一類二次型離散系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定與鎮(zhèn)定*

馮智輝 鄧飛其 劉文輝

（1.華南理工大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院， 廣東 廣州510640； 2.廣州市標(biāo)準(zhǔn)化研究院， 廣東 廣州510050）

在控制理論研究中，Lyapunov 穩(wěn)定性理論一直是研究的熱點(diǎn)和重點(diǎn).Lyapunov 穩(wěn)定性本質(zhì)上是一個(gè)局部概念，用于描述系統(tǒng)的初值偏離平衡點(diǎn)（或平衡區(qū)域）時(shí)的狀態(tài)發(fā)展性態(tài).一般來說，這種狀態(tài)發(fā)展趨勢是對(duì)無限時(shí)間區(qū)間而言的，但實(shí)際上不少系統(tǒng)往往只需要處理其在合適的有限時(shí)間區(qū)間上的性態(tài).20世紀(jì)60年代，文獻(xiàn)［1-2］中提出了有限時(shí)間穩(wěn)定的概念，即當(dāng)系統(tǒng)的初值偏離平衡點(diǎn)（或平衡區(qū)域）一定范圍時(shí)，在給定的有限時(shí)間區(qū)間上系統(tǒng)的狀態(tài)不會(huì)跨出預(yù)先給定的范圍.在實(shí)際中出于成本考慮，有些系統(tǒng)僅要求其在一定時(shí)間區(qū)間內(nèi)保持一定的性能即可，因而對(duì)于這類系統(tǒng)（如一些標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施對(duì)象系統(tǒng)等［3］），考慮其有限時(shí)間穩(wěn)定性往往會(huì)比考慮其在無限時(shí)間區(qū)間上的穩(wěn)定性更具實(shí)用性和經(jīng)濟(jì)性.

十幾年來有限時(shí)間穩(wěn)定問題的研究已取得了不少的成果［4-12］.二次型系統(tǒng)在無限時(shí)間區(qū)間上的穩(wěn)定性已有比較完善的研究成果，而將有限時(shí)間穩(wěn)定概念應(yīng)用到二次型系統(tǒng)只是近年來的工作.Amato等［8］研究了二次型連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定與鎮(zhèn)定，設(shè)計(jì)了基于狀態(tài)反饋的控制器，但沒有考慮離散系統(tǒng)情形.為此，文中研究了一類二次型離散系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定與鎮(zhèn)定，并側(cè)重于考慮狀態(tài)反饋情形，同時(shí)考慮了系統(tǒng)存在外源干擾的情形.文中給出了狀態(tài)反饋控制下使閉環(huán)系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件，并通過采用線性矩陣不等式方法將反饋控制增益矩陣的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式組的求解問題.不少學(xué)者也在研究有限時(shí)間區(qū)間上控制系統(tǒng)的狀態(tài)收斂到平衡點(diǎn)（或平衡區(qū)域）問題［13-16］，文中不加說明時(shí)，提到的有限時(shí)間穩(wěn)定都是基于文獻(xiàn)［1-2］的.

1 問題描述

文中主要研究下面的二次型離散系統(tǒng)：

式中：A∈Rn×n；F∈Rn×m；G∈Rn×r；H∈Rr×r；Bi∈Rn×n；…，n；k=0，1，….該系統(tǒng)的解x（k）?x（x0，w0，k）.

對(duì)于上述系統(tǒng)，考慮如下的狀態(tài)反饋：

其中K∈Rm×n.文中將設(shè)計(jì)增益矩陣K，使系統(tǒng)（1）在其作用下所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)

是有限時(shí)間有界的.

系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定是指系統(tǒng)在一定的初始條件和預(yù)定的時(shí)間區(qū)間內(nèi)，其狀態(tài)不會(huì)跨出預(yù)先設(shè)定的界限.對(duì)如下的二次型離散系統(tǒng)

以及存在外源干擾的系統(tǒng)

文中將重述有限時(shí)間穩(wěn)定的概念.

設(shè)conv{x1，x2，…，xn}表示由點(diǎn)列x1，x2，…，xn所能張成的最大凸多面體，B0=conv{x10，x20，…，xp0}，，其中p、q、l 為適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，ε0為非負(fù)常數(shù).

例如B?conv{x1，x2，x3，x4}，其中x1=（1，0）T，x2=（0，1）T，x3=（-1，0）T，x4=（0，-1）T，則可取a1=（1，1）T，a2=（-1，1）T，a3=（-1，-1）T，a4=（1，-1）T，即B={x∈R2|x≤1；k=1，2，3，4}.

定義1對(duì)于系統(tǒng)（4），給定大于1 的正整數(shù)N，若

則稱該系統(tǒng)關(guān)于（B0，B1，N）是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

注1對(duì)于給定的系統(tǒng)，稱其是有限時(shí)間穩(wěn)定的僅僅是相對(duì)于給定的條件（B0，B1，N）而言的，很明顯，對(duì)于另一組條件而言，也許該系統(tǒng)就不再是穩(wěn)定的.在實(shí)際中，都是基于需要預(yù)先給定條件（B0，B1，N），再設(shè)計(jì)控制器.

定義2對(duì)于系統(tǒng)（5），給定大于1 的正整數(shù)N，若

則稱該系統(tǒng)關(guān)于（B0，B2，B1，N）是有限時(shí)間有界的.

注2在上述兩個(gè)定義中無妨要求B0?B1.由定義可以看出，有限時(shí)間有界是有限時(shí)間穩(wěn)定的擴(kuò)展，有限時(shí)間有界考慮了干擾因素.顯然，當(dāng)ε0=0 時(shí)，有限時(shí)間有界的系統(tǒng)也是有限時(shí)間穩(wěn)定的，此時(shí)系統(tǒng)（5）是零干擾初態(tài)響應(yīng)的；當(dāng)x（0）=0 時(shí)，系統(tǒng)（5）是零初態(tài)干擾響應(yīng)的.

注3干擾的形式很多，根據(jù)不同的干擾w（k）設(shè)計(jì)不同的反饋控制，可以盡可能提高性能.文中主要考慮w（k+1）=Hw（k）形式的外源系統(tǒng)干擾情形.

引理1［17］對(duì)給定的對(duì)稱矩陣，其中S11是r×r 的矩陣，則以下3 個(gè)條件是等價(jià)的：

（i）S＜0；

（ii）S11＜0，S22-S21S-111S12＜0；

（iii）S22＜0，S11-S12S-122S21＜0.

引理2對(duì)給定的對(duì)稱矩陣，其中S11是r×r 的矩陣，當(dāng)|S11|≠0 時(shí)，以下兩個(gè)條件是等價(jià)的：

（i）S≤0；

（ii）S11＜0，S22-S21S-111S12≤0.

或者當(dāng)|S22|≠0 時(shí)，以下兩個(gè)條件是等價(jià)的：

（i）S≤0；

（ii）S22＜0，S11-S12S-122S21≤0.

證明略.

引理3設(shè)A、B、C、D、F 為合適維數(shù)的矩陣且下式中的逆均存在，則

證明直接計(jì)算可得證.

引理4設(shè)P、Q 為對(duì)稱正定矩陣（P＞0，Q＞0），A為合適維數(shù)的矩陣，則

證明由引理1 和引理2 直接可得證.其中#表示不關(guān)心的項(xiàng).

2 主要結(jié)果

為了書寫上的方便，文中記xk=x（k），wk=w（k），中的*表示S12的對(duì)稱矩陣S1T2.

2.1 有限時(shí)間穩(wěn)定性

定理1若存在對(duì)稱正定矩陣P、正常數(shù)γ≥1及0＜ε≤d，滿足如下條件：

其中Π（xi1）=AT+Ψ（xi1），Ψ（xi1）=［BT1xi1，BT2xi1，…，xi1］.則系統(tǒng)（4）關(guān)于條件（B0，B1，N）是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

注4在定理1 的條件下， 根據(jù)引理1、2 及通常的計(jì)算易知：（a）?（a'），（b）?（b'），（c）?（c'），（d）?（d'），其中

證明令B={x∈Rn|xTPx≤d2}，由（c'）可知B0?B.下面證明B?B1.事實(shí)上，對(duì)任意x∈B，由（b'）得故aTkx≤d2（k=1，2，…，l），即B?B1.綜上可得B0?B?B1.

令V（x）=xTPx，x∈Rn，則

若xk-1∈B1，則V（xk）≤γV（xk-1）.

綜上可得xk∈B1（k=1，2，…，N）.

下面給出狀態(tài)反饋控制（2）作用下，使閉環(huán)系統(tǒng)

有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件.

定理2若存在矩陣L、對(duì)稱正定矩陣X、正常數(shù)γ≥1 及0＜ε≤d，滿足如下條件：

證明考慮定理1，令X=P-1，則很容易得到依次對(duì)應(yīng)于定理1 中的條件（a）、（b）、（c）.其實(shí)（dˇ）也對(duì)應(yīng)于定理1 中的條件（d）.事實(shí)上，記=A+FK，=Bi+NiK（i=1，2，…，n），L=KX.在（）左右兩邊分別乘上得，即，其中Δ2（xi1）=［AT+KTFT］X-1+

2.2 有限時(shí)間有界性

定理3若存在對(duì)稱正定矩陣P、正常數(shù)γ≥1及0＜ε≤d，滿足如下條件：

其中Π（xi1）=A+ΦT（xi1），Φ（xi1）= [BT1xi1… BTnxi1]，Θ=GTPG+HTHTPHH-γHTPH.則系統(tǒng)（5）關(guān)于條件（B0，B2，B1，N）是有限時(shí)間有界的.

注5在定理3 的條件下，根據(jù)引理1、2 及通常的計(jì)算易知：（a）?（a'），（b）?（b'），（c）?（c'），（d）?（d'），其中

證明令B={x∈Rn|xTPx≤d2}，由（c'）可知B0?B.下面證明B?B1.事實(shí)上，對(duì)任意x∈B，由（b'）得故aTkx≤d2（k=1，2，…，l），即B?B1.

綜上可得B0?B?B1.

則對(duì)任意x∈Rn，由引理4 知

對(duì)任意α，β∈［0，1］，且α+β=1，有

即f（x）對(duì)于x 是仿射函數(shù)，則f（x）在B1上是半負(fù)定的等價(jià)于f（x）在B1的頂點(diǎn)處是半負(fù)定的.由條件（d）及式（9）可得，對(duì)任意x∈B1有g(shù)（x）≤0.

如果xk-1∈B1，那么V（xk，wk）≤γV（xk-1，wk-1）.令=min{k|k∈{1，2,…}，x0∈B0，w0∈B2，xk?B1}，可以斷言＞N.事實(shí)上，若≤N，則

綜上可得xk∈B1；k=1，2，…，N.

下面給出狀態(tài)反饋控制（2）作用下，使閉環(huán)系統(tǒng)

有限時(shí)間有界的充分條件.當(dāng)G=I 時(shí)，有如下定理.

定理4若存在矩陣L、對(duì)稱正定矩陣X、正常數(shù)γ≥1 及0<ε≤d，滿足如下條件：

證明考慮定理3，令X=P－1，則很容易得到依次對(duì)應(yīng)于定理1 中的條件（a）、（b）、（c）.其實(shí)（）也對(duì)應(yīng)于定理3 中的條件（d）.事實(shí)上，記由引理4 可知，對(duì)任意取定的i，（）等價(jià)于（），其中

注6文中定理的矩陣不等式不少是半負(fù)定的，但在計(jì)算時(shí)無妨取為負(fù)定的，這是可行的方法，并且不影響文中定理的正確性.

3 數(shù)值仿真

用一個(gè)簡單的數(shù)值例子來驗(yàn)證前面的理論分析結(jié)果.通過狀態(tài)反饋來鎮(zhèn)定系統(tǒng)

x（k+1）=Ax（k）+B（x（k））+Fu（k）+N（x（k），u（k）），

隨機(jī)選定如下條件參數(shù)：B0=conv{（0.25，0.25）T，（-0.25，0.25）T，（-0.25，-0.25）T，（0.25，-0.25）T}，B1=conv{（4，4）T，（-4，4）T，（-4，-4）T，（4，-4）T}={x∈R2|aTkx≤4，k=1，2，3，4}，

由定理2 經(jīng)計(jì)算知道，矩陣K 有多個(gè)可行解.若選取K=［1.40 －0.62］，則閉環(huán)系統(tǒng)的軌跡（圖中隨機(jī)選取了8 個(gè)不同的初始值）如圖1所示.圖1表明，閉環(huán)系統(tǒng)關(guān)于條件（B0，B1，N）是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

圖1 狀態(tài)的軌跡Fig.1 Trajectories of the states

4 結(jié)論

文中研究了一類二次型離散系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定與鎮(zhèn)定，討論了狀態(tài)反饋控制下閉環(huán)系統(tǒng)的有限時(shí)間有界問題，并給出了反饋控制增益矩陣的設(shè)計(jì)方法.其中，反饋控制增益矩陣的求解是通過求解一組線性矩陣不等式來實(shí)現(xiàn)的.有限時(shí)間穩(wěn)定和有限時(shí)間有界由于充分考慮了成本等因素，因而具有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值.如有些標(biāo)準(zhǔn)化依存主體系統(tǒng)在運(yùn)行中會(huì)因自身特性和外部干擾等原因而與標(biāo)準(zhǔn)要求產(chǎn)生偏差，但在標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施過程中，依存主體系統(tǒng)往往只需要在預(yù)定的執(zhí)行區(qū)間內(nèi)把偏差控制在標(biāo)準(zhǔn)容許范圍內(nèi)即可.

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