一類漁業(yè)捕撈的生物模型

(欽州學院 學報編輯部，廣西 欽州535000)

0 引言

近年來，隨著全球人口日益增長，陸地有限的可再生資源已難以滿足人類社會發(fā)展的需要，人類開始把目光投向海洋，有學者說21世紀是人類開發(fā)的海洋世紀，從中可以看出從海洋中獲取資源是多么重要.尤其是漁業(yè)的捕撈顯得尤為重要.盡管漁業(yè)生產(chǎn)是可再生的，但是如果過度捕撈，魚類最終也會走向滅亡，嚴重影響人類社會的發(fā)展.所以漁業(yè)生產(chǎn)必須要適度，決不能“竭澤而漁”.因此，如何對漁業(yè)進行開發(fā)和捕撈，在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)的前提下，如何對可再生生物資源進行管理，實現(xiàn)人與自然環(huán)境的協(xié)調(diào)發(fā)展就成為擺在我們面前的課題.

建立數(shù)學模型研究漁業(yè)生產(chǎn)已經(jīng)引起了一些學者的興趣［1－5］，漁業(yè)生產(chǎn)數(shù)學模型是一個復雜的系統(tǒng)，尤其是魚類的捕獲系統(tǒng)，C W Clark 對魚類捕獲模型研究進行了系統(tǒng)的總結［6］.文［7］作者對一類自治單種群模型及其最優(yōu)捕獲策略模型進行研究，得到了一定條件下單種群的最優(yōu)捕獲模型，從中可以看出作者對漁業(yè)生產(chǎn)數(shù)學模型的研究并沒有考慮時滯的影響，而這方面研究的學者不多.直到最近幾年，學者李晶晶從漁業(yè)資源信息的動力學探討了含有時滯捕撈模型的穩(wěn)定性［8］.目前，對漁業(yè)生產(chǎn)的時滯模型的研究內(nèi)容不多，所以本文將研究具有時滯的捕獲模型.

受文［9］啟發(fā)，考慮了如下無窮時滯單種群Logistic 模型

其中:x(t)是t 時刻的該魚類生物種群的密度，a，b，c，d，E 是正常數(shù);a 為內(nèi)凜增長率;E 表示捕撈或收獲量;積分核k 連續(xù)且滿足，并且.根據(jù)生物的實際意義，考慮系統(tǒng)(0－1)的解都在［0，+∞］上存在且是非負的.由于直接分析系統(tǒng)(0－1)具有的性態(tài)比較困難，因此，考慮對此模型進行鏈變換，令，則系統(tǒng)(0－1)可化為下面的等價方程組:

通過變換，模型(0－2)和模型(0－1)具有等價性，b，c 表示密度制約系數(shù)，由于滯后滿足正態(tài)分布，因此d表正態(tài)分布的參數(shù)，y(t)表示t 時刻該魚類種群密度的滯后效應，本文將研究模型(0－2)具有性質，從而知道模型(0－1)具有的性質.考慮到實際的生物意義，本文將在R+2={(x(t)，y(t))|x(t)＞0，y(t)＞0}內(nèi)研究.

1 平衡點(奇點)存在性及它的穩(wěn)定性

1.1 平衡點存在性

對于系統(tǒng)(0－2)，令

由(1－1)得方程(bd2+cd)y2－ady+E=0，又令Δ=a2d2－4E(bd2+dc)，易知

當E=0 時，實際中沒有捕撈，所以對該情形不予考慮.

1.2 平衡點的性質以及它的穩(wěn)定性

(I)對于平衡點A1，令有下面定理.

定理1.2.1 (1)當k≠d 時，系統(tǒng)正平衡點A1是一個鞍點;(2)當k=d 時，系統(tǒng)正平衡點A1是一個中心.

(2)當k=d 時，特征方程有一對純實根，平衡點A1是中心，其外圍被一團軌線所圍繞，不同的軌線對應系統(tǒng)(0－2)的不同周期解.說明該魚類種群的規(guī)模受其它種群或環(huán)境的影響，周而復始的循環(huán)，不會發(fā)生絕滅，也不會無限的增長，處于動態(tài)的平衡.

定理1.2.2 (1)若k2＞d＞0 時，正平衡點A2是一個不穩(wěn)定的結點;(2)若0＜k2＜d 時，正平衡點A2是一個穩(wěn)定的結點.

當k2＞0 時，討論:

定理1.2.3 (1)若0＜k2＜d，則正平衡點A2是一個穩(wěn)定的焦點;(2)若k2＞d＞0，則正平衡點A2是一個不穩(wěn)定的焦點.

證明 由定理1.2.2 過程知，λ1，2=下面討論.

(1)當0＜k2＜d，則特征根λ1，2是實部為負的共軛復根，說明是一個穩(wěn)定的焦點，如果適度控制捕撈，那么它趨于平衡點，周期性發(fā)生變化.

定理1.2.4 (1)若0＜k2＜d，則正平衡點A2是一個穩(wěn)定臨界結點;(2)若k2＞d＞0，則正平衡點A2是一個不穩(wěn)定的臨界結點.

類似上面的證明過程，可得出如下一些定理.

定理1.2.5 當k2＜0 時，(1)若時，則正平衡點A2是一個穩(wěn)結點;(2)若k1＞時，則正平衡點A2是一個穩(wěn)定焦點;(3)若時，則正平衡點aA2是一個穩(wěn)定臨界結點.

定理1.2.6 當k2=0 時，(1)若時，則正平衡點A2是一個穩(wěn)結點;(2)若時，則正平衡點A2是一個穩(wěn)定焦點;(3)若k1=時，則正平衡點是一個臨界的穩(wěn)定結點.

定理1.2.7 當k2=d 時，則正平衡點A2是一個中心.

在建筑結構之中包含了很多與水相關的結構，如衛(wèi)生間、廚房等等。在這些結構設計上，防水工作的開展屬于重中之重，應做好施工技術選擇工作。在整個建筑工程施工之中，應采用恰當?shù)氖┕ぜ夹g，來維護建筑結構的防水性。因此，工作人員需要提前做好實際情況調(diào)查工作，將相關技術和防水建材工作結合到一起，避免在后續(xù)建筑使用時出現(xiàn)漏水問題。在防水建材選用上也要提高重視程度，可以通過取樣分析來驗證建材質量，最終避免整個建筑工程質量受到影響。

證明 對系統(tǒng)(0－2)在該平衡點 A3處的線性近似方程的特征根方程為 f (λ)==0，整理得由此可知平衡點A3為該系統(tǒng)的高階奇點.

1.3 系統(tǒng)不存在極限環(huán)

由Dulac 判別法知道系統(tǒng)(0－2)在R+2={(x(t)，y(t))|x(t)＞0，y(t)＞0}上不存在極限環(huán).1.4 平衡點的全局分析

我們沿著系統(tǒng)(0－2)求導，得出

2 對該數(shù)學模型收獲量的分析

在實際捕撈中，我們通常以最大捕撈量為可持續(xù)均衡收獲為管理目標，設均衡收獲函數(shù)為F(E)，F(xiàn)(E)=xiE，實際上就是求函數(shù)F(E)的極值.時，對于正平衡點A2，滿足定理1.2.1(2)，1.2.2(2)，1.2.3(1)，1.2.4(1)，1.2.5(1)，1.2.5(2)，1.2.5(3)，1.2.6(1)，1.2.6(2)，1.2.6(3)，1.2.7 的其中之一條件時，A2要么是穩(wěn)定的結點，要么是穩(wěn)定的焦點，要么是中心.此時

3 結語

考慮了無窮時滯單種群Logistic 模型，得出了一定條件下存在正平衡點，分析了在存在正平衡點的情況下，平衡點的穩(wěn)定性，解釋了在平衡點附近，該種群如果受環(huán)境變化或是人類捕撈活動的干擾，該魚類種群會發(fā)生何種變化，這對人們了解種群的性態(tài)，持續(xù)進行捕撈有著實際的指導意義.

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