多項式擬合在GPS坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用研究

王建設(shè)

（安徽省煤田地質(zhì)局第三勘探隊，安徽宿州234000）

多項式擬合在GPS坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用研究

王建設(shè)

（安徽省煤田地質(zhì)局第三勘探隊，安徽宿州234000）

在測繪作業(yè)過程中,經(jīng)常需要在不同坐標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換以滿足實際作業(yè)的需求。文中簡述不同轉(zhuǎn)換方法和坐標(biāo)系統(tǒng)模型，利用多項式擬合的方法在GPS坐標(biāo)系統(tǒng)和其他坐標(biāo)系統(tǒng)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。敘述轉(zhuǎn)換過程并求解擬合公式。論文主要以WGS-84坐標(biāo)系和西安80坐標(biāo)系擬合為例，最后評估轉(zhuǎn)換的精度。

多項式擬合；GPS坐標(biāo)系統(tǒng)；坐標(biāo)轉(zhuǎn)換；精度評估

1.引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,各種新的測量技術(shù)在經(jīng)濟(jì)建設(shè)和國防建設(shè)中的作用日益擴(kuò)大。測量新技術(shù)全球定位技術(shù)GPS、地理信息技術(shù)GIS、遙感技術(shù)RS及數(shù)字?jǐn)z影在測量中的發(fā)展具有明顯優(yōu)點[1]。這些新技術(shù)在勘測、設(shè)計、施工及養(yǎng)護(hù)等各階段的應(yīng)用日益廣泛。

雖然全球定位系統(tǒng)（GPS）以其優(yōu)秀的特點為測繪工作者帶來了很大的便利，但是需要注意的是，傳統(tǒng)的測繪和現(xiàn)代測繪技術(shù)有明顯的不同，其中以坐標(biāo)系、坐標(biāo)表達(dá)方式和精度不同為突出特點[2]。要實現(xiàn)充分利用好傳統(tǒng)測繪技術(shù)和現(xiàn)代測繪成果，兩者的相互轉(zhuǎn)換成了很重要并且經(jīng)常要實現(xiàn)的一個問題。在精度評價等方面多項式擬合算法是可行的。

2.多項式擬合法[3]

假設(shè)給定數(shù)據(jù)點（xi,yi)（i=0,1,…,m），Φ為所有次數(shù)不超過n（n≤m）的多項式構(gòu)成的函數(shù)類，現(xiàn)求一,使得：

當(dāng)擬合函數(shù)為多項式時，稱為多項式擬合，滿足式（1）的Pn（x）稱為最小二乘擬合多項式。特別地，當(dāng)n=1時，稱為線性擬合或直線擬合[4]。

顯然：

為a0，a1，…an的多元函數(shù)，因此上述問題即為求I=I（a0，a1，…an）的極值問題。由多元函數(shù)求極值的必要條件，得：

即：

（3）是關(guān)于a0，a1，…an的線性方程組，用矩陣表示為：

式（3）或式（4）稱為正規(guī)方程組或法方程組。

可以證明，方程組（4）的系數(shù)矩陣是一個對稱正定矩陣，故存在唯一解。從式（4）中解出ak（k=0,1,…，n），從而可得多項式：

可以證明，式（5）中的Pn（x）滿足式（1），即Pn（x）為所求的擬合多項式。我們把稱為最小二乘擬合多項式Pn（x）的平方誤差，記作：

由式（2）可得

多項式擬合的一般方法可歸納為以下幾步：

（1）由已知數(shù)據(jù)畫出函數(shù)粗略的圖形—散點圖，確定擬合多項式的次數(shù)n。

（3）寫出正規(guī)方程組，求出a0，a1，…an。

（4）寫出擬合多項式。

在實際應(yīng)用中，n＜m或n≤m，當(dāng)n=m時所得的擬合多項式就是拉格朗日或牛頓插值多項式[6]。

3.多項式擬合在GPS坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用研究

3.1 多項式擬合在GPS坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換[7]中的應(yīng)用

測得安徽省淮南市某地區(qū)16平方公里1:1000地形圖中26個控制點坐標(biāo)，該地區(qū)中央子午線為117°，用3°帶劃分為39度帶。各個控制點坐標(biāo)都有對應(yīng)西安80坐標(biāo)系和WGS-84坐標(biāo)系的大地坐標(biāo)、平面坐標(biāo)。該地形圖長約5700m，寬約3300m，地面高度在15m-30m之間。

隨機(jī)從26個控制點中挑選出21個紅色控制點用來進(jìn)行多項式擬合，5個綠色控制點用來檢驗擬合過的多項式公式的精度可靠性。如圖3-1所示：

圖3 -1安徽省淮南市某地區(qū)地形圖控制點分布示意圖

3.2 擬合過程與步驟

首先從Auto CAD 2006二次開發(fā)軟件CASS7.1中打開矢量圖形如上圖3-1，標(biāo)記好26個控制點，隨機(jī)選取5待驗證點和21個求擬合公式的點。然后導(dǎo)出控制點坐標(biāo)數(shù)據(jù)，新建一個Microsoft Excel工作表，把編好號的控制點坐標(biāo)數(shù)據(jù)導(dǎo)入工作表中。

在Excel工作表中插入圖標(biāo)，選擇散點圖，然后選定數(shù)據(jù)區(qū)域西安80平面坐標(biāo)的東坐標(biāo)列的所有數(shù)據(jù)為X坐標(biāo)，選定所有WGS-84平面坐標(biāo)的東坐標(biāo)列的所有數(shù)據(jù)為Y坐標(biāo)，在圖形中點擊添加趨勢線，設(shè)置多項式最高次數(shù)、趨勢線名稱、多項式公式顯示、數(shù)據(jù)區(qū)域等之后，求出5個待驗證的西安80平面坐標(biāo)系的東坐標(biāo)，用于驗證的5個控制點坐標(biāo)數(shù)據(jù)，見表1、表2、表3、表4所示。利用誤差原理公式，得出求解東坐標(biāo)與對應(yīng)原東坐標(biāo)的點位誤差。

表1 用于驗證的西安80平面坐標(biāo)

表2 用于驗證的WGS-84平面坐標(biāo)

表3 用于驗證的西安80大地坐標(biāo)

表4 用于驗證的WGS-84大地坐標(biāo)

3.3 計算與分析

進(jìn)行多項式擬合，擬合之后公式和走勢圖如下：

圖3 -2西安80坐標(biāo)和WGS-84坐標(biāo)平面東坐標(biāo)Y擬合的走勢圖

圖3 -3西安80坐標(biāo)和WGS-84坐標(biāo)平面北坐標(biāo)X擬合的走勢圖

P228.4

A

1671-752X（2015）03-0068-02

2015-02-14

王建設(shè)（1967-），男，安徽淮北人，安徽省煤田地質(zhì)局第三勘探隊工程師，研究方向：工程測量。