熱帶風(fēng)壓場(chǎng)平衡特征及其對(duì)GRAPES系統(tǒng)中同化預(yù)報(bào)的影響研究II：動(dòng)力與統(tǒng)計(jì)混合平衡約束方案的應(yīng)用

王瑞春 龔建東 張林 陸慧娟

1 南京信息工程大學(xué)大氣科學(xué)學(xué)院，南京210044

2 中國(guó)氣象局?jǐn)?shù)值預(yù)報(bào)中心，北京100081

1 引言

研究I的結(jié)果表明，GRAPES（global/regional assimilation and prediction system）全球變分資料同化系統(tǒng)（以下簡(jiǎn)稱GRAPES-VAR）采用的風(fēng)、壓場(chǎng)平衡約束——線性平衡方程（Linear Balance Equation，以下簡(jiǎn)稱 LBE）在熱帶地區(qū)并不適用，會(huì)造成虛假平衡（王瑞春等, 2015）。LBE主要表達(dá)了羅斯貝波模態(tài)下的風(fēng)、壓場(chǎng)配置，但該模態(tài)在熱帶區(qū)域的短期預(yù)報(bào)誤差中并不占主導(dǎo)，補(bǔ)充考慮其他赤道波動(dòng)的影響就需要削弱LBE對(duì)熱帶風(fēng)、壓場(chǎng)的約束程度，使得兩者的分析變得更加獨(dú)立。作為研究的第II部分，本文致力于在GRAPES-VAR中引入更加合理的平衡約束方案，對(duì)熱帶虛假平衡問題做針對(duì)性修正，以提高該區(qū)域的風(fēng)場(chǎng)分析效果。

熱帶地區(qū)缺少類似中、高緯準(zhǔn)地轉(zhuǎn)這樣的主導(dǎo)機(jī)制（Holton, 1992），基于自身動(dòng)力學(xué)特征構(gòu)造平衡約束的研究進(jìn)展十分緩慢。目前，這方面研究的一個(gè)主要思路是采用相互正交的赤道波動(dòng)作為特征分量構(gòu)造預(yù)報(bào)（背景）誤差協(xié)方差矩陣（B矩陣）（Daley, 1993; ?agar et al., 2004; K?rnich and K?llén,2008），也即與研究I中構(gòu)造風(fēng)、壓場(chǎng)協(xié)相關(guān)的方案類似。然而，由于在波動(dòng)權(quán)重的確定、誤差垂直結(jié)構(gòu)的設(shè)定以及如何與中、高緯銜接等問題上仍不十分清晰，這些研究?jī)H局限于在正壓淺水模型中做一些理想試驗(yàn)，距離業(yè)務(wù)應(yīng)用有很大距離。另一個(gè)努力方向是采用比LBE更加復(fù)雜的平衡方程，例如非線性平衡方程。由于考慮了流場(chǎng)曲率的作用，非線性平衡方程在處理強(qiáng)旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)（例如臺(tái)風(fēng)）時(shí)要更加精確（Fisher, 2003; 莊照榮等, 2006; 萬(wàn)齊林和薛紀(jì)善, 2007），但由于其仍是基于中、高緯大氣運(yùn)動(dòng)的尺度特征簡(jiǎn)化得到，因而在熱帶也是不適用的（Daley, 1991; Barker et al., 2004）。

在業(yè)務(wù)同化系統(tǒng)中，為減小熱帶風(fēng)、壓場(chǎng)的平衡約束，一個(gè)可行方法是采用統(tǒng)計(jì)方案。該方案采用線性回歸直接統(tǒng)計(jì)不同變量間氣候態(tài)的平衡約束，其引入的最初目標(biāo)是解決Lorenz垂直離散方案下求解溫度的欠定問題（Parrish et al., 1997）。Derber and Bouttier（1999）將該方法應(yīng)用于歐洲中期數(shù)值預(yù)報(bào)中心（ECMWF）變分同化系統(tǒng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，風(fēng)、壓場(chǎng)分析在中、高緯與LBE相近，而熱帶地區(qū)兩者分析接近獨(dú)立。由于構(gòu)造和計(jì)算簡(jiǎn)單，統(tǒng)計(jì)方案在業(yè)務(wù)和研究中得以廣泛應(yīng)用（Berre, 2000; Wu et al.,2002; Huang et al., 2009; Kleist et al., 2009a）。王瑞春等（2012, 2014）在將該方案應(yīng)用于GRAPES-VAR的研究中也發(fā)現(xiàn)，統(tǒng)計(jì)得到的平衡約束在熱帶地區(qū)要遠(yuǎn)小于LBE，可以幫助減小虛假平衡問題。

然而，Kleist et al.（2009b）基于NCEP（National Centers for Environmental Prediction）變分同化系統(tǒng)的研究指出，統(tǒng)計(jì)得到的平衡約束在中、高緯并不如LBE穩(wěn)健。此外，統(tǒng)計(jì)方案只能考慮線性約束，無(wú)法進(jìn)一步向非線性擴(kuò)展。因此，英國(guó)氣象局和ECMWF在其變分同化系統(tǒng)中將平衡方程和統(tǒng)計(jì)方案結(jié)合到一起，構(gòu)造了動(dòng)力與統(tǒng)計(jì)混合平衡約束方案（以下簡(jiǎn)稱“混合方案”）（Lorenc et al., 2000；Fisher，2003）?；旌戏桨赶戎饘忧蠼饩€性或非線性平衡方程，并在此基礎(chǔ)上引入垂直方向的回歸統(tǒng)計(jì)。平衡方程的使用保證了約束在中、高緯的穩(wěn)健性，并且還可以向非線性平衡方程擴(kuò)展；而統(tǒng)計(jì)模塊的引入可以減小平衡方程不適用地區(qū)的虛假平衡（Barker et al., 2004）。鑒于混合方案具有取長(zhǎng)補(bǔ)短的優(yōu)勢(shì)，并有進(jìn)一步升級(jí)的潛力，本文針對(duì)GRAPES-VAR的改進(jìn)也選用該方案。

雖然統(tǒng)計(jì)方案與混合方案已有不少業(yè)務(wù)應(yīng)用先例，但之前研究主要集中于方案的具體構(gòu)造以及業(yè)務(wù)性能評(píng)估上，而對(duì)方案減小熱帶虛假平衡問題的內(nèi)在機(jī)制缺乏詳細(xì)討論。變分同化中，平衡約束主要是在針對(duì)B矩陣的物理變換，即獨(dú)立分析變量的構(gòu)造中引入的（Bannister, 2008）。LBE應(yīng)用于熱帶時(shí)，其虛假平衡問題對(duì)獨(dú)立分析變量以及B矩陣的構(gòu)造究竟會(huì)產(chǎn)生什么樣的不利影響，引入統(tǒng)計(jì)模塊后能否避免，目前國(guó)內(nèi)外研究中鮮有這方面的詳細(xì)分析。此外，雖然統(tǒng)計(jì)方案與混合方案得到的熱帶風(fēng)、壓場(chǎng)約束遠(yuǎn)小于LBE給定的值，但統(tǒng)計(jì)過程中并未細(xì)化考慮不同赤道波動(dòng)的影響，那么其結(jié)果能否與基于赤道波動(dòng)模態(tài)的理論分析相符，也值得詳細(xì)對(duì)比與分析。針對(duì)該問題，?agar et al.（2004）做過單個(gè)個(gè)例的對(duì)比，其結(jié)果表明ECMWF變分系統(tǒng)的混合方案在對(duì)流層高層與波動(dòng)理論分析結(jié)果較為一致。為科學(xué)認(rèn)識(shí)引入統(tǒng)計(jì)模塊對(duì)構(gòu)造熱帶平衡約束的幫助，本文在引入混合方案后，將基于GRAPES-VAR對(duì)上述兩個(gè)問題做進(jìn)一步詳細(xì)分析。

本文第2節(jié)給出混合方案的基本框架以及統(tǒng)計(jì)模塊實(shí)施的主要技術(shù)細(xì)節(jié)；第3節(jié)基于GRAPES短期預(yù)報(bào)誤差樣本，分析了混合方案對(duì)獨(dú)立分析變量以及B矩陣構(gòu)造的影響；第4節(jié)則利用單點(diǎn)理想觀測(cè)試驗(yàn)考察了混合方案給定的熱帶風(fēng)、壓場(chǎng)平衡特征，并與研究I的理論分析結(jié)果作對(duì)比；第5節(jié)通過接近業(yè)務(wù)實(shí)際的同化循環(huán)與預(yù)報(bào)試驗(yàn)評(píng)估了混合方案對(duì)GRAPES同化預(yù)報(bào)性能的影響；最后第6節(jié)給出結(jié)論和討論。

2 混合方案的引入

2.1 方案設(shè)計(jì)

GRAPES-VAR采用增量形式的目標(biāo)函數(shù)，變量間的平衡約束在物理變換部分引入（莊世宇等，2005；薛紀(jì)善等，2008）。物理變換是針對(duì)B矩陣的預(yù)條件變換之一，通過抽取分析變量間的預(yù)報(bào)誤差協(xié)相關(guān)獲取一組誤差不相關(guān)的獨(dú)立分析變量（Bannister, 2008）。

目前，GRAPES-VAR的分析變量包括水平風(fēng)場(chǎng)（u，v），質(zhì)量場(chǎng)π（Exner函數(shù)，也稱無(wú)量綱氣壓）以及比濕q。由于緯向風(fēng)u與徑向風(fēng)v的預(yù)報(bào)誤差存在高度相關(guān)，利用赫姆霍茲速度分解定理將它們轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)風(fēng)和散度風(fēng)，分別用流函數(shù)ψ和勢(shì)函數(shù)χ表示。此外，本文關(guān)于平衡約束的討論不涉及水汽，為簡(jiǎn)化敘述將GRAPES-VAR的（動(dòng)力學(xué)）分析變量記為x=[ψ,χ,π]T。為構(gòu)造獨(dú)立分析變量，GRAPES-VAR采用旋轉(zhuǎn)風(fēng)ψ的全量表征大氣運(yùn)動(dòng)中的平衡部分，將質(zhì)量場(chǎng)π拆分為與ψ相平衡的πb以及非平衡的πu，并暫不考慮散度風(fēng)和其它變量間的相關(guān)，也即：式中，平衡算子N表達(dá)了旋轉(zhuǎn)風(fēng)與質(zhì)量場(chǎng)之間的平衡約束，也即抽取了ψ與π間的預(yù)報(bào)誤差協(xié)相關(guān)。新的獨(dú)立分析變量可以表示為x=[ψ,χ,π]T，同

u u化框架中假設(shè)它們之間不再相關(guān)。上述物理變換方案與英國(guó)氣象局變分系統(tǒng)一致（Lorenc et al.,2000），與ECMWF變分系統(tǒng)相比則缺少了散度風(fēng)與旋轉(zhuǎn)風(fēng)、質(zhì)量場(chǎng)之間的約束（Derber and Bouttier,1999），不過上述兩項(xiàng)均是小量，它們與本研究的關(guān)系將在討論部分給出。

在現(xiàn)有框架中，GRAPES-VAR采用線性平衡方程LBE求解算子N（下文將該方案稱作“LBE方案”）。目前，LBE方案在模式面（地形高度追隨坐標(biāo)面）上直接求解LBE，表達(dá)式（具體推導(dǎo)參見薛紀(jì)善等，2012）為

式中，cp是摩爾定壓熱容，θB是整層平均的背景場(chǎng)位溫，f是科氏參數(shù)。為下文比較的方便，這里將LBE方案計(jì)算得到的π的平衡部分記為了πb1，相應(yīng)的非平衡部分記為πu1。

研究I的理論分析表明，式（2）在熱帶地區(qū)并不適用，與實(shí)際情形相比其約束過強(qiáng)，因而會(huì)造成虛假平衡。為克服該問題，并保留LBE在中、高緯穩(wěn)健的優(yōu)點(diǎn)，本文引入動(dòng)力與統(tǒng)計(jì)混合平衡約束方案。混合方案將N算子的求解分為兩步實(shí)施：第一步是在模式面上利用原有的動(dòng)力學(xué)推導(dǎo)得到的平衡方程，目前就是式（2）給出的 LBE，逐層計(jì)算一個(gè)初步的平衡氣壓πb1；第二步是利用線性回歸統(tǒng)計(jì)得到的系數(shù)R（統(tǒng)計(jì)方法在下文給出）對(duì)πb1的垂直廓線作加權(quán)求和處理，得到最終的平衡氣壓πb2，其在第p層上的值為

式中，K為總的模式層數(shù)。從式（3）的表達(dá)可以看出，混合方案計(jì)算每一層上πb2時(shí)用到了所有層次上πb1的信息，但權(quán)重較大的主要為相鄰層次上的信息（見下文）?；旌戏桨敢牒?，π的非平衡部分也會(huì)發(fā)生相應(yīng)改變，被記為πu2。

式（3）與式（2）相結(jié)合，就構(gòu)成了變分框架中混合方案的主要計(jì)算公式，其結(jié)構(gòu)十分簡(jiǎn)明。不過，混合方案順利實(shí)施的關(guān)鍵在于統(tǒng)計(jì)得到一個(gè)實(shí)用、穩(wěn)健的系數(shù)R。

2.2 系數(shù)R的統(tǒng)計(jì)

統(tǒng)計(jì)R的值需要獲取一組短期預(yù)報(bào)誤差樣本，與研究I一樣仍采用NMC方法，也即采用模式預(yù)報(bào)到同一時(shí)刻，不同預(yù)報(bào)時(shí)效（48 h和24 h）的預(yù)報(bào)場(chǎng)的差值作為短期預(yù)報(bào)誤差的替代樣本（Parrish and Derber, 1992）。樣本獲取的具體設(shè)置與研究I相同，模式水平分辨率為1°×1°，垂直層次為36層。不過與研究I的理論分析工作不同，這里的系數(shù)R會(huì)在業(yè)務(wù)系統(tǒng)中被反復(fù)調(diào)用，需盡可能減小統(tǒng)計(jì)噪音的影響。為此，本文選取一年的NMC樣本，具體時(shí)間段為2009年12月至2010年11月。

NMC方法首先獲取的是模式預(yù)報(bào)變量u、v、π的短期預(yù)報(bào)誤差樣本，之后將u、v轉(zhuǎn)換為ψ，并進(jìn)而采用式（2）計(jì)算得到πb1的誤差樣本。在剔除π和πb1樣本中的時(shí)間平均后，逐層、逐緯圈建立如下的多元線性回歸模型：

逐層統(tǒng)計(jì)是考慮了大氣垂直分層對(duì)平衡特征的影響，例如研究I中不同層次上赤道波動(dòng)模態(tài)的比例有很大差異；逐緯圈統(tǒng)計(jì)是考慮科氏參數(shù)隨緯度變化對(duì)平衡約束的影響，這對(duì)于區(qū)分中、高緯和熱帶不同的大氣運(yùn)動(dòng)特征十分關(guān)鍵。

注意到，式（4）的多元回歸模型中，預(yù)報(bào)因子是K個(gè)層次上的πb1(k)。由于大氣具有三維連續(xù)性，臨近層次上πb1的值一般均比較接近，也即相鄰預(yù)報(bào)因子的相關(guān)系數(shù)很大。此時(shí)，統(tǒng)計(jì)求解會(huì)面臨所謂的多重共線性問題，統(tǒng)計(jì)結(jié)果嚴(yán)重依賴具體樣本，穩(wěn)健性差（Wilks, 2006）。為改善統(tǒng)計(jì)結(jié)果，這里與王瑞春等（2014）關(guān)于純粹統(tǒng)計(jì)方案的研究一樣，采用Lorenc et al.（2000）使用的嶺回歸方法（Ridge Regression method）替代經(jīng)典的多元線性回歸求解式（4）。關(guān)于該方法的詳細(xì)的討論可參考上述兩者的工作，這里不再展開。下面我們主要分析統(tǒng)計(jì)得到的系數(shù)R的基本特征。

圖1a給出了在第13層上（約為532 hPa）統(tǒng)計(jì)得到的回歸系數(shù)隨緯度變化的情況。從圖中可以看出，回歸系數(shù)在南北半球具有較好的對(duì)稱性。以北半球?yàn)槔治觯禂?shù)R的一個(gè)主要特征是大值區(qū)主要集中在與 13層相毗鄰的幾個(gè)層次上，也即混合方案計(jì)算得到的πb2主要由相鄰層次上的πb1加權(quán)求和得到，其他層次統(tǒng)計(jì)得到的情形與之類似。另一個(gè)主要特征是，從中、高緯向熱帶地區(qū)推進(jìn)時(shí)，R的值逐步減小。中、高緯地區(qū)R的數(shù)值較大，特別是在40°N北的地區(qū)；而從40°N逐漸向熱帶靠近的過程中，R的數(shù)值不斷減小，在赤道上已幾乎完全等于零。在該情形下，根據(jù)式（3），混合方案在熱帶計(jì)算得到的πb2將遠(yuǎn)小于LBE方案中的πb1。

對(duì)流層大部分區(qū)域的統(tǒng)計(jì)結(jié)果均與圖1a相近，但到平流層低層之后，熱帶地區(qū)的R值出現(xiàn)較大變化。圖1b給出了第28層（約為71 hPa）的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，其與圖1a的主要差異是赤道附近的R出現(xiàn)明顯的負(fù)值。根據(jù)研究I，熱帶地區(qū)70 hPa上，赤道羅斯貝波比例最小，Kelvin波比例大大增加，風(fēng)、壓場(chǎng)平衡特征由 Kelvin波主導(dǎo)。LBE主要表達(dá)赤道羅斯貝模態(tài)下的風(fēng)、壓場(chǎng)配置，與Kelvin波主導(dǎo)的情形相反，因而統(tǒng)計(jì)中系數(shù)R出現(xiàn)明顯負(fù)值。這種情形在平流層低層的其他層次上也有所表現(xiàn)，與研究I圖3b中赤道羅斯貝波比例大幅減小的層次相對(duì)應(yīng)。

另外，對(duì)比圖1兩幅圖可以發(fā)現(xiàn)，在中、高緯區(qū)域，28層統(tǒng)計(jì)得到R值要小于 13層的相應(yīng)值，北半球表現(xiàn)得更為明顯。說明即使在中、高緯區(qū)域，平流層LBE的適用性也要小于對(duì)流層中層。這一現(xiàn)象在多個(gè)業(yè)務(wù)中心關(guān)于B矩陣的統(tǒng)計(jì)分析中均有表現(xiàn)（Ingleby, 2001; Polavarapu et al., 2005），其具體原因仍有待進(jìn)一步研究。

至此，我們已經(jīng)給出了混合方案的基本公式和系數(shù)R的離線統(tǒng)計(jì)方案。根據(jù)R隨緯度變化的特征來看，熱帶地區(qū) LBE方案求得的πb1經(jīng)式（3）之后會(huì)被大幅減小。那么這對(duì)獨(dú)立變量以及B矩陣的構(gòu)造會(huì)產(chǎn)生什么樣的影響，下一節(jié)將具體分析。

3 混合方案對(duì)B矩陣構(gòu)造的影響

本文2.1節(jié)中已經(jīng)指出，風(fēng)、壓場(chǎng)的平衡約束是通過物理變換引入的，該變換將分析變量間的協(xié)相關(guān)關(guān)系（或稱平衡約束）以平衡算子的形式抽取出來，將它們轉(zhuǎn)換為獨(dú)立分析變量。理想的獨(dú)立分析變量的預(yù)報(bào)誤差間完全獨(dú)立，不存在交叉協(xié)相關(guān)，但這難以實(shí)現(xiàn)。在業(yè)務(wù)系統(tǒng)中，物理變換的目標(biāo)是尋找一組預(yù)報(bào)誤差協(xié)相關(guān)盡可能小的分析變量，并忽略該組變量間剩余的相關(guān)，也即假設(shè)它們之間相互獨(dú)立（下文稱為“獨(dú)立性假設(shè)”）（Parrish and Derber, 1992; Derber and Bouttier, 1999; 朱宗申和胡銘, 2002）。這樣的假設(shè)顯然會(huì)帶來誤差，而如果物理變換抽取的平衡約束關(guān)系越合理、全面，其設(shè)計(jì)的獨(dú)立分析變量間的誤差協(xié)相關(guān)越小，那么假設(shè)帶來的誤差也就越小。

圖1 模式（a）13層（約為532 hPa）和（b）28層（約為71 hPa）上根據(jù)式（4）統(tǒng)計(jì)得到的系數(shù)R的結(jié)構(gòu)（等值線間距0.02）Fig. 1 Structures of R in equation (4) at model levels (a) 13 (approx. 532 hPa) and (b) 28 (approx. 71 hPa), contour intervals are 0.02

圖2 模式13層的GRAPES短期預(yù)報(bào)誤差樣本中不同變量間的相關(guān)系數(shù)（r）（緯向平均值）Fig. 2 Zonally averaged correlation coefficients (r) between different variables of short-range forecast errors in GRAPES system at model level 13.ψandπrepresent original stream function and Exner pressure, respectively; πb1and πu1represent balanced and unbalanced Exner pressure in LBE (linear balance equation) scheme, respectively;πb2 andπu2represent balanced and unbalanced Exner pressure in hybrid scheme, respectively

基于獨(dú)立性假設(shè)，GRAPES-VAR中分析變量x=[ψ,χ,π]T對(duì)應(yīng)的B矩陣可以用獨(dú)立分析變量xu=[ψ,χ,πu]T以及平衡算子N來表示：

式中，C( ·)表示各獨(dú)立分析變量的自協(xié)方差矩陣，NC(ψ)和C(ψ)NT表示旋轉(zhuǎn)風(fēng)和質(zhì)量場(chǎng)間的交叉協(xié)方差矩陣，而NC(ψ)NT表示由旋轉(zhuǎn)風(fēng)和給定平衡約束導(dǎo)出的πb的自協(xié)方差矩陣（記為C(πb)），其與C(πu)累加后構(gòu)成分析變量π的自協(xié)方差矩陣（記為C(π)）。而根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，如果任意拆分π為πb與πu兩部分，那么C(π)應(yīng)該由三部分組成：C(πb)、C(πu)以及πb與πu的交叉協(xié)方差C(πb,πu)（黃嘉佑，2010）。之所以略去C(πb,πu)，其依據(jù)就是獨(dú)立性假設(shè)忽略了ψ與πu間的相關(guān)，那么由ψ線性導(dǎo)出的πb與πu間也就相互獨(dú)立，C(πb,πu)自然為零。通過這里的分析可以看出獨(dú)立性假設(shè)對(duì)B矩陣構(gòu)造十分重要，因而可以通過比較該假設(shè)成立的好壞分析不同方案的性能。

我們以對(duì)流層中層為例，圖2給出了短期預(yù)報(bào)誤差樣本中不同變量在北半球13層上的相關(guān)系數(shù)，均為緯圈平均值。其中，r(ψ,π) 給出的是分析變量ψ和π間的相關(guān)系數(shù)，可以看到其數(shù)值很大，需要采用物理變換將它們轉(zhuǎn)換為獨(dú)立分析變量。LBE方案獲得的r(ψ,πu1)與r(ψ,π)相比，中、高緯地區(qū)的相關(guān)被成功壓制，除極地以外的大部分地區(qū)已接近于零。這說明基于LBE的物理變換在中、高緯是成功的，獨(dú)立性假設(shè)能較好成立。然而，隨著緯度的減小，r(ψ,πu1)的絕對(duì)值逐漸增大，在熱帶地區(qū)已超過r(ψ,π) 相應(yīng)值，也即獲取的獨(dú)立分析變量間的相關(guān)反而超過了分析變量間的相關(guān)。注意到，r(ψ,πu1)的值在赤道上再次接近零值，這并非說明LBE方案在赤道附近變好，而是由于r(ψ,π)的值在南北半球符號(hào)相反，赤道附近的值本身為零。為進(jìn)一步說明問題，圖2b給出了r(πb1,πu1)的值，它在熱帶地區(qū)一直保持較大的負(fù)相關(guān)，赤道附近也是如此。上述情形說明，LBE方案中獨(dú)立性假設(shè)在熱帶地區(qū)不成立。

進(jìn) 一 步 的，考察混合方案中r(ψ,πu2)與r(πb2,πu2)值。在中、高緯地區(qū)，上述值與LBE方案表現(xiàn)相當(dāng)（北極附近的絕對(duì)值有所減?。?；而在熱帶地區(qū)以及副熱帶地區(qū)，它們的絕對(duì)值與 LBE方案相比大幅減小，更加接近于零。其原因在于，在式（4）的多元回歸模型中，最小二乘理論要求預(yù)報(bào)變量π的方差要等于回歸估計(jì)值πb2的方差與殘差πu2的方差之和，這也意味著πb2與πu2間的交叉協(xié)方差必須為零（黃嘉佑，2010）。注意到，圖2b中r(πb2,πu2)的值并不完全等于零，這是由于本文計(jì)算中采用嶺回歸替代了經(jīng)典回歸，方差最小原則有所放松。但總體而言，混合方案的確能更好地保證獨(dú)立性假設(shè)的成立，熱帶地區(qū)尤為如此。其他層次的情形與上述分析類似。

那么獨(dú)立性假設(shè)成立好壞對(duì)B矩陣量值的影響如何，我們通過對(duì)比兩個(gè)方案統(tǒng)計(jì)得到的預(yù)報(bào)誤差方差予以說明。由于兩個(gè)方案在中、高緯差異較小，這里主要關(guān)注熱帶地區(qū)。首先對(duì)比兩個(gè)方案統(tǒng)計(jì)得到的π平衡部分的預(yù)報(bào)誤差方差（圖3a），它們是根據(jù)同樣的ψ樣本經(jīng)不同的平衡約束獲取。如圖，混合方案πb2的方差要明顯小于LBE方案πb1的值，這可與圖1中系數(shù)R的值在熱帶地區(qū)接近零的情形相互印證。注意到，πb1的方差在許多層次上已超過了π樣本本身的方差值（黑色空心圈），而如果將πb1與πu1的方差的方差相加，得到 LBE方案系統(tǒng)中實(shí)際使用的π的誤差方差（見式（5）），其值更要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于NMC樣本值。這種不合理情形出現(xiàn)的原因在于，πb1和πu1在熱帶具有過高的負(fù)相關(guān)（見圖2b），兩者的交叉協(xié)方差（負(fù)值）已大到不可忽略。而混合方案由于引入統(tǒng)計(jì)模塊，πb2和πu2幾乎不相關(guān)，因而兩者方差的和恰好等于NMC樣本中π的方差。進(jìn)一步的，圖3b給出了π平衡部分方差占同化系統(tǒng)中實(shí)際使用的π總方差的比例，混合方案也要明顯小于LBE方案。

綜上，在熱帶地區(qū)，LBE方案由于存在虛假平衡問題，獨(dú)立性假設(shè)不成立；混合方案通過引入統(tǒng)計(jì)模塊保證了該假設(shè)的成立，系統(tǒng)中實(shí)際使用的π的總方差更真實(shí)反映了NMC樣本應(yīng)有值，π平衡部分方差及其占總方差的比例均明顯減小。那么這些變化對(duì)同化系統(tǒng)中的信息傳遞會(huì)產(chǎn)生什么樣的影響，下一節(jié)將通過單點(diǎn)理想觀測(cè)試驗(yàn)做進(jìn)一步考察。

圖3 GRAPES熱帶預(yù)報(bào)誤差樣本中（a）π（空心圈）和π平衡部分（黑色線）的預(yù)報(bào)誤差方差（單位：10-7），以及π平衡和非平衡部分的方差和（灰色線）（單位：10-7），(b)π平衡部分方差占同化系統(tǒng)中π總方差的比例。上述結(jié)果均為熱帶地區(qū)（20°S～20°N）的平均值，其中實(shí)線是LBE方案的結(jié)果，虛線是混合方案的結(jié)果Fig. 3 (a) Averaged forecast error variances of different variables in GRAPES system in the tropics (20°S-20°N) (units: 10-7) and (b) ratio of variances(variance of balanced π/ variance of totalπused in the assimilation system)

4 單點(diǎn)理想觀測(cè)試驗(yàn)

單點(diǎn)理想觀測(cè)試驗(yàn)是資料同化框架設(shè)計(jì)中考察、評(píng)估B矩陣結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單、有效方案。熱帶地區(qū)觀測(cè)以質(zhì)量場(chǎng)觀測(cè)為主，風(fēng)場(chǎng)直接觀測(cè)很少，這里主要考察給定理想氣壓觀測(cè)（均低于背景場(chǎng)1 hPa），LBE方案和混合方案強(qiáng)迫出的u風(fēng)分析增量（分析場(chǎng)減去背景場(chǎng)）的差異，并將這里的結(jié)果與研究 I的理論分析作對(duì)比。

圖4中理想觀測(cè)均位于模式13層的180°（經(jīng)度），而緯度分別設(shè)定為45.5°N、20.5°N和0.5°N?？梢钥吹?，在中、高緯45.5°N處，由于LBE本身適用性很好，混合方案加入統(tǒng)計(jì)模塊后對(duì)原有的平衡約束影響很小，兩個(gè)方案強(qiáng)迫出的u風(fēng)幾乎完全一致。而到了20.5°N，由于LBE適用性已不如中、高緯，混合方案對(duì)原有LBE做了一定程度削弱，強(qiáng)迫出的u風(fēng)比LBE方案已有一定程度的減小。再進(jìn)一步到赤道上，混合方案強(qiáng)迫出的u風(fēng)已遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于LBE方案，該區(qū)域上的風(fēng)、壓場(chǎng)分析接近獨(dú)立。這樣的結(jié)果與第2.2節(jié)和第3節(jié)對(duì)混合方案性能的分析是相對(duì)應(yīng)的，熱帶地區(qū)原有LBE給定的虛假平衡約束被大幅削弱。兩個(gè)方案中，由氣壓增量導(dǎo)出的v風(fēng)間的差異與u風(fēng)情形相一致。

圖4 理想氣壓觀測(cè)（低于背景場(chǎng)1 hPa）位于模式13層的180°（經(jīng)度）時(shí)強(qiáng)迫出的同一層上的u風(fēng)分析增量（單位：m s-1）：（a）、（c）、（e）LBE方案；（b）、（d）、（f）混合方案。緯度：（a、b）45.5°N；（c、d）20.5°N；（e、f）0.5°NFig. 4 Analysis increments (units: m s-1) of zonal wind at model level 13 generated by a simulated pressure observation that is 1 hPa lower than the background at the same level at 180°, and at (a, b) 45.5°N, (c, d) 20.5°N, (e, f) 0.5°N. (a), (c), (e) The results of the LBE scheme; (b), (d), (f) the results of the hybrid scheme

圖4中不同緯度上u風(fēng)分析增量的差異與Daley（1996）采用奇異向量方案削弱LBE虛假平衡的理論研究結(jié)果相一致（見其文中Fig. 7）。進(jìn)一步的，圖4中單點(diǎn)位于赤道的情形與研究I在該區(qū)域的理論分析結(jié)果也具有較好的對(duì)應(yīng)關(guān)系。LBE方案圖4e的結(jié)果與單純考慮赤道羅斯貝波情景下風(fēng)、壓場(chǎng)協(xié)相關(guān)特征（研究I的圖4a）相近，氣壓（或位勢(shì)高度h）與u風(fēng)間存在顯著負(fù)相關(guān)，且緯圈方向的相關(guān)尺度很大。而混合方案圖4f的結(jié)果雖未如研究I考慮所有赤道波動(dòng)模態(tài)后的情形那樣，h與u風(fēng)的相關(guān)轉(zhuǎn)為很弱的正值（研究I圖的5b），但協(xié)相關(guān)相對(duì)于單純羅斯貝波情形大幅減小至接近于零的特征是相符的。

與圖4e、4f一樣，圖5中單點(diǎn)觀測(cè)也位于0.5°N，但其垂直層次移到了第 28層上，也即由對(duì)流層中層移至了平流層低層。在圖5中，混合方案強(qiáng)迫出的u風(fēng)也是遠(yuǎn)小于LBE方案。然而，與圖4f不同的是，圖5b中強(qiáng)迫出了負(fù)的u風(fēng)增量。上述情形說明，在赤道平流層低層，混合方案中氣壓與u風(fēng)的協(xié)相關(guān)為正。這與圖1b中該區(qū)域負(fù)的R值相對(duì)應(yīng)，也與研究I中70 hPa上h與u正的協(xié)相關(guān)特征相一致（見研究I的圖6）。不過，與研究I的結(jié)果相比，這里給出的正相關(guān)偏小，結(jié)合圖4f未能表現(xiàn)弱的正相關(guān)，說明不區(qū)分具體波動(dòng)的混合方案可能只部分反映了短期預(yù)報(bào)誤差樣本中 Kelvin波的特征。

綜上，混合方案與LBE方案相比，質(zhì)量觀測(cè)信息向風(fēng)場(chǎng)傳遞的基本特征在中、高緯變化很小，但熱帶地區(qū)的傳遞范圍和量值均大幅度減小，風(fēng)、壓場(chǎng)分析接近獨(dú)立。上述情形與研究I的理論分析結(jié)果具有較好的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其對(duì)GRAPES的同化預(yù)報(bào)的影響將在下一節(jié)中給出。

5 同化循環(huán)與預(yù)報(bào)試驗(yàn)

5.1 同化結(jié)果檢驗(yàn)

為綜合考察混合方案性能，特別是其對(duì)熱帶風(fēng)場(chǎng)同化預(yù)報(bào)的影響，本文設(shè)計(jì)了接近實(shí)際業(yè)務(wù)的同化循環(huán)與預(yù)報(bào)試驗(yàn)。同化循環(huán)時(shí)段選取在2013年5月1日06時(shí)至31日18時(shí)，同化分析場(chǎng)經(jīng)數(shù)字濾波后提供給模式作為預(yù)報(bào)初始場(chǎng)，模式的6 h預(yù)報(bào)場(chǎng)又提供給同化系統(tǒng)作為下一時(shí)次分析的背景場(chǎng)，如此往復(fù)循環(huán)。預(yù)報(bào)模式以及同化內(nèi)、外循環(huán)分辨率均為 1°×1°，垂直層次為 36層。同化中使用的觀測(cè)資料包括了目前 GRAPES-VAR能業(yè)務(wù)使用的大部分常規(guī)和非常規(guī)觀測(cè)資料，具體情形見表1。

圖5 同圖4e、4f，但垂直層次移到了模式28層Fig. 5 As Figs. 4e and 4f, but for the results at model level 28

表1 同化循環(huán)試驗(yàn)中使用的觀測(cè)資料種類Table 1 Types of observations assimilated in the analysis cycle experiments

首先考察本文期望改善的熱帶地區(qū)的風(fēng)場(chǎng)分析效果。圖6給出了試驗(yàn)時(shí)段內(nèi)，熱帶地區(qū)（20°S～20°N）u風(fēng)分析的均方根誤差和偏差的垂直廓線，均相對(duì)FNL（final）再分析資料檢驗(yàn)得到。從圖中可以看出，LBE方案的u風(fēng)分析在平流層低層（50 hPa～70 hPa）出現(xiàn)了異常大的分析誤差和偏差，這與研究I給出的GRAPES短期誤差樣本中赤道羅斯貝波占比最小的區(qū)域剛好保持一致，LBE在該區(qū)域最不適用。而混合方案通過大幅削弱LBE在該區(qū)域的虛假平衡，顯著改進(jìn)了u風(fēng)分析效果。與之對(duì)應(yīng)，混合方案對(duì)該區(qū)域v風(fēng)分析也有明顯改進(jìn)。

LBE方案之所以在熱帶平流層低層出現(xiàn)異常大的風(fēng)場(chǎng)分析誤差，一方面當(dāng)然與其自身在該區(qū)域的虛假平衡有關(guān)。但另一個(gè)重要原因也必須指出，也即 GRAPES系統(tǒng)自身的氣壓預(yù)報(bào)在該區(qū)域存有一定的正偏差。圖7給出了第28層（約為71 hPa）上經(jīng)時(shí)間和緯圈平均的氣壓分析增量（Δp）和u風(fēng)分析增量（Δu）。可以看到，該區(qū)域Δp為一致的負(fù)值，根據(jù)圖5a給出的LBE方案的信息傳遞機(jī)制，會(huì)在赤道附近強(qiáng)迫出很強(qiáng)的正的Δu，使得u風(fēng)分析的正偏差不斷增加。而混合方案中Δp雖然仍為負(fù)值，但根據(jù)圖5b顯示的信息傳遞機(jī)制，其強(qiáng)迫出的Δu要小得多，且方向還發(fā)生了改變，變?yōu)樨?fù)的增量，這有助于控制該區(qū)域風(fēng)場(chǎng)的正偏差。

熱帶地區(qū)平流低層的模式偏差是 GRAPES發(fā)展過程中的現(xiàn)實(shí)問題，而同化系統(tǒng)中不合理的平衡約束LBE使得該問題在同化循環(huán)中被不斷放大?；旌戏桨竿ㄟ^給定合理的平衡約束減小了模式偏差的影響，使得整個(gè)GRAPES同化預(yù)報(bào)系統(tǒng)變得更為穩(wěn)健、可靠?；旌戏桨冈陲@著改善熱帶地區(qū)風(fēng)場(chǎng)分析效果的同時(shí)，也部分提高了該區(qū)域內(nèi)高度場(chǎng)和溫度場(chǎng)的分析效果，這可以從圖8中看出。

圖6 2013年5月，熱帶地區(qū)（20°S～20°N）u風(fēng)分析相對(duì)于FNL再分析資料的（a）均方根誤差（RMSE）與（b）偏差（Bias）Fig. 6 Analysis verification scores of u wind in the tropics (20°S-20°N) for the period of May 2013: (a) RMSE; (b) bias. Analysis results for each experiment were verified against FNL (final) data

圖7 2013年5月，模式28層上的（a）氣壓分析增量（Δp）和（b）u風(fēng)分析增量（Δu）的緯向、時(shí)間平均值Fig. 7 Zonal and time averages of (a) pressure and (b) u wind analysis increments at model level 28 for the period of May 2013

圖8 2013年5月，熱帶地區(qū)（20°S～20°N）位勢(shì)高度分析（a）和溫度分析（b）相對(duì)于FNL再分析資料的均方根誤差（RMSE）Fig. 8 Analysis (a) geopotential height and (b) temperature RMSE in the tropics (20°S-20°N) for the period of May 2013. Analysis resultsfor each experiment were verified against FNL (final) data

與LBE方案相比，混合方案對(duì)赤道外地區(qū)的同化分析呈中性偏正的效果，這可從下文針對(duì)預(yù)報(bào)效果的檢驗(yàn)中一并看出。另外，值得補(bǔ)充說明的是，混合方案中的系數(shù)R是事先離線統(tǒng)計(jì)好的，同化系統(tǒng)直接使用，增加統(tǒng)計(jì)模塊對(duì)同化分析的耗時(shí)影響很小，在多核并行條件下幾乎可以忽略。

5.1 預(yù)報(bào)結(jié)果檢驗(yàn)

利用上述同化循環(huán)得到的分析場(chǎng)，在每天 12時(shí)（UTC）做 72小時(shí)預(yù)報(bào)，進(jìn)一步檢驗(yàn)混合方案對(duì)GRAPES預(yù)報(bào)性能的影響。這里預(yù)報(bào)效果的檢驗(yàn)也是相對(duì)于FNL再分析資料進(jìn)行的，具體指標(biāo)采用中國(guó)氣象局?jǐn)?shù)值預(yù)報(bào)中心的標(biāo)準(zhǔn)化預(yù)報(bào)檢驗(yàn)工具GETv1.01計(jì)算得到。

首先檢驗(yàn)赤道外地區(qū)（20°N～90°N，20°S～90°S）的情形，表2給出了兩個(gè)方案的72 h預(yù)報(bào)場(chǎng)在對(duì)流層中層（500 hPa）和高層（100 hPa）常用檢驗(yàn)指標(biāo)上的對(duì)比。為方便比較，表2給出的是混合方案的相對(duì)提高率，對(duì)于距平相關(guān)（Anomaly Correlation, AC）而言，計(jì)算方法是混合方案的評(píng)分減去LBE方案的評(píng)分，結(jié)果除以LBE方案的評(píng)分；而對(duì)于均方根誤差（RMSE）而言，計(jì)算方法是LBE方案的值減去混合方案的值，結(jié)果除以LBE方案的值。根據(jù)上述計(jì)算方式，表中正值表示引入混合方案后有正效果，負(fù)值表示有負(fù)效果。從表2中可以看出，混合方案在赤道外區(qū)域與 LBE方案差異很小，表現(xiàn)為略微偏正的效果，這與前文討論的LBE本身在中、高緯適用性較好，引入統(tǒng)計(jì)模塊后對(duì)其修正很小的結(jié)論相一致。

表2 赤道外地區(qū)（20°N～90°N，20°S～90°S）72 h 預(yù)報(bào)場(chǎng)中，混合方案與LBE方案相比，距平相關(guān)（AC）的相對(duì)提高率以及RMSE的相對(duì)減小率Table 2 Rate of AC (anomaly correlation) scores increase and RMSE decrease in hybrid scheme compared to LBE scheme for 72-h forecasts in the extratropics (20°N-90°N，20°S-90°S)

對(duì)于熱帶地區(qū)風(fēng)場(chǎng)而言，經(jīng)72 h預(yù)報(bào)之后，混合方案較 LBE方案仍有明顯改進(jìn)，這可以從表3看出。與圖6針對(duì)分析結(jié)果的檢驗(yàn)相一致，混合方案對(duì)高層風(fēng)場(chǎng)的改進(jìn)大于低層，平流層低層的改進(jìn)尤為明顯。在出現(xiàn)分析異常的50 hPa上，混合方案中u風(fēng)72 h預(yù)報(bào)場(chǎng)的均方根誤差要比LBE方案小一半以上，v風(fēng)相應(yīng)值也大幅減小，LBE方案中虛假平衡造成的同化預(yù)報(bào)異常被基本消除。

表3 赤道地區(qū)（20°S～20°N）72 h預(yù)報(bào)場(chǎng)中，與LBE方案相比，混合方案風(fēng)場(chǎng)RMSE的相對(duì)減小率Table 3 Rate of RMSE decrease in hybrid scheme compared to LBE scheme for 72-h forecasts in the tropics(20°S-20°N)

6 結(jié)論與討論

針對(duì)線性平衡方程LBE作為風(fēng)、壓場(chǎng)平衡約束在熱帶應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)的虛假平衡問題，本文在GRAPES-VAR中引入了動(dòng)力與統(tǒng)計(jì)混合平衡約束方案，以改善熱帶地區(qū)風(fēng)場(chǎng)的分析效果。混合方案分為兩步來實(shí)施：第一步利用LBE根據(jù)流函數(shù)ψ逐層計(jì)算初步的平衡氣壓πb1；第二步利用逐層、逐緯圈統(tǒng)計(jì)得到的系數(shù)R對(duì)πb1的垂直廓線做加權(quán)處理，以得到最終平衡氣壓πb2。統(tǒng)計(jì)樣本采用NMC方法獲得，樣本長(zhǎng)度達(dá)到一年，回歸方案采用嶺回歸技術(shù)。通過樣本統(tǒng)計(jì)與數(shù)值試驗(yàn)，主要得到以下結(jié)論：

（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)得到的系數(shù)R，混合方案求得的πb2主要由與其相鄰幾層的πb1加權(quán)求和得到，相距較遠(yuǎn)層次上的權(quán)重很小。而從R在不同緯度上的變化來看，熱帶地區(qū)的值與中、高緯相比大幅度減小，在對(duì)流層中層其數(shù)值接近于零，而在平流層低層轉(zhuǎn)為負(fù)值。上述情形表明，在熱帶地區(qū)，混合方案第一步采用 LBE引入的虛假平衡會(huì)在第二步的統(tǒng)計(jì)模塊被大大削弱。

（2）變分同化中B矩陣構(gòu)造的一個(gè)基本假設(shè)是：獨(dú)立分析變量間的預(yù)報(bào)誤差不相關(guān)。LBE方案在中、高緯能較好的保證假設(shè)的成立，但其在熱帶獲得的獨(dú)立分析變量高度相關(guān)，假設(shè)完全不成立?；旌戏桨竿ㄟ^引入統(tǒng)計(jì)模塊，減小了LBE在熱帶使用時(shí)的虛假平衡，保證了該區(qū)域內(nèi)假設(shè)的成立。這樣的差異使得，混合方案在熱帶地區(qū)實(shí)際使用的π的總方差更真實(shí)的反映了NMC樣本應(yīng)有情形，π平衡部分方差及其占總方差的比例都要明顯減小。

（3）單點(diǎn)理想觀測(cè)試驗(yàn)的結(jié)果表明，與 LBE方案相比，混合方案對(duì)中、高緯風(fēng)、壓場(chǎng)協(xié)相關(guān)修正很小，但大幅減小了熱帶地區(qū)風(fēng)、壓場(chǎng)的約束程度，兩者分析接近獨(dú)立。這一結(jié)果與研究I中基于赤道波動(dòng)模態(tài)的理論分析結(jié)果相匹配。尤其是在平流層低層，新方案能部分反映該區(qū)域風(fēng)、壓場(chǎng)協(xié)相關(guān)由Kelvin波主導(dǎo)的特征。

（4）2013年5月的同化循環(huán)與72 h預(yù)報(bào)試驗(yàn)結(jié)果表明，混合方案在赤道外地區(qū)呈中性偏正效果；而在熱帶地區(qū)，混合方案通過減小虛假平衡，避免了質(zhì)量觀測(cè)信息向風(fēng)場(chǎng)分析的不合理傳播，提高了同化系統(tǒng)的穩(wěn)健程度，進(jìn)而顯著改善了該區(qū)域內(nèi)風(fēng)場(chǎng)的同化預(yù)報(bào)效果，平流層低層的效果最為顯著，LBE方案在該區(qū)域的同化預(yù)報(bào)異常被基本消除。

在本文撰寫期間，混合方案由于整體性能較優(yōu)，已被GRAPES平行試驗(yàn)系統(tǒng)選為平衡約束的首選方案。不過本文研究主要針對(duì)現(xiàn)有N算子進(jìn)行了優(yōu)化，未涉及散度風(fēng)與旋轉(zhuǎn)風(fēng)以及散度風(fēng)和質(zhì)量場(chǎng)間的平衡約束算子（分別記為M和L）。關(guān)于M算子對(duì)GRAPES-VAR的影響，我們已做初步研究，它的作用主要集中于中、高緯邊界層上，對(duì)熱帶地區(qū)的分析影響很?。ㄍ跞鸫旱?，2012）。而對(duì)于L算子，Derber and Bouttier（1999）研究表明它對(duì)熱帶地區(qū)同化分析具有一定影響，但Chen et al.（2013）的工作表明，引入L算子對(duì)WRF在熱帶地區(qū)的預(yù)報(bào)效果影響很小。后續(xù)工作中將研究和評(píng)估L算子對(duì)GRAPES-VAR同化預(yù)報(bào)的影響。

最后，從本研究工作中可以看出，熱帶地區(qū)風(fēng)、壓場(chǎng)間的聯(lián)系要遠(yuǎn)小于中、高緯。這也意味著，熱帶地區(qū)的風(fēng)場(chǎng)分析難以從大量衛(wèi)星質(zhì)量觀測(cè)中獲取有用信息。為根本改善該區(qū)域風(fēng)場(chǎng)分析就需要進(jìn)一步挖掘云導(dǎo)風(fēng)的潛力，并高度關(guān)注有關(guān)國(guó)際組織的星載多普勒雷達(dá)直接測(cè)風(fēng)計(jì)劃（Riishojgaard et al., 2012）。

致謝 感謝中國(guó)氣象局?jǐn)?shù)值預(yù)報(bào)中心各位專家老師給予本研究的指導(dǎo)和幫助，感謝兩位匿名審稿專家和編輯老師對(duì)文章提出的寶貴意見。

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