iGPS測量不確定度空間分布分析方法

孫涪龍，趙罡*，王偉，陳磊

(1.北京航空航天大學(xué) 機械工程及自動化學(xué)院，北京100191;2.上海飛機制造有限公司，上海200436)

iGPS是一種新型數(shù)字化大尺寸空間測量設(shè)備，相較于其他數(shù)字化測量設(shè)備，它憑借其大尺寸測量精度高、測量實時性好、可同時多點測量、無光路遮擋失效問題、擴展方便等優(yōu)勢［1-2］，已逐漸在航空航天制造領(lǐng)域得以應(yīng)用，如美國波音公司將iGPS應(yīng)用于747，777與787等型號飛機的總裝對接中［2-3］，加拿大龐巴迪公司將其用于C系列飛機的裝配對接過程等，目前我國的航空航天企業(yè)也開始引進iGPS，并對其應(yīng)用進行了初步探索.

使用iGPS進行實際測量時，為滿足測量精度要求，需根據(jù)其測量不確定度對測量現(xiàn)場進行快速評估與布局優(yōu)化，因此對iGPS測量不確定度，尤其是其空間分布規(guī)律進行研究具有重要意義.該分布規(guī)律與發(fā)射器數(shù)目與空間布局形式密切相關(guān)，不同的發(fā)射器的數(shù)目與布局方案下測量不確定度空間分布規(guī)律差異顯著.目前的研究中，文獻［4-5］對iGPS角度測量不確定度進行了研究并給出了其變化規(guī)律;文獻［6］研究了iGPS測量的動態(tài)跟蹤性能，說明了其在動態(tài)測量方面的不足;文獻［7］提出了iGPS測量單元與測量網(wǎng)絡(luò)的概念，對基于單元測量場的iGPS測量網(wǎng)絡(luò)測量精度進行了分析與仿真，但未涉及發(fā)射器不同布局的精度分析;文獻［8］研究分析了幾種典型發(fā)射器布局的iGPS測量精度，但難以推廣到任意布局的情況;文獻［9］提出了一種基于多不確定度融合的iGPS測量網(wǎng)評價方法，但其建立的兩站測量網(wǎng)使用傳統(tǒng)的計算方法，且未考慮發(fā)射器分布的任意性及其覆蓋范圍的影響.

本文依據(jù)iGPS測量原理，給出了iGPS測量模型，建立了測量不確定度通用兩站分析模型，并結(jié)合發(fā)射器覆蓋范圍，提出了基于兩站模型變換的iGPS測量不確定度空間分布分析方法;通過實驗，對比數(shù)值仿真結(jié)果與實際測量數(shù)據(jù)，對該方法進行了分析驗證.

1 iGPS測量原理

iGPS測量的基本原理為前方交會原理.接收器接收到空間中任意兩臺發(fā)射器的信號，即可解算出測點的空間位置.考慮到發(fā)射器空間布局的任意性，建立通用兩站測量模型如下.

設(shè)兩發(fā)射器A和B的水平間距為2d，豎直間距為2h.建立如圖1所示的坐標(biāo)系Oxyz，其中，A和B位于平面xOz上，A站的x坐標(biāo)值與z坐標(biāo)值小于B站，α為測點M相對于某發(fā)射器的方位角，β為測點M相對于某發(fā)射器的俯仰角.

圖1 通用兩站測量模型Fig.1 Universal two-station measurement model

計算測點 M 的坐標(biāo)(x，y，z).由于 x，y 與 z均可從A與B兩方面出發(fā)進行計算，而傳統(tǒng)的前方交會計算方法［10］未完全考慮兩方面情況.本文對每個坐標(biāo)分量分別引入兩個變量，x包括x1與x2兩個變量，y與z同理.于是有

當(dāng)接收器位于多臺發(fā)射器的覆蓋范圍內(nèi)時，系統(tǒng)會對每兩臺發(fā)射器與接收器組成的兩站系統(tǒng)進行解算，再經(jīng)過數(shù)據(jù)融合得到測點的空間位置坐標(biāo).

2 iGPS測量不確定度分析方法

2.1 iGPS測量不確定度

在由n臺發(fā)射器組成的iGPS測量環(huán)境中，空間內(nèi)一點M(x，y，z)的測量不確定度定義為

設(shè)測點相對于發(fā)射器i的方位角為αi、俯仰角為 βi，其不確定度分別為 u(αi)與 u(βi)，則

據(jù)此，本文首先在通用兩站測量模型的基礎(chǔ)上，建立iGPS測量不確定度通用兩站分析模型.

2.2 不確定度通用兩站分析模型

根據(jù)式(3)計算測量不確定度.對式(1)求導(dǎo)，可得

由式(3)可計算得到u(x1)與u(x2)，u(y1)與u(y2)以及u(z1)與u(z2).

式(1)中，由于每個坐標(biāo)分量均包括兩個信息，為了將各坐標(biāo)分量包含的兩個信息進行統(tǒng)一，需要進行數(shù)據(jù)融合.

數(shù)據(jù)融合的方法包括加權(quán)平均法、卡爾曼濾波法、貝葉斯估計法等［11］.其中，加權(quán)平均法簡單、直觀，尤其適用于對原始數(shù)據(jù)進行直接處理的情形［12］，因此本文采用加權(quán)平均法對各坐標(biāo)信息進行融合.

使用加權(quán)平均法進行數(shù)據(jù)融合應(yīng)保證融合后數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差最小，并據(jù)此確定各原始數(shù)據(jù)的權(quán)因子［13-14］.據(jù)此，n個數(shù)據(jù)的融合結(jié)果q的標(biāo)準(zhǔn)差其中，σi為各原始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，ωi為對應(yīng)的權(quán)因子.由多元函數(shù)求極限理論，可解得 σq有最小值此時 ωi=采用該方法進行數(shù)據(jù)融合后，結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差小于任一源數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差［14］.

據(jù)此對 x，y與 z坐標(biāo)進行數(shù)據(jù)融合.由于u(x1)=u(x2)，u(y1)=u(y2)，故有

由于 u(z1)≠u(z2)，令 σ1=u(z1)，σ2=u(z2)，則可求出 ω1與 ω2，并有

進一步，根據(jù)式(2)可計算合成不確定度u.可以看出，由于兩發(fā)射器位于xOz平面上，因此u關(guān)于xOz平面對稱分布.

關(guān)于 u(αA)，u(αB)，u(βA)與 u(βB)的取值，英國巴斯大學(xué)與英國國家物理實驗室的研究表明［4］，iGPS發(fā)射器與接收器引起的測角標(biāo)準(zhǔn)不確定度平均值約為:方位角 0.80″，俯仰角0.25″，即

至此，建立了測量不確定度通用兩站分析模型.該模型考慮了分別由兩站出發(fā)的計算結(jié)果，并通過數(shù)據(jù)融合進行統(tǒng)一，提高了完備性;考慮了兩發(fā)射器在水平方向與豎直方向的分布，可對任意布局的兩站系統(tǒng)進行分析.

2.3 基于兩站模型變換的測量不確定度空間分布分析方法

在一個由多臺發(fā)射器組成的iGPS測量系統(tǒng)中，任取兩臺發(fā)射器A和B可組成一個兩站系統(tǒng)并確定測點T的坐標(biāo).為計算T在該兩站系統(tǒng)中的測量不確定度，需要對上述兩站模型進行變換.

如圖2所示，設(shè)兩發(fā)射器A和B在全局坐標(biāo)系Oxyz下的坐標(biāo)值為(xA，yA，zA)和(xB，yB，zB)，其中將z坐標(biāo)值較小的發(fā)射器設(shè)定為A站，即滿足zA＜zB，測點T 的坐標(biāo)值為(xT，yT，zT).由A 和B 兩發(fā)射器的全局坐標(biāo)，計算其水平間距和豎直間距，建立通用兩站模型坐標(biāo)系 O′x′y′z′;利用幾何關(guān)系計算測點 T 在兩站模型中的坐標(biāo) T′(x′T，y′T，z′T)，有

圖2 兩站模型變換示意圖Fig.2 Two-station model transformation

對y′T的符號進行判斷，根據(jù)上述兩站模型的對稱性可知，由于不確定度u關(guān)于xOz平面對稱分布，于是可取對 x′T的符號進行判斷，由于在兩站模型中，兩發(fā)射器的x坐標(biāo)值互為相反數(shù)，因此根據(jù)TA與TB在xOy平面上的投影即可判斷 x′T的符號，即:若，則

將兩發(fā)射器水平與豎直間距以及T′坐標(biāo)值(x′T，y′T，z′T)代入兩站模型，計算得到測點 T 在該兩站系統(tǒng)中的測量不確定度.

對于一個由n臺發(fā)射器組成的iGPS測量系統(tǒng)，可計算得到C2n個基本測量信息與不確定度信息［15］.使用加權(quán)平均法對這些基本坐標(biāo)信息進行數(shù)據(jù)融合，根據(jù)各基本坐標(biāo)信息的不確定度計算權(quán)因子與總不確定度，并進一步計算得到測點的融合坐標(biāo).

上述即為iGPS測量不確定度空間分布分析方法.由于考慮了發(fā)射器數(shù)目與空間布局因素，該方法可對任意iGPS測量環(huán)境的測量不確定度空間分布規(guī)律進行計算分析.

2.4 考慮發(fā)射器覆蓋范圍的影響

由于每個iGPS發(fā)射器發(fā)出的激光扇面在方位方向的覆蓋角度范圍為360°，而在俯仰方向的覆蓋角度范圍為±30°，因此需考慮發(fā)射器覆蓋范圍的影響.在一個兩站系統(tǒng)中，只要接收器在某一個發(fā)射器的激光覆蓋范圍之外，則不能解算出測點的坐標(biāo)信息.

據(jù)此對建立的測量不確定度空間分布分析方法進行修正，在進行測量不確定度計算之前，首先判斷接收器是否在各個發(fā)射器的覆蓋范圍之內(nèi)，剔除不能照射到接收器的發(fā)射器，僅保留有效的發(fā)射器參與解算.

3 數(shù)值仿真與實驗分析

3.1 方案設(shè)計

3.1.1 實驗環(huán)境

實驗場地長15 m，寬6 m，高3 m，地基穩(wěn)定，震動較小，密閉與遮光條件良好，可保證環(huán)境溫度與濕度基本恒定，墻壁與地面反射系數(shù)小，實驗區(qū)域無陽光或人工光源直射.

3.1.2 實驗設(shè)備

Nikon iGPS 4Tx全空間跟蹤定位測量系統(tǒng)，Leica AT901-B激光跟蹤儀.其不確度變?nèi)绫?所示.

表1 實驗設(shè)備測量不確定度比較Table1 Measurement uncertainty comparison of experimental equipment

在設(shè)定的實驗空間范圍內(nèi)，該激光跟蹤儀的測量不確定度小于0.05mm，而iGPS測量不確定度為0.25mm，激光跟蹤儀的測量精度為iGPS的5倍以上.因此，可以使用激光跟蹤儀作為測量基準(zhǔn)設(shè)備.

3.1.3 實驗方案

針對設(shè)定的實驗環(huán)境，進行測量不確定度的數(shù)值仿真計算與實際測量偏差的對比分析.將上述不確定度空間分布分析方法編程實現(xiàn)，計算測量不確定度空間分布數(shù)值仿真結(jié)果;使用激光跟蹤儀與iGPS對空間內(nèi)選定的測量點進行測量，并對兩者的測量結(jié)果進行偏差計算.對比數(shù)值仿真結(jié)果與實測偏差結(jié)果，對該方法進行驗證.

為驗證建立的測量不確定度通用兩站分析模型，本文構(gòu)建兩站系統(tǒng)作為研究對象;在使用iGPS進行實際測量時，考慮到測量精度、覆蓋范圍、光線遮擋等方面的因素，一般均以配置4臺發(fā)射器的四站系統(tǒng)作為實際測量的最小系統(tǒng)，因此為驗證提出的iGPS測量不確定度空間分布分析方法，本文構(gòu)建四站系統(tǒng)作為研究對象，進行數(shù)值仿真計算與實際測量偏差的對比分析.

3.2 兩站系統(tǒng)

3.2.1 實驗方法與過程

在實驗場地內(nèi)建立iGPS兩站系統(tǒng)并標(biāo)定，得到發(fā)射器的位置坐標(biāo)，如表2所示.

表2 兩站系統(tǒng)發(fā)射器布局位置坐標(biāo)Table2 Transmitter coordinates of two stations measurement

選定z坐標(biāo)為0 mm的平面為分析平面，在5 m×6m的范圍進行數(shù)值仿真計算與實際偏差測量.將兩發(fā)射器的水平與豎直距離輸入仿真計算程序，算得該兩站系統(tǒng)在選定采點平面上的測量不確定度分布規(guī)律;實際選取50個點，每個點分別使用iGPS與激光跟蹤儀測量5次，計算每個測量點的兩測量儀器測量值偏差，得到實測偏差分布.

3.2.2 結(jié)果與分析

該兩站系統(tǒng)在選定的采點平面上的測量不確定度分布數(shù)值仿真結(jié)果如圖3所示.

根據(jù)實測結(jié)果，計算得到各個測量點的偏差分布如圖4所示，其中箭頭指向為偏差方向.

由數(shù)值仿真結(jié)果可以看出，在兩站系統(tǒng)中，兩發(fā)射器連線及附近區(qū)域的測量不確定度明顯大于周圍區(qū)域，可達到0.2 mm以上.這是因為在此區(qū)域內(nèi)，測量點與兩發(fā)射器形成的夾角很大，根據(jù)前方交會原理，隨著該夾角向180°靠近，測點空間不確定度顯著增大.根據(jù)實際測量結(jié)果，在此區(qū)域內(nèi)的3個測量點的測量偏差值均大于0.5 mm，顯著大于其他測量點的測量偏差.

排除兩發(fā)射器的連線區(qū)域，在靠近兩發(fā)射器的近似橢圓區(qū)域內(nèi)測量不確定度較小，可達到0.05 mm，并隨測量點與兩發(fā)射器距離的增大而增大.若兩站水平距離為d，則在水平方向上d×d的范圍內(nèi)，測量不確定度可達0.2mm以內(nèi).從實測結(jié)果來看，在此范圍內(nèi)的30個測量點中，有25個點的測量偏差小于0.2mm，偏差均值為0.13mm.

分別計算方位方向(x和y方向)上與俯仰方向(z方向)上的測量不確定度，其分布規(guī)律如圖5所示.

根據(jù)數(shù)值仿真結(jié)果，方位方向的測量不確定度空間分布和數(shù)值均與總不確定度相近，而俯仰方向均在0.03mm以內(nèi);實測偏差結(jié)果表明，各點的測量偏差多集中在方位方向，均值為0.15 mm，俯仰方向的分量均值為0.04 mm.

圖3 兩站系統(tǒng)測量不確定度分布數(shù)值仿真Fig.3 Numerical simulation of two stations measurement uncertainty distribution

圖4 兩站系統(tǒng)實際測量偏差分布Fig.4 Actual deviations distribution of two stations measurement

圖5 兩站系統(tǒng)方位方向與俯仰方向測量不確定度分布數(shù)值仿真Fig.5 Numerical simulation of two stations measurement uncertainty distribution in azimuth and elevation direction

3.3 四站系統(tǒng)

3.3.1 實驗方法與過程

在實驗場地中建立iGPS四站系統(tǒng).為反映iGPS發(fā)射器空間布局的任意性，4臺發(fā)射器的布局形式為:在水平方向上為略狹長近似梯形的四邊形，在豎直方向上錯開.對系統(tǒng)標(biāo)定得到發(fā)射器的位置坐標(biāo)，如表3所示.

表3 四站系統(tǒng)發(fā)射器布局位置坐標(biāo)Table3 Transmitter coordinates of four stations measurement

根據(jù)現(xiàn)場環(huán)境，選定z坐標(biāo)為－713 mm的平面為分析平面，在12 m×6 m的范圍進行數(shù)值仿真計算與實際偏差測量.將標(biāo)定所得4臺發(fā)射器位置坐標(biāo)輸入仿真計算程序，算得該四站系統(tǒng)在選定采點平面上的測量不確定度分布規(guī)律;實際選取90個點，每個點分別使用iGPS與激光跟蹤儀測量5次，計算每個測量點的兩測量儀器測量值偏差，得到實測偏差分布.

3.3.2 結(jié)果與分析

該四站系統(tǒng)在選定的采點平面上的測量不確定度分布數(shù)值仿真結(jié)果如圖6、圖7所示.

根據(jù)實測結(jié)果，計算得到各個測量點的偏差分布如圖8所示.

圖6 四站系統(tǒng)測量不確定度分布數(shù)值仿真Fig.6 Numerical simulation of four stations measurement uncertainty distribution

圖7 四站系統(tǒng)測量不確定度分布數(shù)值仿真(俯視圖)Fig.7 Numerical simulation of four stations measurement uncertainty distribution(top view)

圖8 四站系統(tǒng)實際測量偏差分布(俯視圖)Fig.8 Actual deviations distribution of four stations measurement(top view)

由數(shù)值仿真結(jié)果可以看出，測量不確定度在靠近各個發(fā)射器的區(qū)域有明顯的跳變增大，其數(shù)值介于0.12～0.20 mm之間，且該區(qū)域呈圓形/扇形分布.這是由于iGPS發(fā)射器發(fā)出的激光扇面在俯仰方向的覆蓋角度范圍為±30°，而在該區(qū)域內(nèi)，接收器超出了該發(fā)射器的覆蓋范圍，故不能獲得測點相對于該發(fā)射器的角度信息.因此在臨近發(fā)射器位置的測量不確定度增大，實際上是由于有效發(fā)射器數(shù)目減少引起的.由實測偏差數(shù)據(jù)，這一區(qū)域內(nèi)測量點的測量偏差均大于0.15 mm，均值為0.18 mm.

本實驗中，4臺發(fā)射器的布局相對狹長，根據(jù)數(shù)值仿真結(jié)果，測量空間中間區(qū)域的測量不確定度相對較大，約為0.10 mm，兩側(cè)區(qū)域的測量不確定度較小，均小于0.08 mm.實測結(jié)果中，排除臨近各發(fā)射器的區(qū)域，中間區(qū)域的30個測量點的偏差均值為0.13 mm，兩側(cè)區(qū)域的49個測量點的偏差均值為0.10 mm.

由于環(huán)境因素的影響，實測偏差略大于數(shù)值仿真結(jié)果.從仿真結(jié)果來看，除發(fā)射器附近區(qū)域，測量空間的不確定度均在0.12 mm以內(nèi);根據(jù)實測偏差結(jié)果，排除發(fā)射器附近區(qū)域的測量偏差均小于0.2 mm，均值為0.11 mm.

4 結(jié)論

本文提出了一種iGPS測量不確定度空間分布分析方法.給出了iGPS測量模型，建立了測量不確定度通用兩站分析模型.在此基礎(chǔ)上，進一步提出了測量不確定度空間分布分析方法，并根據(jù)發(fā)射器覆蓋范圍對其進行了修正.

數(shù)值仿真結(jié)果與實測偏差對比結(jié)果表明，兩站系統(tǒng)與四站系統(tǒng)的仿真數(shù)據(jù)結(jié)果與實測偏差結(jié)果吻合良好，提出的iGPS測量不確定度空間分布分析方法能較好地對測量不確定度空間分布規(guī)律進行描述.使用該方法，可對發(fā)射器為任意數(shù)目與空間布局的iGPS測量環(huán)境的測量不確定度空間分布規(guī)律進行計算分析.

該測量不確定度空間分布分析方法可用于iGPS測量環(huán)境的測量精度快速計算與分析評估，并可為測量現(xiàn)場的發(fā)射器布局方案優(yōu)化提供依據(jù).

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