環(huán)Fpm+uFpm+vFpm+uvFpm上的常循環(huán)碼

鄭喜英， 馬紅娟

(黃河科技學院 信息工程學院，河南 鄭州 450063)

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環(huán)Fpm+uFpm+vFpm+uvFpm上的常循環(huán)碼

鄭喜英， 馬紅娟

(黃河科技學院 信息工程學院，河南 鄭州 450063)

摘要：研究了環(huán)Fp+uFp+vFp+uvFp上任意長度的常循環(huán)碼的等價性,利用等價性給出了該環(huán)上一些常循環(huán)碼及其Gray像的結構.

關鍵詞：常循環(huán)碼；循環(huán)碼；準循環(huán)碼；等價性

0引言

1環(huán)R2上的循環(huán)碼

本文中，令R1=Fpm+uFpm,R2=Fpm+uFpm+vFpm+uvFpm,R1,R2是有限交換環(huán).R2中的每一個元素r都可以表示為r=c0+c1u+c2v+c3uv,ci∈Fpm,i=0,1,2,3.

由文獻[1]可知環(huán)R2是一個極大理想為〈u,v〉的局部環(huán),既不是主理想環(huán)也不是有限鏈環(huán).

設τ表示一個循環(huán)移位,若線性碼C在τl下保持不變，則稱C為l-準循環(huán)碼.

定理1[6]設C是環(huán)Fpm+uFpm+vFpm+uvFpm上長為n的循環(huán)碼,(n,p)=1，則

C=(g1(x)+up1(x)+uvb2(x),vg2(x)+uvp2(x)),

2環(huán)R2上的常循環(huán)碼的等價性

令ζ是Fpm的一個本原元,那么Fpm={0,1,ζ,…,ζpm-2}.

引理1R2中的任意元素r=c0+c1u+c2v+c3uv可逆當且僅當c0≠0,其中ci∈Fpm,i=0,1,2,3.

證明(必要性)反證法：若c0=0,則r=c1u+c2v+c3uv,由R2定義可知u,v都是環(huán)R2中的冪零元,所以r是環(huán)R2中的冪零元,不是其中的可逆元.

(充分性)若c0≠0,則r=c0+c1u+c2v+c3uv,c0是R2的子環(huán)Fpm中的可逆元,且R2與Fpm有相同的單位元,所以c0是R2中的可逆元,所以(c0)2是R2中的可逆元.因r2=(c0)2+(c1u+c2v+c3uv)2+2c0(c1u+c2v+c3uv)=(c0)2，所以r2是R2中的可逆元,所以r=c0+c1u+c2v+c3uv是R2中的可逆元.定理得證.

引理2對于任意的i,j∈Zpm-1,若存在λ∈Zpm-1使得i-j≡nλ(mod(pm-1))成立， 則環(huán)R2上的長為n的ζi+ζi(αu+βv+γuv)-常循環(huán)碼與ζj+ζj(αu+βv+γuv)-常循環(huán)碼置換等價， 其中α,β,γ∈Fpm.

證明構造映射

φ1:R2[x]/→R2[x]/,r(x)→r(ζλx).

易證φ1是環(huán)同態(tài)映射.下面證明該映射是環(huán)同構映射.

?f(x),g(x)∈R2[x],f(x)≡g(x)mod(xn-(ζi+ζi(αu+βv+γuv))),當且僅當存在h(x)∈R2[x],使得f(x)-g(x)=h(x)(xn-(ζi+ζi(αu+βv+γuv))),當且僅當f(ζλx)-g(ζλx)=h(ζλx)(ζλnxn-(ζi+ζi(αu+βv+γuv)))=ζλnh(ζλx)(xn-(ζi-λn+ζi-λn(αu+βv+γuv))),當且僅當f(ζλx)≡g(ζλx)(mod(ζi-λn+ζi-λn(αu+βv+γuv))),當且僅當f(ξλx)≡g(ξλx)(mod(ξj+ξj(αu+βv+γuv)))，所以ψ1是從R2[x]/到R2[x]/的一一映射.

所以φ1是環(huán)同構映射,則環(huán)R2上的長為n的ζi+ζi(αu+βv+γuv)-常循環(huán)碼與ζj+ζj(αu+βv+γuv)-常循環(huán)碼置換等價.

用文獻[10]定理1的證明方法可得下面的定理.

定理2對于任意的i,j∈Zpm-1,若存在i-j∈{0,l,2l,…,pm-l-1},l=(n,pm-1),則環(huán)R2上的長為n的ζi+ζi(αu+βv+γuv)-常循環(huán)碼與ζj+ζj(αu+βv+γuv)-常循環(huán)碼置換等價， 其中α,β,γ∈Fpm.

由定理1易得下面的推論.

推論1(1)若i∈{0,l,2l,…,pm-l-1}，則環(huán)R2上的長為n的ζi-常循環(huán)碼與循環(huán)置換等價， 其中l(wèi)=(n,pm-1)；

(2)若l=(n,pm-1)，則對任意的i∈Zpm-1環(huán)R2上的長為n的ζi+ζi(αu+βv+γuv)-常循環(huán)碼彼此置換等價，其中α,β,γ∈Fpm.

(3) 對于任意的i,j∈Zpm-1，i-j∈{0,l,2l,…,pm-l-1},l=(n,pm-1)，則環(huán)R2上的長為n的ζi-常循環(huán)碼與ζj-常循環(huán)碼置換等價．

引理3當(n,p)=1時,環(huán)R2上的長為n的ζi-常循環(huán)碼與ζi+(αu+βv+γuv)-常循環(huán)碼置換等價， 其中α,β,γ∈Fpm，i∈Zpm-1.

證明當(n,p)=1時,存在n′∈Zp使得nn′=1(modp)，構造映射

φ2:R2[x]/→R2[x]/，r(x)→r(λ1x),

其中λ1=1-n′ζ-i(αu+βv+γuv).由二項式定理可得

易證φ2是環(huán)同態(tài)映射.下面證明該映射是環(huán)同構映射.

?f(x),g(x)∈R2[x],f(x)≡g(x)mod(xn-ζi),當且僅當存在h(x)∈R2[x]使得f(x)-g(x)=

h(x)(xn-ζi)，當且僅當

(1-ζ-i(αu+βv+γuv))h(λ1x)(xn-ζi(1+ζ-i(αu+βv+γuv))=

(1-ζ-i(αu+βv+γuv))h(λ1x)(xn-(ζi+αu+βv+γuv))，

當且僅當f(λ1x)≡g(λ1x)mod(xn-(ζi+αu+βv+γuv))，所以φ2是從R2[x]/到R2[x]/的一一映射.

所以φ2是環(huán)同構映射,則環(huán)R2上的長為n的ζi-常循環(huán)碼與ζi+(αu+βv+γuv)-常循環(huán)碼置換等價.

由推論1(3)和引理3易得下面的定理.

定理3當(n,p)=1時,若存在i-j∈{0,l,2l,…,pm-l-1},l=(n,pm-1)，則環(huán)R2上的長為n的(ξi+αu+βv+γuv)-常循環(huán)碼與(ξj+α′u+β′v+γ′uv)-常循環(huán)碼置換等價， 其中α,β,γ,α′,β′,γ′∈Fpm.

由定理2及在定理3中令j=α′=β′=γ′=0,可得下面的推論.

3結論

參考文獻

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Constacyclic Codes over the RingFpm+uFpm+vFpm+uvFpm

ZHENG Xi-ying， MA Hong-juan

(InstituteofInformationEngineering,HuangheScienceandTechnologyCollege,Zhengzhou450063,China)

Abstract:The equivalence of constacyclic codes of arbitrary length over the ring Fp+uFp+vFp+uvFpis studied, based on which, the structure of some constacyclic code and its Gray images are determined.

Key words:constacyclic code; cyclic code; quasi cyclic code; equivalence

中圖分類號：O157.4

文獻標識碼：A

文章編號：1007-0834(2015)02-0013-03

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2015.02.004

作者簡介：鄭喜英(1981—)，女，河南睢縣人，黃河科技學院信息工程學院講師.

基金項目：河南省教育廳科學技術研究重點項目(12B110005)；鄭州市科技局基礎與前沿基金(20141375)

收稿日期：2015-01-01