非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的傳輸特性

(瓊州學(xué)院 電子通信工程學(xué)院，海南 三亞572022)

0 引言

正弦類高斯光束的傳輸一直是激光領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究之一.文獻(xiàn)［1］研究了湍流對部分相干雙曲余弦高斯光束的瑞利區(qū)間的影響.文獻(xiàn)［2］對雙曲正弦平方－高斯光束在單軸晶體中垂直于光軸的傳輸作了深入研究.文獻(xiàn)［3］研究了截斷部分雙曲余弦高斯光束在非Kolmogorov 湍流中的傳輸，分析并討論了截斷參數(shù)和非Kolmogorov 湍流參數(shù)對傳輸性能的影響.文獻(xiàn)［4］研究了非傍軸雙曲余弦－高斯光束通過硬邊光闌的傳輸，用詳細(xì)的數(shù)值計算例說明偏心參數(shù)，截斷參數(shù)以及桶的尺寸大小對遠(yuǎn)場光束質(zhì)量的影響.文獻(xiàn)［5］對非傍軸截斷余弦－高斯光束的光束傳輸因子進(jìn)行了研究.在光束的傳輸過程中，一般可選取適當(dāng)?shù)膮?shù)來描述光束的傳輸特性，例如，束寬、遠(yuǎn)場發(fā)散角以及光束傳輸因子(即M2因子)等［6－7］.在描述光束傳輸特性的眾多參數(shù)中，M2因子是描述光束傳輸特性的一個重要參數(shù)，它不僅反映了光束的近場特性，還反映了光束的遠(yuǎn)場特性.本文利用功率密度［8］的二階矩方法，對非傍軸標(biāo)量雙曲余弦平方－高斯光束的傳輸特性作了較為深入的研究.通過數(shù)值模擬，研究了參數(shù)1/f 和偏心參數(shù)對遠(yuǎn)場發(fā)散角和M2因子的影響，得到一些有意義的結(jié)果.

1 理論分析

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)源平面z=0 處二維雙曲余弦平方－高斯光束的場分布為［9］

式中:w0為初始高斯場振幅部分的束腰寬度，Ω0是與余弦部分有關(guān)的參數(shù).當(dāng)Ω0=0 時，(1)式退化為高斯光束.

根據(jù)角譜理論，雙曲余弦平方－高斯光束在z 平面處的光場分布，可表示為［10］

式中:k=2π/λ，λ 為波長，p 為場的方向余弦，

A0(p)為E0(x0，0)的傅立葉變換，且

把(1)式代入(4)式，經(jīng)計算得到

式中f=1/kw0，α=w0Ω0(偏心參數(shù)).把(5)式代入(2)式，又得到

利用(6)式作數(shù)值計算，可給出非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束在z 平面處的光場分布.

根據(jù)功率密度的二階矩法，非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束在遠(yuǎn)場的發(fā)散角為

式中P(z)為通過任意z 平面的總功率，即

根據(jù)文獻(xiàn)［8］，非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的M2因子可表示為

式中，W(0)為z=0 面處的束腰寬度，

其中:

D 為橫平面上的功率密度［8］，

式中，Re 表示取實(shí)部，* 表示復(fù)共軛.由(7)－(10)式可知，f 參數(shù)和偏心參數(shù)α 影響非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的M2因子.利用(7)式、(9)式作數(shù)值計算可以研究非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的遠(yuǎn)場發(fā)散角和Μ2因子.

2 數(shù)值計算結(jié)果和分析

為說明本文所得結(jié)果的物理意義，做了大量數(shù)值計算，典型的數(shù)值計算例總結(jié)于圖1和圖2.圖1為非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的遠(yuǎn)場發(fā)散角θ0隨參數(shù)1/f 變化的曲線.從圖1可以看出，隨著1/f 的減小，遠(yuǎn)場發(fā)散角θ0漸近趨于相同的上限θ0max=63.435°.數(shù)值計算表明，遠(yuǎn)場發(fā)散角的上限與偏心參數(shù)α無關(guān).對于較小的偏心參數(shù)α，例如α=0.3，遠(yuǎn)場發(fā)散角隨著1/f 的增加而單調(diào)減小.當(dāng)偏心參數(shù)取較大值時，例如α=2.5 由圖1可知，遠(yuǎn)場發(fā)散角θ0隨1/f 的變化是非單調(diào)的.

圖2為非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的M2因子隨參數(shù)1/f 變化的曲線.由圖中曲線可知，f 參數(shù)和偏心參數(shù)α 影響非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的M2因子.對于較小值的偏心參數(shù)，例如α=0.3，M2因子的值隨著參數(shù)1/f 的增大而增大，達(dá)到最大值后，隨著1/f 的增大又單調(diào)減小，并漸近趨于一穩(wěn)定值.從圖中還可以看出，當(dāng)偏心參數(shù)取較大值時，M2因子隨1/f 的變化是非單調(diào)的，其值會出現(xiàn)多個極值.例如，α=2.5，M2因子變化曲線出現(xiàn)兩個極大值.此外，從圖中還可以看出，隨著參數(shù)1/f 的減小，當(dāng)1/f 足夠小時，M2因子的值可小于1.

圖1 非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的遠(yuǎn)場發(fā)散角θ 隨1/f 的變化

3 結(jié)論

本文利用功率密度定義的二階矩方法，通過數(shù)值計算研究了非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的傳輸特性，重點(diǎn)分析了f 參數(shù)和偏心參數(shù)對遠(yuǎn)場發(fā)散角和M2因子的影響.數(shù)值計算結(jié)果表明，f 參數(shù)和偏心參數(shù)α 影響非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的M2因子.當(dāng)參數(shù)1/f 很小時，M2因子的值可以小于1.當(dāng)偏心參數(shù)取較大值時，M2因子隨1/f 的變化是非單調(diào)的，其值會出現(xiàn)多個極大值.隨著1/f 的減小，遠(yuǎn)場發(fā)散角漸近趨于相同的上限63.435°，且遠(yuǎn)場發(fā)散角的上限與偏心參數(shù)α 無關(guān).本文所得結(jié)果對研究非傍軸高階正弦類高斯光束的傳輸特性有一定參考價值.

圖2 非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的M2 因子隨1/f 的變化

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