關(guān)于素環(huán)上的內(nèi)導(dǎo)子

馮驥

摘要：討論了素環(huán)理想上內(nèi)導(dǎo)子的交換性質(zhì)。設(shè)R是一個素環(huán)，I為R的一個非零理想，Ia（x）=[x，a]為R的一個內(nèi)導(dǎo)子，其中a為R中一個固定元素，如果對任意的x，y∈I，都有Ia（xoy）=xoy或Ia（xoy）+xoy=0，那么R是可交換的。

關(guān)鍵詞：素環(huán);內(nèi)導(dǎo)子;交換性

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）20-0275-02

一、引言及引理

關(guān)于環(huán)上導(dǎo)子的研究始于Posner[1]，他在1957年證明了非零中心化導(dǎo)子的素環(huán)一定為交換環(huán)。近些年，很多學(xué)者研究了環(huán)上導(dǎo)子的交換性，對環(huán)的研究具有深遠影響。2002年，Ashraf和Rehaman[2]證明了對任意的x，y∈U，都有d（xoy）=xoy或d（xoy）+xoy=0的情況，本文將其推廣到內(nèi)導(dǎo)子上，得到一些結(jié)論。

設(shè)R是任意結(jié)合環(huán)，對于任意的x，y∈U，d是環(huán)R上的可加映射，若d（xy）=d（x）y+xd（y），則稱d為環(huán)R上的導(dǎo)子。

設(shè)R是素環(huán)，d是R上的一個導(dǎo)子，對一個固定元素

a∈R，映射Ia∶R→R，Ia（x）=[x，a]是一個導(dǎo)子，我們稱其為R上的一個內(nèi)導(dǎo)子[3]。

引理1：如果一個素環(huán)R包含一個非零的可交換的右理想，那么R也是可交換的。

引理2[4]：設(shè)R是一個素環(huán)，I為R的一個非零右理想，如果d是R上的一個非零導(dǎo)子，那么d也是I上的一個非零導(dǎo)子。

二、主要結(jié)論

定理1：設(shè)R是一個素環(huán)，I為R的一個非零理想， Ia（x）=[x，a]為R的一個內(nèi)導(dǎo)子，其中a為R中一個固定元素，如果對任意的x，y∈I，都有Ia（xoy）=xoy，那么R是可交換的。

證明：（1）對任意的x，y∈I，都有Ia（xoy）=xoy.

如果Ia（x）=0，那么xoy=0，對任意的x，y∈I.

用yz代替y得：xo（yz）=0

利用基本恒等式得：（xoy）z-y[x，z]=0

所以y[x，z]=0，x，y，z∈I，從而IR[x，z]=0，x，z∈I.

由于I≠0且R是一個素環(huán)，可知[x，z]=0，x，z∈I，由引理1可知R是可交換的。

（2）如果Ia（x）≠0，那么對任意的x，y∈I，都有Ia（xoy）=xoy.

展開得：

[xy+yz，a]=xoy

（xy+yx）a-a（xy+yx）=xoy

xya+yxa-axy-ayx=xoy

xya+yxa-axy-ayx+xay-xay+yax-yax=xoy

（xay-axy）+（yxa-yax）+（xya-xay）+（yax-ayx）=xoy

（xa-ax）y+y（xa-ax）+x（ya-ay）+（ya-ay）x=xoy

Ia（x）y+yIa（x）+xIa（y）+Ia（y）x=xoy

即：Ia（x）oy+xoIa（y）=xoy x，y∈I（1）

用yx代替（1）式中的y，可以得到：Ia（x）o（yx）+xoIa（yx）=xo（yx）

展開得：

[x，a]（yx）+（yx）[x，a]+x[yx，a]+[yx，a]x=（xoy）x

[x，a]（yx）+（yx）[x，a]+（xy）[x，a]+x[y，a]x+y[x，a]x+[y，a]xx=（xoy）x

[Ia（x）oy]x+（xoy）Ia■（x）+[xoIa（y）]x=（xoy）x

[Ia（x）oy+xoIa（y）-（xoy）]x+（xoy）Ia（x）=0

利用（1）式可得，（xoy）Ia（x）=0.再用zy代替y，可得

（xozy）Ia（x）=0.

利用基本恒等式展開得：z（xoy）Ia（x）+[x，z]yIa（x）=0

因此[x，z]yIa（x）=0，對任意的x，y，z∈I都成立，即 [x，z]IRIa（x）=0.

因為R為一個素環(huán)，所以[x，z]I=0或Ia（x）=0.

令I(lǐng)1={[x，z]I=0，x，z∈U}，I2={Ia（x）=0，x∈I}.

那么I1和I2都是I的子群，并且I1∪I2=I，所以I=I1或I=I2.

如果I=I2，那么由引理2，對所有的x∈I都有Ia（x）=0，與假設(shè)相矛盾，因此I=I1.

那么對所有的x，z∈I，都有[x，z]I=0，即[x，z]RI=0.

由于I≠0，故[x，z]=0，對所有的x，z∈I都成立.

由引理1可知R是可交換的。

用一樣的方式可以證明：

定理2：設(shè)R是一個素環(huán)，I為R的一個非零理想，Ia（x）=[x，a]為R的一個內(nèi)導(dǎo)子，其中a為R中一個固定元素，如果對任意的x，y∈I，都有Ia（xoy）+xoy=0，那么R是可交換的。

參考文獻：

[1]Posner E. C. Derverations in Prime Rings[J]. Proc.Amer. Math. Soc，1957，（8）：1093-1100.

[2]Ashraf M，Rehaman N.On commutativity of rings with derivations[J].Results in Math，2002，（42）：3-8.

[3]吳偉.素環(huán)理想上的廣義導(dǎo)子[J].北華大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2005，6（4）：293-295.

[4]Bell H.E，Martindale W.S.Centralizing Mappings of Semiprime Rings[J].Canad.Math.Bull，1987，（30）：92-101.endprint