一類雙參數(shù)三次Bézier曲線的形狀分析

劉 植， 李 晨， 謝 進， 費 騰

（1. 合肥工業(yè)大學數(shù)學學院，安徽 合肥 230009；2. 合肥學院科學計算研究所，安徽 合肥 230601）

一類雙參數(shù)三次Bézier曲線的形狀分析

劉 植1， 李 晨1， 謝 進2， 費 騰1

（1. 合肥工業(yè)大學數(shù)學學院，安徽 合肥 230009；2. 合肥學院科學計算研究所，安徽 合肥 230601）

為了分析清楚形狀參數(shù)對一類雙參數(shù)三次Bézier曲線形態(tài)的影響及實現(xiàn)其對該曲線形狀的調控，利用包絡理論與拓撲映射的方法對一類雙參數(shù)三次Bézier曲線進行了形狀分析，明確了形狀參數(shù)對曲線的影響，畫出了曲線的形狀特征分布圖，得出了曲線上有奇點、拐點和曲線為局部凸或全局凸的充分必要條件，這些條件完全由控制多邊形的相對位置表示，并進一步討論了形狀參數(shù)對曲線形狀的影響。

Bézier曲線；奇點；拐點；曲線形狀；形狀參數(shù)

Bézier曲線[1-3]以Bernstein多項式作為基函數(shù)，具有許多優(yōu)良的性質，受到了工業(yè)界和計算機輔助幾何設計(computer aided geometric design, CAGD)學術界的廣泛重視。1972年，F(xiàn)orrest發(fā)現(xiàn)處理作為Bézier曲線多邊形的相對矢量不如處理作為頂點的絕對矢量方便，而且上述Bézier基表示形式能被等價地改寫成使用控制頂點定義的Bernstein基表示形式。但是，由一組給定的控制頂點生成的Bézier曲線曲面的形式是固定的，形狀的局部修改非常困難。有理Bézier方法中的權因子可以用于調控曲線曲面的形狀[4]，但權因子的選取及求導、求積分運算比較復雜。為了更加靈活、簡便地調控曲線曲面的形狀，通過引入形狀參數(shù)對Bézier方法進行擴展，得到形狀可調的參數(shù)多項式曲線曲面[5-6]。

三次Bézier曲線擴展有許多形式，文獻[7]提出了一種簡單重要的擴展形式。參數(shù)三次Bézier曲線具有許多便于曲線設計的幾何性質，如端點性質、對稱性、凸包性、變差減小性、幾何不變性，且可以通過改變形狀參數(shù)的取值，達到整體或者局部調控曲線形狀的目的。雙參數(shù)三次Bézier曲線有著更強的形狀調控能力，隨著參數(shù)λ，μ的增大更加地逼近控制多邊形，反之則遠離控制多邊形。對于給定的控制多邊形，通過引入形狀參數(shù)，改變形狀參數(shù)取值來整體或局部調控曲線的形狀，為CAGD曲線曲面的設計帶來了很大的便利。

在平面三次參數(shù)曲線的分類和形狀控制問題上，蘇步青和劉鼎元[8]通過引進幾何不變量的方法，徹底解決了該問題，對CAGD作出了重要貢獻。曲線的奇點、拐點、尖點及凸性分布對于確定曲線的形狀至關重要[9-11]。形狀參數(shù)的引入使曲線形狀特征分布圖更加簡單且易于判斷。而本文利用包絡理論與拓撲映射的方法對雙參數(shù)三次Bézier曲線進行形狀分析，明確了形狀參數(shù)對曲線的影響，得出了曲線上有奇點，拐點和曲線為局部凸或全局凸的充分必要條件。

1 雙參數(shù)三次Bézier曲線

定義. 給定4個控制頂點Pi∈Rd(d=2,3; i=0,1,2,3)，對?t∈[0,1]，定義曲線：

為雙參數(shù)三次Bézier曲線。其中，基函數(shù)Bi(t)為：

其中，λ,μ為形狀參數(shù)，且λ,μ∈(-2,1]。當λ=1,μ= 1時，雙參數(shù)三次Bézier曲線就是三次Bézier曲線。

由式(1)定義的雙參數(shù)三次Bézier曲線含有2個獨立的形狀參數(shù)，具有與三次Bézier曲線類似的幾何性質，且擴展后的曲線與Bézier曲線次數(shù)一致，對于給定的控制頂點，可以通過改變形狀參數(shù)的取值對曲線的形狀做整體或局部調整。

2 空間雙參數(shù)三次Bézier曲線的形狀分析

定理1. 若控制頂點Pi∈R3(i=0,1,2,3)不共面，則當λ,μ∈(-2,1]時，雙參數(shù)三次Bézier曲線P(t)無奇點(尖點，二重點)和泛拐點，且曲線與控制多邊形的旋轉方向一致。

證明. 設qi=Pi-Pi-1(i=1,2,3)為控制多邊形的邊向量，將P(t)改寫為：

求導得：

由式(2)可知，當(0,1)t∈時，

又控制頂點Pi∈R3(i=0,1,2,3)不在同一個平面上，也就是說邊向量qi(i=1,2,3)線性無關，所以P′(t)≠0，即P(t)不可能有尖點。

再者，若曲線P(t)有二重點，設有0≤t1＜t2≤1，得：

代入式(3)得：

因為邊向量qi(i=1,2,3)線性無關，故：

令B0′(t)=0解得t=1(舍去)，由：

解得λ＞1或λ＜-2，與λ∈(-2,1]矛盾，即B0′(t)≠0，從而B0(t)為單調函數(shù)，不可能有B0(t1)=B0(t2)，故曲線P(t)無二重結點。

空間曲線上撓率變號的點稱為泛拐點。令g(t)=det(P′(t),P′(t),P′′(t ))，注意到：

則：

其中，(q1,q2,q3)為邊向量q1,q2,q3的混合積，由于q1,q2,q3不共面，則(q1,q2,q3)≠0；D(t)=12(2+λ)(2+μ)，由于參數(shù)λ,μ滿足：λ,μ∈(-2,1]，故D(t)＞0。

對任意0≤t≤1，有g(t)≠0且與(q1,q2,q3)同號，因此曲線P(t)沒有泛拐點。又D(t)＞0，故曲線P(t)與其控制多邊形的旋轉方向相同。

3 平面雙參數(shù)三次Bézier曲線的形狀分析

若雙參數(shù)三次Bézier曲線的4個控制頂點共面(不妨設Pi∈R2,i=0,1,2,3)，則P(t)為平面曲線，此時(q1,q2,q3)=0，邊向量qi(i=1,2,3)線性相關。以下根據(jù) q1與 q3是否平行分別進行討論。

3.1 q1不平行q3的情形

當 q1不平行 q3時，以 q1,q3為平面的基向量，令q2=uq1+vq3，代入式(3)得：

若P′(t)=0(0＜t ＜1)，即：

由于1q與3q線性無關，則有：

代入基函數(shù)并化簡得：

下面討論曲線C的形態(tài)，由式(6)易知：

故曲線C有兩條漸近線：

考察單調性和凹凸性，由式(6)可知：

即曲線C為單調下降曲線(-2＜λ,μ≤1,0＜t ＜1)，又：

即曲線C無拐點，曲線C如圖1所示。

下面將基于上述單調遞減，且嚴格凸的曲線C，進一步討論曲線P(t)的尖點、拐點、重結點和凸性情況。

3.1.1 關于尖點

曲線P(t)有尖點的必要條件是P′(t)=0(0＜t ＜1)，任取一點(u0,v0)∈C，與該點對應的參數(shù)值設為t0(0＜t0＜1)，此時P′(t0)=0。

又P(t)在 t0處的Taylor展開式為：

求導得：

其中，P′′(t0)≠0。事實上，對式(5)再求一次導，有：

由于1q與3q線性無關，則有：

即：

聯(lián)立式(6)和式(7)可得λ=μ=-2，與λ,μ∈(-2,1]矛盾，因此P′(t0)≠0。

由P′(t0)=0，P′(t0)≠0可知，P′(t)經(jīng)過t0時方向反變，所以P(t0)是尖點(見參考文獻[12])。

結論. 曲線P(t)上有尖點等價于(u,v)∈C。3.1.2 關于拐點

點P(t0)（0＜t0＜1）是曲線P(t)的拐點當且僅當P′(t)×P′′(t)經(jīng)過 t0時符號發(fā)生改變，經(jīng)式(4)計算得：

其中：

因此，P(t0)（0＜t0＜1）是曲線P(t)的拐點當且僅當f（t;u,v）經(jīng)過 t0時符號發(fā)生改變。而在uv平面，使得曲線P(t)有拐點的可能區(qū)域必為直線族f（t;u,v）=0所覆蓋，由包絡理論與拓撲映射的方法可知（文獻[12]），此直線族的包絡為：

即：

解方程即得式(6)，可以說明直線族的包絡正好是曲線C。

討論曲線C的形態(tài)可知，曲線C是嚴格凸的連續(xù)曲線，因此曲線 C的切線所掃過的區(qū)域為S∪D∪C，此即為拐點區(qū)域。如圖1所示，其中D區(qū)域是由兩條漸近線：

和曲線C所圍部分（不含C）；S區(qū)域由兩部分構成，一部分是兩條漸近線相交的左上部分，另一部分是兩條漸近線相交的右下部分。圖1(a)中形狀參數(shù)λ=-1,μ=0；圖1(b)中λ=1,μ=1；圖1(c)中λ=0,μ=-1。

由圖 1可知，雙參數(shù)三次 Bézier曲線比三次Bézier曲線的單拐點區(qū)域更大，但是雙拐點區(qū)域則更小。

過任一點（u0,v0）∈S∪D∪C 至少有一條uv平面上的直線f（t0;u,v）=0與曲線C相切。當（u0,v0）∈C時，設對應的參數(shù)為 t0，由Taylor展開式得：

其中：

又λ,μ∈(-2,1],t0∈(0,1)，容易得到ftt′(t0;u0,v0)≠0，所以f(t;u0,v0)經(jīng)過t0時不變號，即曲線P(t)無拐點。

當（u0,v0）∈S∪D時，設過它且與曲線C相切的直線為f（t0;u,v）=0，其中，t0為切點對應的參數(shù)，則由Taylor展開式得：

其中，ft′（t0;u0,v0）≠0（因為若ft′（t0;u0,v0）=0，則由包絡定義可知（u0,v0）∈C），從而f（t;u0,v0）經(jīng)過t0時變號，即P(t0)是曲線P(t)的拐點。

結論. 若（u0,v0）∈S，過此點只能作曲線C的一條切線，對應曲線P(t)只有一個拐點；若（u0,v0）∈D，過此點只能作曲線 C的兩條切線，對應曲線P(t)只有2個拐點。

圖1 尖點拐點區(qū)域分布

3.1.3 關于重結點

曲線P(t)有重結點當且僅當存在0≤t1＜t2≤1，使得P(t1)-P(t2)=0，由式(4)可知，等價于u,v,t1,t2滿足方程組：

容易驗證，式(8)定義了一個拓撲映射：

因此，象域L=F(Δ)是uv平面上單連通區(qū)域，Δ的3條邊界線：t1=t2,t1=0,t2=1分別對應于L的3條邊界線：曲線C（不屬于L）、L1和L2（都屬于L），其中：

當-2＜λ,μ≤1,0＜t＜1時，對于曲線L1，易知：

對于曲線L2，類似的有：

因此，曲線L1和L2均為單調下降，嚴格凸的連續(xù)曲線，且曲線L1以為漸近線，曲線L2以為漸近線。曲線L1和L2相交于點(-1,-1)。

結論. 由曲線C（不屬于L），L1和L2（都屬于L）圍成的單連通區(qū)域L中的點（u0,v0）對應的曲線P(t)有且僅有一個二重結點。

3.1.4 關于凸性

記N=R2(C∪S∪D∪L)，曲線 L1,L2（不包括邊界 L1,L2）所圍成的左上部分區(qū)域為N1，右下部分區(qū)域為N2，N0=N(N1∪N2)，如圖2所示。

由前面討論易知，當(u,v)∈N時，曲線P(t)無尖點、重結點和拐點。記向量：

由式(4)和式(5)直接計算可得：

對于任意的 t0∈(0,1)，如果由式(9)和式(10)所確定的向量和向量P′(t)×P′′(t)=f(t;u,v)(q1×q3)經(jīng)過 t0時符號不發(fā)生改變，則曲線P(t)為全局凸；如果向量P′(t)×P′′(t)=f(t;u,v)(q1×q3)經(jīng)過t0時符號不發(fā)生改變，而向量m(t)=φ(t;u,v)（q1×q3）或者向量n(t)=ψ(t;u,v)（q1×q3）經(jīng)過t0時符號發(fā)生改變，則曲線P(t)為局部凸[10]。

由3.1.2節(jié)的討論可知，當(u,v)∈N=N0∪N1∪N2時f(t;u,v)不變號，所以向量P′(t)×P′′(t)=f(t;u,v) (q1×q3)經(jīng)過t0時方向不發(fā)生反變。式由(11)可知當時，向量m(t)=φ(t;u,v)（q1×q3）經(jīng)過與v相對應的參數(shù)t時方向反變，容易算出 v的取值范圍是所以當(u,v)∈N1時，曲線P (t)為局部凸。事實上還可以證明：1N恰好是2L的切線所覆蓋區(qū)域在N中部分。

解關于 ,uv的方程：

求得的直線族ψ(t;u,v)=0的包絡恰好是直線L1， L1的切線在 N中所掃過的區(qū)域為N2，當(u,v)∈N2時，曲線P(t)為局部凸。

由3.1節(jié)的討論可得，平面參數(shù)三次Bézier曲線的形狀分布圖，如圖 2所示。其中，圖 2(b)是三次 Bézier曲線的形狀分布圖，且當形狀參數(shù)λ=μ時，曲線P(t)的形狀分布圖關于直線u=v對稱。

結論. 當(u,v)∈N0時，P′(t)×P′′(t),m(t), n(t)都不變號，曲線P(t)為全局凸[11]；當(u,v)∈N1時，P′(t)×P′′(t),n(t)不變號，m(t)有一處變號，曲線P(t)為局部凸；當(u,v)∈N2時，P′(t)×P′′(t),m(t)不變號，n(t)有一處變號，因此曲線P(t)為局部凸[11]。

定理2. 當q1不平行q3時，設q2=uq1+vq3，平面雙參數(shù)三次 Bézier曲線P(t)的形狀特征取決于點(u,v)在uv平面的分布，如表1所示。

圖2 平面參數(shù)三次Bézier曲線的形狀分布圖

表1 平面雙參數(shù)三次Bézier曲線的形狀特征分布

3.2 q1平行q3的情形

當q1//q3時，以q1,q2為平面的基向量，設q3=αq1，代入式(3)有：

3.2.1 關于尖點

類似3.1.1節(jié)的討論，曲線P(t)有尖點等價于P′(t)=0,t ∈(0,1)，由式(13)得：

由于q1,q2線性無關，由P′(t)=0可得：

易知式(14)無解，故平面雙參數(shù)三次Bézier曲線P(t)無尖點。

3.2.2 關于拐點

類似3.1.2的討論可知，點P(t0)（0＜t0＜1）是曲線P(t)的拐點當且僅當P′(t)×P′′(t )經(jīng)過t0時符號發(fā)生改變，經(jīng)式(13)計算得：

其中：

因此，P(t0)（0＜t0＜1）是曲線P(t)的拐點當且僅當f（t;α）經(jīng)過 t0時符號發(fā)生改變。又當α＞0時，

即(;)ftα在(0,1)t∈內關于t是單調遞減函數(shù)。而且，

所以有唯一的t0使得f（t;α ） 經(jīng)過 t0時符號發(fā)生改變。因此當且僅當α＞0，即 q1,q3方向相同（不包括4點共線）時，平面雙參數(shù)三次Bézier曲線P(t)有且只有一個拐點。

3.2.3 關于重結點

曲線P(t)有重結點當且僅當存在0≤t1＜t2≤1，使得P(t1)-P(t2)=0，由式(13)可知，P(t1)-P(t2)=0等價于α,t1,t2滿足方程組：

即：

由于(3t2-2t3)′=6t(1-t )＞0，所以式(15)無解，即平面雙參數(shù)三次Bézier曲線P(t)無二重點。

定理3. 當 q1//q3時：

(1) 平面雙參數(shù)三次Bézier曲線P(t)無尖點、二重點；

(2) 當且僅當α＞0，即 q1,q3方向相同（不包括4點共線）時，曲線P(t)有且只有一個拐點。

4 形狀參數(shù)對曲線形態(tài)的影響及其對曲線形狀的調控

由定理2，進一步討論形狀參數(shù),λμ對平面雙參數(shù)三次Bézier曲線形狀有以下影響，如圖3所示。

(1) 固定參數(shù)λ后，曲線 L1隨著參數(shù)μ的增大而逐漸靠近u軸，區(qū)域S,N0逐漸減小，區(qū)域D,N1∪N2逐漸增大。固定參數(shù)μ時，曲線 L2隨著參數(shù)λ的增大而逐漸靠近v軸，區(qū)域S,N0逐漸減小，區(qū)域D,N1∪N2逐漸增大。因此，通過調節(jié)形狀參數(shù)λ, μ可以靈活的調節(jié)曲線的形狀，這為幾何設計中的光滑拼接帶來了更加靈活的自由度。

(2) 當(u,v)∈{(u,v)|-1≤u,v ＜0}{(-1,-1)}，即控制多邊形首末兩條邊相交（首末端點重合除外）時，曲線P(t)上可能出現(xiàn)奇點、單拐點或者雙拐點，也可能是全局凸，但不可能是局部凸，調節(jié)形狀參數(shù)能使P(t)成為全局凸曲線。

(3) 隨著形狀參數(shù)λ,μ的增大，曲線C被朝原點(0,0)方向拉伸，曲線 L1被朝點(-1,0)方向拉伸，曲線 L2被朝點(0,-1)方向拉伸。因此，區(qū)域S,N0逐漸減小，區(qū)域D,N1∪N2,L逐漸增大。

圖3 參數(shù)對曲線形態(tài)分布的影響

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Shape Analysis of a Class of Cubic Bézier Curve with Two Shape Parameters

Liu Zhi1, Li Chen1, Xie Jin2, Fei Teng1

(1. School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China; 2. Institute of Scientific Computing, Hefei University, Hefei Anhui 230601, China)

The shape features of a class of Bézier curve with two shape parameters are analyzed by using the method based on the theory of envelope and topological mapping. Investigate effects of the shape parameter on the curve shape. Necessary and sufficient conditions are derived for this curve having one or two inflection points, a loop or a cusp, or be locally or globally convex. Those conditions are completely characterized by the relative position of the edge vectors of the control polygon. Furthermore we discussed the influences of shape parameter on the shape diagram and the ability for adjusting the shape of the curve.

Bézier curve; singular points; inflection points; curve shape; shape parameter

TP 301

A

2095-302X(2015)03-0356-07

2014-10-08；定稿日期：2014-10-24

國家自然科學基金資助項目(61070227，11471093)；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20110111120026)；安徽省高等學校自然科學研究資助項目(KJ2014ZD30)；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項經(jīng)費資助項目(2012HGXJ0039)

劉 植(1976-)，男，安徽金寨人，副教授，博士。主要研究方向為計算機輔助幾何設計、計算機圖形學。E-mail：liuzhi314@126.com