tái)網(wǎng)最大有效臺(tái)站數(shù)，正方形塊折線代表有效監(jiān)測面積與礦井總面積的比值。微震事件的能量越大，有效監(jiān)測半徑越大，子臺(tái)網(wǎng)包含的臺(tái)站數(shù)目就越多。對同一能量的微震事件，發(fā)生在臺(tái)網(wǎng)密度越大的區(qū)域，子臺(tái)網(wǎng)包含的臺(tái)站數(shù)目越多，對微震事件的監(jiān)測能力越強(qiáng)。

2 地震參數(shù)的誤差估計(jì)

圖2 最大有效臺(tái)站數(shù)和監(jiān)測面積百分比Fig.2 Max of the number of effective station and monitoring area ratio

假設(shè)微震臺(tái)網(wǎng)包含n個(gè)臺(tái)站，各臺(tái)站坐標(biāo) β=（xi, yi, zi），i=1,2, …, n；震源坐標(biāo)為 （x0, y0, z0），微震事件震源的發(fā)震時(shí)刻為 t0；震源參數(shù)θ=（x0, y0, z0, t0）。當(dāng)發(fā)生一個(gè)微震事件時(shí)，該臺(tái)網(wǎng)記錄到m個(gè)觀測到時(shí)tj，j=1,2, …,m。

第i個(gè)臺(tái)站理論走時(shí)Ti由式（4）表示

第i個(gè)臺(tái)站的到時(shí)殘差ri由式（5）表示

在震源參數(shù)近似值θ*=（x*0, y*0, z*0, t*0）處對走時(shí)Ti應(yīng)用一階Taylor展開式，觀測到時(shí)ti可由式（6）表示

聯(lián)立式（5）、式（6）可得

使用矩陣表示如下

式中，A為m×n維微震波走時(shí)偏導(dǎo)數(shù)矩陣，δθ為n×1維震源位置改正量，r為m×1維矢量，表示觀測走時(shí)與計(jì)算走時(shí)的殘差。因?yàn)榭梢赃M(jìn)行微震事件震源定位的前提條件是必須最少有4個(gè)臺(tái)站可以判讀震相初至，所以n≥4。

對系數(shù)矩陣進(jìn)行奇異值分解，見式（9）

式中U為m×m維矩陣，列向量為AAT的m個(gè)正交歸一本征矢量。V為n×n維矩陣，其列向量為ATA的正交歸一本征矢量。T表示矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算。S是m×n維對角奇異值矩陣。

奇異值按遞減排列，即λ1≥λ2≥…≥λn≥0，其中非零奇異值的數(shù)目等于A的秩。

估計(jì)參量空間的協(xié)方差矩陣可由下式推出

其中 E 為數(shù)學(xué)期望，A+為 A 的 Moore-Penrose 廣義逆。A+=VS+UTS+=diag （λ+1, λ+2,…, λ+n） ，其中λ+

i=1/λi。C（r）為觀測值的協(xié)方差矩陣，主對角元素是各觀測值的到時(shí)方差（Lee et al，1984；朱介壽等，1988）?？傻玫焦烙?jì)參量空間的協(xié)方差矩陣H

H的主對角元素是震源參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)值。震中和震源深度的標(biāo)準(zhǔn)誤差為

協(xié)方差矩陣H的非對角元素可以用于估計(jì)震源參數(shù)間的線性相關(guān)性，而較高的震源參數(shù)線性相關(guān)性會(huì)導(dǎo)致震源定位迭代過程失穩(wěn)，對計(jì)算結(jié)果和收斂速度影響很大（田玥等，2002；陳祥熊，2007）。因此，震源參數(shù)的線性相關(guān)性可以用來評價(jià)震源定位結(jié)果的優(yōu)劣。相關(guān)系數(shù)公式為

β 的置信區(qū)間： β2≤ t2/ （t2+n2-2），其中 t=t（1－α/2）是在 1-α/2 概率水平上有 n-2 個(gè)自由度的student分布值（趙仲和，1983）。β在（0，1）內(nèi)取值，0代表毫不相關(guān)，1代表相關(guān)系數(shù)的最大值。

經(jīng)度—深度

緯度—深度

圖3所示為震級M=1時(shí)，經(jīng)度—深度方向線性相關(guān)系數(shù)βxz，緯度—深度方向線性相關(guān)系數(shù)βyz的等值線圖。由圖可知，在工作面開采區(qū)域范圍內(nèi)，相關(guān)系數(shù)βxz和βyz都較小，基本都分布在0.1范圍之內(nèi)，最小值達(dá)到0.06，屬極低度線性相關(guān)范疇。因?yàn)檎鹪炊ㄎ痪扰c線性相關(guān)系數(shù)成反比，因此基于奇異值分解技術(shù)的微震臺(tái)網(wǎng)定位精度分析是可靠的。

取P波平均波速為4 000 m/s，到時(shí)讀取方差為0.05 s。利用奇異值分解法計(jì)算參量空間協(xié)方差矩陣，分別得到震級為0.8和1時(shí)的震中和震源深度定位誤差等值線圖4和圖5，等值線范圍則由子臺(tái)網(wǎng)組合判別方法確定，顯然，M=0.8時(shí)有效監(jiān)測范圍并沒有覆蓋整個(gè)分析區(qū)域。

由圖4可知，微震臺(tái)網(wǎng)包絡(luò)范圍內(nèi)震中定位誤差較小，一般在0—20 m范圍內(nèi)，但是臺(tái)網(wǎng)邊緣震中定位誤差逐漸增大。震源定位誤差比震中定位誤差大，在采掘工作面范圍內(nèi)約100 m以內(nèi)。當(dāng)密集子臺(tái)網(wǎng)處于臺(tái)網(wǎng)邊緣時(shí)，會(huì)產(chǎn)生誤差劇烈變化帶，對臺(tái)網(wǎng)內(nèi)定位精度造成影響。由圖5可知，震級為1時(shí)，臺(tái)網(wǎng)的監(jiān)測范圍已經(jīng)覆蓋分析區(qū)域，工作面內(nèi)震中定位誤差在10 m以內(nèi)，震源定位誤差在40 m以內(nèi)，定位精度顯然比M=0.8時(shí)高。

圖3 線性相關(guān)系數(shù)等值線（M=1）（a） βxz；（b） βyzFig.3 Contour map of inearly dependent coeffi cient（M=1）

圖4 震中和震源深度定位誤差等值線圖（M=0.8）Fig.4 Error contour map of epicenter and focal depth（M=0.8）

圖5 震中和震源深度定位誤差云圖（M=1）

3 現(xiàn)場放炮數(shù)據(jù)驗(yàn)證

在工作面開采過程中，曾多次放卸壓炮和斷頂炮，微震監(jiān)測系統(tǒng)記錄到這些爆破事件的波形，見圖6。統(tǒng)計(jì)18個(gè)能量大于1×104J的典型放炮事件，見表1。對比實(shí)際的震中和震源誤差與本文計(jì)算方法得出的震中和震源誤差，已知微震監(jiān)測系統(tǒng)震中誤差允許范圍為±20m，震源誤差允許范圍為±50m，則震中吻合率為77.8%，震源吻合率為94.4%。可知本文對定位精度的評價(jià)方法可信度較高，可以為現(xiàn)場提供可靠參考。

利用拾震器單臺(tái)監(jiān)測能力分析和奇異值分解技術(shù)相結(jié)合的方法對微震臺(tái)網(wǎng)的定位動(dòng)態(tài)子臺(tái)網(wǎng)進(jìn)行定位誤差計(jì)算，可以預(yù)先估計(jì)臺(tái)網(wǎng)的震中和震源定位精度，對臺(tái)網(wǎng)布置方案的制定和優(yōu)化具有重要的指導(dǎo)意義。

圖6 爆破震動(dòng)波形

表1 計(jì)算誤差與實(shí)際誤差對比Table 1 Contrast of calculation error and actual error

4 結(jié)論

（1）微震事件的定位子臺(tái)網(wǎng)是隨著微震事件的能量以及微震臺(tái)網(wǎng)布置的變化而變化的，因此定位子臺(tái)網(wǎng)是動(dòng)態(tài)的。在臺(tái)站分布已知情況下，通過對單臺(tái)監(jiān)測能力的研究可以確定定位子臺(tái)網(wǎng)的組合。

（2）平面震源參數(shù)與垂直震源參數(shù)的線性相關(guān)系數(shù)較小，故震源參數(shù)相關(guān)性小，表明唐口煤礦微震監(jiān)測臺(tái)網(wǎng)布置較好，定位精度較高。由此可見奇異值分解法分析結(jié)果的可靠性。

（3）奇異值具有較好的穩(wěn)定性，通過奇異值分解方法對定位方程組進(jìn)行處理，可以排除干擾因素，得到穩(wěn)定精確解。實(shí)際計(jì)算誤差與奇異值分解法所得誤差在誤差允許范圍內(nèi)吻合率較高，證明利用奇異值分解法進(jìn)行誤差評估是有效的。

（4）本文所述基于微震定位動(dòng)態(tài)子臺(tái)網(wǎng)組合的判別和奇異值分解技術(shù)的地震參數(shù)定位精度估計(jì)，可以對微震臺(tái)網(wǎng)的地震定位精度進(jìn)行預(yù)評價(jià)。奇異值分解法對微震臺(tái)網(wǎng)的建立及后續(xù)臺(tái)站的增減和調(diào)整具有指導(dǎo)作用。

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