＊含參數(shù)的Kirchhoff型問題正解的存在性

郭子君，張建明，王淑麗（太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，太原030024）

?

＊含參數(shù)的Kirchhoff型問題正解的存在性

郭子君，張建明，王淑麗
（太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，太原030024）

摘 要：通過變分法，臨界點理論以及迭代法研究了一類帶參數(shù)的Kirchhoff型問題在單位球外這一無界區(qū)域上正解的存在性，證明了當參數(shù)在一定范圍內(nèi)時，該問題至少存在一個正解。

關(guān)鍵詞：Kirchhoff型問題；變分法；迭代法；參數(shù)

1　主要結(jié)果

本文主要研究以下Kirchhoff型問題的正解和

存在性

式中：N≥3；Ω：＝RN＼B1＝｛x∈RN，｜x｜＞1｝；a，b是正常數(shù)；λ≥0是參數(shù)。

該問題最初源于如下方程

它是由Kirchhoff在文獻［1］中研究可伸縮繩自由振動的經(jīng)典D，Alembert波動方程過程中提出的一種實際存在的方程，早期在文獻［2－3］中給出了較為經(jīng)典的研究。近幾年來，許多學(xué)者應(yīng)用變分法以及臨界點理論等方法對這類問題在有界區(qū)域或者全空間上解的存在性進行了廣泛研究［4－12］但關(guān)于該問題在無界區(qū)域Ω∶＝RN＼B1上解的存在性的研究相對很少。

筆者主要應(yīng)用了變分法，臨界點理論以及迭代法對Kirchhoff型問題在球外解的存在性進行了探討，其中迭代法的使用使得問題相對簡化。

為了方便敘述本文所得到的主要結(jié)果，先給出以下基本假設(shè)條件：

1）f∈C（R＋，R＋），且存在正常數(shù)C1，C2＞0，使得對于所有t＞0，

f（t）≤C1tp－1＋C2tq－1成立，式中，p，q∈（2，2＊）；

本文的主要結(jié)論為：

定理1 若f滿足條件1，2，則存在λ＊＞0，λ∈［0，λ＊）時，問題（Pλ）至少有一個正解。

由于本文只考慮問題（Pλ）的正解，故假設(shè)當t＜0時，f（t）＝0．

2　預(yù)備知識

H10（Ω）是通常的Sobolev空間，其上的內(nèi)積和范數(shù)分別為

定義H10，r（Ω）＝｛u∈H10（Ω），u徑向?qū)ΨQ｝。由Sobolev嵌入定理1可知H10，r（Ω）是連續(xù)的，s∈［2，2＊］，且存在γs＞0使得

定義如下泛函

式中：

由條件1可知，問題（Pλ）的弱解對應(yīng)于泛函J在H10，r（Ω）中的臨界點，且

（2011011002－4，2012011004－3）

對于給定的ω∈H10，r（Ω）和｛μk｝

12，

［］

1，定義在H10，r（Ω）上的泛函Jω，μk：

顯然

且

μk∫Ωf（u）v，u，v∈H10，r（Ω）．

為了證明問題（Pλ）正解的存在性，需要先前的結(jié)論：

如果對于每一個μ∈I，Jμ（0）＝0，Γμ≠且

那么對于幾乎處處的

μ∈I，存在一個序列｛un，μ｝X，使得

1）｛un，μ｝是有界的；

3　結(jié)果的證明

由定理2可知，I＝

12，

［］

1，空間X＝H10，r（Ω），X上相應(yīng)的泛函為

由式（3）定義的泛函Jω，μ就可記為Jω，μ（u）＝Aω（u）－μB（u），且

引理1 對于給定的L，R＞0以及且ω∈H10，r（Ω）‖ω‖≤R，存在正常數(shù)τ＝τ（R，L），λ＊＝λ＊（R，L），使得對于所有的μ∈I以及λ∈［0，λ＊）有Γω，μ≠，Cω，μ≥τ．

證明 由條件（H1）可知，F(xiàn)（s）≤C1

Psp＋C2qsq，s

∈R＋．對于u∈H10，r（Ω），由上式及式（1），即可得到

顯然存在ρ＞0，對于任意的μ∈I，當0＜‖u‖＜ρ 時Jω，μ（u）＞0．尤其是當‖u‖＝ρ時，

的取值與μ和ω的選取無關(guān)。

由條件2易知，對于任意滿足M∫Ωφ2＞1＋L∫Ω｜φ｜2的M，存在CM＞0使得

對于給定的L，R＞0，定義λ＊＝aL bR2，取φ∈H10，r（Ω）且φ≥0，‖φ‖＝1，suppφ（B2＼B1）．由式（4）可知，對于任意的μ∈I以及λ∈［0，λ＊），

顯然，當t→＋∞時，Jω，μ（tφ）→－∞．因此，可選取t0＞0使得Jω，μ（t0φ）＜0．這意味著對于任意的μ∈I以及λ∈［0，λ＊），Γω，μ≠φ．

對于固定的μ∈I，由Γω，μ的定義可知，對于任意的γ∈Γω，μ，有‖γ（1）‖＞ρ，因為γ（0）＝0，由介值定理可知，存在tγ∈（0，1）使得‖γ（tγ）‖＝ρ．這樣，對于任意的μ∈I以及λ≥0，

引理2 當λ∈［0，λ＊），μ∈I時。泛函Jω，μ有界的（PS）序列有收斂子列。

證明 令｛un，ω，μ｝H10，r（Ω）是泛函Jω，μ的有界的（PS）序列，即‖un，ω，μ‖≤C，｜Jω，μ（un，ω，μ）｜≤C，J′ω，μ（un，ω，μ）→0．由于｛un，ω，μ｝H10，r（Ω）是有界的，

當s∈（2，2＊）時，H10，r（Ω）是緊嵌入（見文獻［14］推論1．26），即可得到一子列，使得

un，ω，μ弱收斂于uω，μ在H10，r（Ω）上，un，ω，μ（x）→uω，μ（x） 幾乎處處在Ω中。

由此可得

n→∞

根據(jù)條件（H1），可知存在Cp，Cq＞0使得

即

同理可得

所以

由式（6），式（7）以及

就可得到lim

n→∞．

引理3 令λ∈［0，λ＊）．那么對于幾乎處處的μ∈I，Jω，μ有一非平凡臨界點uω，μ．

證明 由定理2可知，

B（u）＝∫ΩF（u）．

結(jié)合引理3可得，對于幾乎處處的μ∈I，存在序列

｛un，ω，μ｝H10，r（Ω）使得

再根據(jù)引理2，就可知道存在u∈H10，r（Ω）使得un，ω，μ→uω，μ在H10，r（Ω）上，即n→∞

由引理2可知，存在常數(shù)C3（L）＞0使得t≥0

由引理5可知，對于滿足μk→1的μk∈I而言，Jω，μk有一非平凡的臨界點uω，μk．

引理4 序列｛uω，μk｝一致有界且Jω，1有一非平凡臨界點uω．

證明 因為uω，μk是以下問題的弱解

所以，其所對應(yīng)的Pohozaev恒等式成立，即

因此

又根據(jù)

以及式（8）可得到

由式（9），式（10）可知

另一方面，由（H1）以及插值不等式可知

式中：

再由式（8）和Sobolev不等式，可知存在常數(shù)Cp，Cq＞0使得

顯然pα1＜2，qα2＜2，結(jié)合式（11），可知存在C4（L），使得

∫Ω

（uω，μk）2≤C4（L）．（12）

由式（11）和式（12）可推出

‖uω，μk‖2≤NC3（L）＋C4（L）．（13）

現(xiàn)在證明Jω，1有一個非平凡的臨界點。

因為

（μk－1）∫Ωf（uω，μk）v，v∈H10，r（Ω）．

由（H1），定理2以及μk→1，即可得到J′ω，1（uω，μk）→0．那么｛uω，μk｝就是Jω，1的一個有界的（PS）序列．由第一步可知，存在uω∈H10，r（Ω）使得uω，μk→uω．

即

由于Jω，1（0）＝0可知uω≠0．

），那么對于任意給定的ω∈H10，r（Ω）滿足‖ω‖≤R時，若λ∈［0，λ＊），Jω，1有一非平凡的臨界點uω且‖uω‖≤R．令ω＝u0≡0，那么Ju0，1就有一非平凡臨界點并把它記作u1且‖u1‖≤R．再令ω＝u1，可知Ju1，1有一非平凡臨界點u2且‖u2‖≤R．以此類推，可得到一族

序列｛un｝H10，r（Ω）且‖un‖≤R是泛函Jun－1，1的非平凡臨界點，Jun－1，1（un）≥τ＞0，n＝1，2，…

現(xiàn)在證明｛un｝收斂到泛函J的非平凡臨界點，因為‖un‖≤R，n∈N，不失一般性，可知存在u∈H10，r（Ω）使得un弱收斂于u在H10，r（Ω）上，un→u在Ls（Ω）上，s∈（2，2＊），un（x）→u（x）幾乎處處在Ω中．證明方法與（3．4）相同，可得

因為

所以

那么

根據(jù)式（14），式（15）以及

可知

對于任意的v∈H10，r（Ω），有

這意味著u是問題（Pλ）的解。

又因為

u≠0，所以u是問題（Pλ）的一個正解。

參考文獻：

［1］ Kirchhoffm G．Mechanik［M］．Teubner．Leipzig，1883．

［2］ Bernstein S．Sur uneclasses d’équations fonctionnelles aux dérivées partielles［J］．Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk．Seriya Matematicheskaya，1940，4（1）：17－26．

［4］ 張紹康，熊邵武．Kirchhoff型問題的變號解和多重解［J］．昆明學(xué)院學(xué)報，2010，32（3）：16－17．

［5］ Autuori G，Pucci P，Salvatori M C．Global nonexistence for nonlinear Kirchhoff systems［J］．Arch Ration Mech Anal，2010，196（5）：489－516．

［6］ 曹小強，孫義靜．一類奇異非線性Kirchhoff型問題的正解［J］．中國科學(xué)院大學(xué)學(xué)報，2014，31（1）：5－9．

［7］ Chen C，Song H，Xiu Z．Multiple solutions for p－Kirchhoff equations in RN［J］．Nonlinear Anal，2013，86（6）：146－156．

［8］ Chen S．J，Li L．Multiple solutions for the non homogeneous Kirchhoff equation on RN［J］．Nonlinear Anal RWA，2013，14 （3）：1477－1486．

［9］ Colauonno F，Pucci P．Multiplicity solutions for p（x）－poly harmonic elliptic Kirchhoff equations［J］．Nonlinear Anal，2011，74 （17）：5962－5974．

［10］ Figueiredo G M．Existence of a positive solution for a Kirchhoff problem type with critical growth via truncation argument ［J］．Math Anal Appl，2013，401（2）：706－713．

［11］ Júlio F，Corrêa S A，F(xiàn)igueiredo G M．On an elliptic equation of p－Kirchhoff type via variational methods［J］．Bull Aust Math Soc，2006，74：263－277．

（編輯：劉笑達）

［12］ Kim D，Kim S，Jung I H．Stabilization for the Kirchhoff type equation from an axially moving heterogeneous string modeling with boundary feedback control［J］．Nonlinear Anal，2012，75（2）：3598－3617．

［13］ Jeanjean L．On the existence of bounded Palais－Smale sequences and application to a Landesman－Lazer－type problem set on RN［J］．Proc Roy Soc Edinburgh Sect，A，1990，129（4）：787－809．

［14］ Willem M．Minimax Theorem［M］．Birkhuser Boston，1996．

Existence of Positive Solution for a Kirchhoff Type Problem with Parameters

GUO Zijun，ZHANG Jianming，WANG Shuli
（College of Mathematics，Taiyuan University of Technology，Taiyuan030024，China）

Abstract：Variational methods，critical point theory，and iterative techniques were used to study the existence of positive solutions for the Kirchhoff type problems with parameters outside unit ball，an unbounded region．The results prove that the equation has at least one positive solution when the parameter is within a confined range．

Key words：Kirchhoff type problem；variation method；iterative technique；parameters

作者簡介：郭子君（1990－），女，山西忻州人，碩士生，主要從事非線性泛函分析的研究，（Tel）18334708439通訊聯(lián)系人：張建明，副教授，主要從事非線性應(yīng)理分析研究，（E－mail）tyutzjm＠163．com

基金項目：國家自然基金項目：關(guān)于微結(jié)構(gòu)的高性能混凝土火災(zāi)劣化機理及損傷評估理論研究（51278325），山西省科學(xué)基金項目

收稿日期：＊2014－11－12

DOI：10．16355／j．cnki．issn1007－9432tyut．2015．03．024

文獻標識碼：A

中圖分類號：O175．2

文章編號：1007－9432（2015）03－0366－05