《微分方程數(shù)值解法》課程建設(shè)的實(shí)踐與探討

李瑩

摘要：本文探討了微分方程數(shù)值解法課程的建設(shè)過程。從課程建設(shè)的總體思路、教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化、教學(xué)方式方法改革和考核制度的完善等方面闡述了微分方程數(shù)值解課程的建設(shè)情況。實(shí)踐表明，運(yùn)用多元化的教學(xué)模式并加強(qiáng)實(shí)踐教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、創(chuàng)新能力和解決實(shí)際問題的能力。

關(guān)鍵詞：微分方程數(shù)值解;課程建設(shè);教學(xué)實(shí)踐

中圖分類號(hào)：G642.0 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2015）20-0126-02

一、課程建設(shè)的總體思路

1.建設(shè)指導(dǎo)思想。在微分方程數(shù)值解法教學(xué)中，適當(dāng)引入數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件（如Matlab）做到理論性與應(yīng)用性相結(jié)合;根據(jù)微分方程數(shù)值解法教學(xué)的自身特點(diǎn)，發(fā)揮微分方程數(shù)值解法教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生素質(zhì)和提高學(xué)生能力方面的作用;加強(qiáng)以數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用為核心的微分方程數(shù)值解法應(yīng)用教學(xué)，努力把微分方程數(shù)值解法建設(shè)成“應(yīng)用型”課程，努力探索微分方程數(shù)值解法教學(xué)和計(jì)算機(jī)相結(jié)合的新路徑，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

2.建設(shè)目標(biāo)。微分方程數(shù)值解課程建設(shè)的目標(biāo)是通過課程建設(shè)和改革，探索出適用于我校信息學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的微分方程數(shù)值解的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法，提高教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生能夠掌握微分方程數(shù)值解的基本思想、概念和方法。培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力，使學(xué)生掌握微分方程數(shù)值解法的基礎(chǔ)，有較寬的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)面;培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力以及數(shù)學(xué)建模的能力;培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和創(chuàng)造力。

3.建設(shè)內(nèi)容。微分方程數(shù)值解法課程建設(shè)的內(nèi)容主要包括以下幾方面：①根據(jù)我院信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的定位，制定新的教學(xué)大綱，確定教學(xué)內(nèi)容，對課程教學(xué)內(nèi)容和體系進(jìn)行優(yōu)化。②根據(jù)微分方程數(shù)值解法課程特點(diǎn)，探索新的行之有效的教學(xué)方法，對課程教學(xué)方法、手段進(jìn)行研究和改進(jìn)。③對講課、實(shí)驗(yàn)、考試等教學(xué)環(huán)節(jié)的組織與實(shí)施課程進(jìn)行規(guī)范化的管理等。

二、教學(xué)內(nèi)容的分析與優(yōu)化

（一）教學(xué)內(nèi)容的分析

根據(jù)我院信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)學(xué)生的特點(diǎn)以及專業(yè)培養(yǎng)計(jì)劃對該課程3學(xué)分的規(guī)定，在教學(xué)大綱重新修訂時(shí)，我們設(shè)置了40學(xué)時(shí)理論講授和16學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)。教材選擇了由東南大學(xué)出版社出版，戴嘉尊、邱建賢編著的《微分方程數(shù)值解法》，該教材難度比較適中。該教材設(shè)計(jì)的講授時(shí)間約為70學(xué)時(shí)，為了在較短的時(shí)間內(nèi)向?qū)W生展現(xiàn)微分方程數(shù)值解法的概貌，同時(shí)保證他們在今后的學(xué)習(xí)和科研工作中能夠做到舉一反三、靈活運(yùn)用，授課教師對課程內(nèi)容作了一定的取舍并有所側(cè)重，使得教學(xué)內(nèi)容趨于全面且突出重點(diǎn)，力求突出經(jīng)典算法的構(gòu)思和具有特色的誤差分析理論。突出講授那些最常用的、重要的、實(shí)用的、有代表性的算法，而對那些原理相近的內(nèi)容只加以引導(dǎo)和提示，不片面追求列舉所有可能用到的算法。

（二）教學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化

1.理論教學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化。該課程講授的內(nèi)容主要分為常微分方程的數(shù)值解法和偏微分方程的數(shù)值解法兩部分，其中偏微分方程的差分方法是課程教學(xué)的重點(diǎn)。在講常微分方程初值問題的數(shù)值方法部分時(shí)，從簡單到復(fù)雜，從一般到特殊，先講最簡單的一階Euler單步法的構(gòu)造思想和基本概念，再講較復(fù)雜的單步高階Runge-Kutta法以及線性多步法等的基本概念和基本理論。該章安排10個(gè)學(xué)時(shí)，其中Euler法是常微分方程數(shù)值解中的重點(diǎn)，該方法雖簡單，卻包含了本課程將研究的幾乎所有內(nèi)容，甚至可以說“一通百通”。而本章的另外兩種經(jīng)典方法：Runge-Kutta法和線性多步法可看成對Euler法的推廣。如此一來，教學(xué)內(nèi)容的組織條理清晰，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中也不會(huì)顯得被動(dòng)。偏微分方程數(shù)值法部分主要講解有限差分法，其中包括拋物型方程的差分方法、橢圓型方程的差分方法以及雙曲型方程的差分方法三個(gè)章節(jié)。這三個(gè)章節(jié)我們分別安排12學(xué)時(shí)、10學(xué)時(shí)和8學(xué)時(shí)的講授。具體安排見表1。

2.實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化。微分方程數(shù)值解課程的理論性很強(qiáng)，為了化簡難點(diǎn)，便于學(xué)生能夠正確理解教材內(nèi)容，微分方程數(shù)值解課程設(shè)置了16學(xué)時(shí)的實(shí)驗(yàn)課。實(shí)驗(yàn)類型分為基礎(chǔ)性實(shí)驗(yàn)和綜合性實(shí)驗(yàn)，其中基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)包括用Euler法、線性多步法和Runge-Kutta法計(jì)算常微分方程初值問題的數(shù)值解、熱傳導(dǎo)方程初邊值問題的差分模擬、Laplace方程第一邊值問題的差分模擬等。綜合性實(shí)驗(yàn)包括用龍格—庫塔方法求解實(shí)際問題、古典隱式差分格式求解拋物型方程初邊值問題、五點(diǎn)差分格式求解波動(dòng)方程混合問題等。

基礎(chǔ)性實(shí)驗(yàn)的計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證數(shù)值格式的合理性，引導(dǎo)學(xué)生通過調(diào)整參數(shù)（如步長等）驗(yàn)證數(shù)值格式的相容性、穩(wěn)定性和收斂性等性質(zhì)。在綜合性實(shí)驗(yàn)中，通過指導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)的理論和方法解決實(shí)際問題，訓(xùn)練其數(shù)學(xué)建模的能力和應(yīng)用微分方程數(shù)值解的數(shù)值方法編程能力，以及分析、歸納總結(jié)問題的綜合能力。

三、教學(xué)方法、手段的探索

1.多元化的教學(xué)模式。在教學(xué)方面，根據(jù)微分方程數(shù)值解課程的內(nèi)容多而難，算法、定理繁而雜的課程特點(diǎn)，采用“課件+板書+計(jì)算機(jī)動(dòng)態(tài)演示”的課堂教學(xué)模式。課堂教學(xué)以講授為主，提問、討論等多種方法同時(shí)進(jìn)行，根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，有意識(shí)地嘗試不同的教學(xué)方式，將多種不同的教學(xué)形式進(jìn)行優(yōu)化組合，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)思考的積極性，通過引導(dǎo)培養(yǎng)他們觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。

2.Matlab軟件輔助教學(xué)。MATLAB軟件具有強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算、圖形顯示和程序設(shè)計(jì)功能，MATLAB軟件處理矩陣容易，繪圖可視化輕松，編程簡潔。在教學(xué)中適當(dāng)?shù)厥褂肕ATLAB軟件，展示計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的動(dòng)態(tài)過程和手段，實(shí)現(xiàn)抽象內(nèi)容的數(shù)值模擬、可視化和動(dòng)態(tài)化，解決現(xiàn)有教材和黑板教學(xué)不能實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜計(jì)算問題，使教學(xué)內(nèi)容直觀、生動(dòng)。這種做法不僅可加大課堂容量，提高教學(xué)效率，而且可用圖形和動(dòng)畫等表現(xiàn)形式吸引學(xué)生的注意力，增添課程的趣味性與實(shí)用性。不但能使學(xué)生對課堂的講授內(nèi)容加深理解，而且也會(huì)培養(yǎng)學(xué)生利用計(jì)算機(jī)處理實(shí)際問題的能力。

四、考核制度的完善

課程的考核是一個(gè)很重要的教學(xué)環(huán)節(jié)，它不僅是檢驗(yàn)學(xué)生掌握所學(xué)知識(shí)程度的方法，也是考查學(xué)生分析問題、解決問題能力的手段。微分方程數(shù)值解課程的考核采用平時(shí)成績、實(shí)驗(yàn)成績和理論成績相結(jié)合的課程考核方式。平時(shí)成績占10%，主要考查學(xué)生作業(yè)的完成情況和平時(shí)的課堂考勤等內(nèi)容;實(shí)驗(yàn)成績占40%，主要考查學(xué)生的實(shí)踐動(dòng)手能力，檢查學(xué)生利用程序設(shè)計(jì)語言和計(jì)算軟件解答題目的能力以及學(xué)生報(bào)告撰寫的完備性;理論成績占50%，采用開卷考試的形式，主要考查學(xué)生對基本概念、理論、方法及常用計(jì)算公式的掌握情況，以計(jì)算題型為主，用經(jīng)典算法對題目做計(jì)算，并保證具有一定的計(jì)算量。

五、結(jié)語

通過以上微分方程數(shù)值解課程的建設(shè)和實(shí)踐，基本解決了微分方程數(shù)值解課時(shí)少與教學(xué)內(nèi)容多的矛盾，提高了教學(xué)質(zhì)量，但是該課程教學(xué)方法與教學(xué)手段改革尚需進(jìn)一步深化，課程內(nèi)容還需進(jìn)一步調(diào)整和優(yōu)化。在今后的教學(xué)實(shí)踐過程中，根據(jù)我院信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)學(xué)生的定位，將進(jìn)一步推進(jìn)該課程的改革和建設(shè)，使我院微分方程數(shù)值解的教學(xué)更具特色。

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