一類(lèi)高階線性微分方程解的超級(jí)估計(jì)

范水平，陳宗煊

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣州510631)

1 引言和主要結(jié)果

本文假設(shè)讀者熟悉亞純函數(shù)的值分布理論和標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)［1－2］，σ(f)和σ2(f)分別表示亞純函數(shù)的增長(zhǎng)級(jí)和超級(jí). 為了更精確地估計(jì)微分方程解的增長(zhǎng)性，首先回顧以下定義.

定義1［3］假設(shè)f(z)是復(fù)平面上的亞純函數(shù)，

則f(z)的超級(jí)σ2(f)定義為

定義2［4］給定一個(gè)集合E，它的線測(cè)度和對(duì)數(shù)測(cè)度分別定義為

本文考慮微分方程

其中Hj(z)為整函數(shù). 當(dāng)k=2 時(shí)，方程為

其中H1(z)或H0(z)是超越整函數(shù). 如果f1和f2是方程(2)的2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則f1和f2中至少有1個(gè)具有無(wú)窮級(jí)［5］. 另一方面，對(duì)于方程(2)，存在具有有窮級(jí)解的情況. 例如:f=e－z滿足方程

對(duì)于方程(2)，一個(gè)很自然的問(wèn)題:Hj(z)(j =0，1)需要滿足什么條件才能保證方程(2)的每個(gè)解f 具有無(wú)窮級(jí)?關(guān)于這方面的工作已經(jīng)有很多，Gundersen［6］、Hellerstein 等［7－8］研究了此類(lèi)方程的非平凡解具有無(wú)窮級(jí)的條件，列舉如下:

(i)σ(H1(z))＜σ(H0(z))＜1/2;

(ii)H1(z)是多項(xiàng)式，H0(z)是超越整函數(shù).

更多的結(jié)果可參考文獻(xiàn)［7］、［9］、［10］，對(duì)進(jìn)一步研究整函數(shù)系數(shù)微分方程解的無(wú)窮級(jí)的精確估計(jì)具有一定的價(jià)值.

對(duì)于高階齊次線性微分方程(1)，當(dāng)方程系數(shù)滿足什么條件可以保證方程的每個(gè)非零解具有無(wú)窮級(jí)?如何更加精確地估計(jì)無(wú)窮級(jí)解的增長(zhǎng)性?2003年，Chen［11］進(jìn)行了研究，并得到:

定理1［11］假設(shè)aj(j =0，1，…，k－1)是復(fù)數(shù)，存在as和al，使得l ＞s，as=dseiφ，al=－dleiφ，ds＞0，dl＞0，對(duì)j≠s，l，aj=djeiφ(dj≥0)或aj=－djeiφ，max{dj;j≠s，l}=d ＜min{ds，dl}，如果Hj=hjeajz，hj是多項(xiàng)式，且hshl?0，則微分方程(1)的每個(gè)超越解f 滿足σ(f)=∞且σ2(f)=1.

2005年，江良英和陳宗煊［12］繼續(xù)研究方程(1)的解的增長(zhǎng)性，并得到:

定理2［12］假設(shè)Hj(z)=hj(z)ePj(z)(j =0，1，…，k－1)，Pj(z)是首項(xiàng)系數(shù)為aj的n (n≥1)次多項(xiàng)式，hj(z)為整函數(shù)，σ(hj(z))＜n，aj是復(fù)數(shù)，存在as和al，使得l ＞s，as=dseiφ，al=－dleiφ，ds＞0，dl＞0. 對(duì)j≠s，l，aj=djeiφ(dj≥0)或aj=－djeiφ，max{dj;j≠s，l}=d ＜min{ds，dl}，hshl?0，則微分方程(1)的每個(gè)超越解f 滿足σ(f)=∞.

本文繼續(xù)研究方程(1)，得到了方程(1)的非零解的超級(jí)的精確估計(jì)，得到如下結(jié)果.

定理3 假設(shè)Hj(z)=hj(z)ePj(z)(j =0，1，…，k－1)，Pj(z)=ajzn，hj(z)為整函數(shù)且σ(hj(z))＜n，aj是復(fù)數(shù)，存在as和al，使得l ＞s，as=dseiφ，al=－dleiφ，ds＞0，dl＞0，對(duì)j≠s，l，aj=djeiφ(dj≥0)或aj=－djeiφ，max{dj;j≠s，l}=d ＜min{ds，dl}，hshl?0，則微分方程(1)的每個(gè)超越解f 的超級(jí)滿足σ2(f)=n.

定理4 假設(shè)Hj(z)=hj(z)ePj(z)(j =0，1，…，k－1)，Pj(z)=ajzn，hj(z)為整函數(shù)且σ(hj(z))＜n，aj是復(fù)數(shù)，存在as和al，使得l ＞s，as=dseiφ，al=－dleiφ，ds＞0，dl＞0，對(duì)j≠s，l，aj=djeiφ(dj≥0)或aj=－ djeiφ，max{dj;j≠s，l}= d ＜min{ds，dl}，hshl?0，gj(j =0，1，…，k－1)是多項(xiàng)式，則微分方程

的每個(gè)超越解f 滿足σ(f)=∞及σ2(f)=n.

2 證明所需要的引理

引理1［11］假設(shè)Aj(j =0，1，…，k－1)是有窮級(jí)整函數(shù)，若f 是方程

引理2［11］假設(shè)f(z)是一個(gè)具有無(wú)窮級(jí)的整函數(shù)且σ2(f)=α ＜+∞，E?［1，∞)具有有窮對(duì)數(shù)測(cè)度，則存在一個(gè)無(wú)窮點(diǎn)列{zk= rkeiθk}(k =1，2，…)，使得|f(zk)| =M(rk，f)，θk［0，2π)}，=θ0［0，2π)，rkE，rk→∞和對(duì)任意的ε ＞0 和充分大的rk，有

其中v(rk)是f(z)的中心指標(biāo).

引理3［11］假設(shè)f(z)是超越整函數(shù)，則存在對(duì)數(shù)測(cè)度為有限的集合E?{(1，∞)}，使得當(dāng)我們?nèi)滿足|z| =r(［0，1］∪E)，|f(z)| =M(r，f)時(shí)，有

引理4［13］假設(shè)f(z)是超越亞純函數(shù)，Γ ={(i1，j1)，…，(im，jm)}是一個(gè)由整數(shù)對(duì)所構(gòu)成的有限集合且滿足jn＞in≥0 (n =1，…，m)，α ＞1，ε＞0 是給定的常數(shù). 則下列結(jié)論成立:

(i)存在一個(gè)具有線測(cè)度為零的集合E1?［0，2π)，且存在僅依賴于α 與Γ 的常數(shù)B ＞0，使得對(duì)于ψ0(［0，2π)－E1)，存在一個(gè)常數(shù)R0=R0(ψ0)＞0，對(duì)所有滿足|z|≥R0，arg z=ψ0的z 和(i，j)Γ，有

(ii)存在一個(gè)具有有窮對(duì)數(shù)測(cè)度的集合E2?［1，∞)，且存在僅依賴于α 與Γ 的常數(shù)B ＞0，使得對(duì)所有滿足|z|(E2∪［0，1］)的z 和(i，j)Γ，(i)的結(jié)論成立;

(iii)存在一個(gè)具有有窮線測(cè)度的集合E3?［1，∞)，且存在僅依賴于α 與Γ 的常數(shù)B ＞0，則對(duì)所有滿足|z|(E3∪［0，1］)的z 和(i，j)Γ，有

引理5［14］假設(shè)P(z)=deiφzn+…(d ＞0)是一個(gè)n (n≥1)次多項(xiàng)式，A(z)(?0)是整函數(shù)且σ(A)＜n，假設(shè)g(z)=A(z)eP(z)，z =reiθ，那么對(duì)任意給定的ε ＞0，存在線測(cè)度為零的集合H1?［0，2π)，滿足對(duì)任意θ(［0，2π)－(H1∪H2))，存在R ＞0，對(duì)所有滿足|z| =r ＞R 的z，下列情形之一成立:

其中H2={θ［0，2π);cos(φ+nθ)=0}是有限集.

引理6［15］假設(shè)g:(0，∞)→R，h:(0，∞)→R，二者都是單調(diào)遞增函數(shù)，除去一個(gè)對(duì)數(shù)測(cè)度有限的例外集E 外滿足g(r)≤h(r)，則對(duì)于任意α ＞1，存在r0＞0，使得對(duì)所有r ＞r0，g(r)≤h(αr)成立.

3 定理的證明

定理3 的證明 假設(shè)f(z)是方程(1)的超越解，由引理1 可知，σ2(f)≤n，只需要證明σ2(f)≥n.

由定理2 可知，σ(f)=∞. 若方程(1)的系數(shù)如定理3 所假設(shè)，我們斷言:方程(1)的非零解f 的超級(jí)均滿足σ2(f)=n.

我們采用反證法. 假設(shè)σ2(f)=α ＜n，下面證明假設(shè)不成立，從而完成定理的證明.

由引理4，存在一個(gè)具有有限對(duì)數(shù)測(cè)度的集合E1?［1，∞)，且存在僅依賴于α 與Γ 的常數(shù)B ＞0，使得對(duì)所有滿足|z|(E1∪［0，1］)的z 和(i，j)Γ，下列不等式成立(取α=2):

由Wiman-Valiron 理論，有:

由引理2，可以選取一個(gè)點(diǎn)列{zm=rmeiθm}(m=1，2，…)，使得|f(zm)| = M(rm，f)，θm［0，2π)}，［0，2π)，rm(［0，1］∪E1∪E2)，rm→∞，對(duì)于任給的ε1(0 ＜3ε1＜min{1－α，(ds－d)/ds})和充分大的rm，有

令Ps(z)=aszn，Pl(z)=alzn，as=dseiφ，al=－dleiφ，z = reiθ0. 對(duì)于上面的θ0，有Re{aszn}=dsrncos(φ +nθ0)，Re{alzn}=－dlrncos(φ +nθ0).對(duì)于cos(φ+nθ0)，有3 種情形:(i)cos(φ+nθ0)＞0;(ii)cos(φ+nθ0)＜0;(iii)cos(φ+nθ0)=0.

下面分別考慮這3 種情形.

情形(i):cos(φ+nθ0)＞0. 由式(1)，有

對(duì)于充分大的m，θm→θ0，cos(φ+nθm)＞0. 由引理5 可知，對(duì)于任意的ε ＞0，存在一個(gè)線測(cè)度為零的集合H1?［0，2π)，滿足對(duì)任意θ(［0，2π)－(H1∪H2))，其中H2={θ［0，2π);cos(φ+nθ)=0}，存在R1＞0，使得對(duì)所有滿足|z| =r ＞R1的z及充分大的m，可知θm滿足

由引理3，存在對(duì)數(shù)測(cè)度為有限的集合E3?(1，∞)，使得取zm滿足|zm| =rm(［0，1］∪E3)，|f(zm)| =M(rm，f)時(shí)，有

對(duì)于點(diǎn)列{zm=rmeiθm}，由式(4)、(8)～(11)，當(dāng)m 充分大時(shí)，可得

故有

由式(13)及引理6，立即得到σ2(f)≥n.

情形(ii):cos(φ+nθ0)＜0. 用hlealzn代替hseaszn并且用情形(i)中相同的理由，可以得到σ2(f)≥n.

情形(iii):cos(φ+nθ0)=0. 由于zm=rmeiθm滿足對(duì)于充分大的m，rm→∞，θm→θ0，射線arg w =φ+nθ0是}(j=0，…，k－1)的一條漸近線，故存在N ＞0，當(dāng)n ＞N 時(shí)，由，對(duì)j=0，…，k－1，有

其中M1和M2是2個(gè)正常數(shù). 由式(1)、(5)和式(14)，有

式(16)與式(6)矛盾. 故假設(shè)不成立.

結(jié)合引理1，σ2(f)=n. 證畢.

定理4 的證明 運(yùn)用類(lèi)似定理3 的證明方法，可以證明定理4.

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