奇偶函數(shù)在對稱區(qū)域上的曲線積分公式及其證明

郭高榮，燕艷菊

（安陽工學院數(shù)理學院，河南安陽 455000）

奇偶函數(shù)在對稱區(qū)域上的曲線積分公式及其證明

郭高榮，燕艷菊

（安陽工學院數(shù)理學院，河南安陽 455000）

探討了奇偶函數(shù)在對稱區(qū)域上的第一類曲線積分公式和第二類曲線積分公式，并給出了積分公式的證明，以簡化某些積分的運算。

第二類曲線積分；對稱性；奇函數(shù)；偶函數(shù)

引言

針對幾種不同版本的《高等數(shù)學》教材上曲線積分、曲面積分計算，都有利用對稱性簡化運算的例題和習題，可是在這些教材中根本沒有與之相應(yīng)的定理和定理的證明。文獻[1]研究了二元奇偶函數(shù)在對稱區(qū)域上的積分公式及其證明，沒有研究曲線積分；文獻[2]對計算某些特殊的第二類平面曲線積分進行了研究；文獻[3]對對稱弧段上的對弧長的曲線積分進行了研究；文獻[4]，[5],[6]研究對稱性在曲線積分及曲面積分計算中的應(yīng)用和教學探討，但都沒有研究奇偶函數(shù)在有向平面曲線和空間上的第二類曲線的積分計算，文獻[7]中沒有討論函數(shù)關(guān)于原點中心對稱的情況，本文對此進行了一些研究，同時在這些參考文獻中，有關(guān)函數(shù)關(guān)于坐標原點中心對稱的定義存在錯誤之處，本文給出更準確的定義.

1計算第一類曲線積分的對稱性方法

定理1設(shè)函數(shù)f(x,y)在分段光滑的平面曲線L上連續(xù)，如果

1）L=L1+L2,L1,L2關(guān)于坐標軸x=0(或y=0)對稱，則

2）L關(guān)于坐標原點中心對稱，L1={} (x,y)∈L,x≥0,y≥0，則

證明：設(shè)L關(guān)于y軸對稱L：y=y(x)，-a≤x≤a，由y(-x)=y(x)，有

同理可以證明L關(guān)于坐標軸y=0對稱，由定理1的1）的結(jié)論容易得到定理1的2）的結(jié)論.

如果把定理1從平面上推廣到空間上，則有如下結(jié)論：

定理2設(shè)函數(shù)f(x,y,z)在空間分段光滑的曲線上L連續(xù)，如果L關(guān)于坐標面

x=0(y=0，z=0)對稱，則

其中L1={}

(x,y,z)∈L,x≥0(y≥0;z≥0).

2 計算第二類曲線積分的對稱性方法

定理3設(shè)函數(shù)P(x,y)在分段光滑的有向平面曲線L上連續(xù)，L1,L2與L同向，如果

1）L=L1+L2,L1,L2關(guān)于坐標軸x=0對稱，則

2）L=L1+L2,L1,L2關(guān)于坐標軸y=0對稱，則

3）L關(guān)于坐標原點中心對稱，L1={} (x,y)∈L,x≥0,y≥0，L1與L同向，則

證明：

1)設(shè)L：y=y(x)關(guān)于坐標軸x=0對稱，由y(-x)=y(x)，有

2)設(shè)L關(guān)于坐標軸y=0對稱，L1：y=y1(x)，L2：y=y2(x)，由于y1（x）=-y2(x)，可以得到如下等式：

由定理2的1）、2）的結(jié)論容易得到定理2的3）的結(jié)論。

同理可以證明

定理4設(shè)函數(shù)Q(x,y)在分段光滑的有向平面曲線L上連續(xù)，L1,L2與L同向，如果

1）L=L1+L2,L1,L2關(guān)于坐標軸x=0對稱，則

2）L=L1+L2,L1,L2關(guān)于坐標軸y=0對稱，則

3）L關(guān)于坐標原點中心對稱，L1={} (x,y)∈L,x≥0,y≥0，L1與L同向，則

注明1：二元Q(x,y)關(guān)于坐標原點中心對稱，本文中定義Q(-x,y)=Q(x,-y)=Q(x,y)，而在文獻1,4中的定義是Q(-x,-y)=Q(x,y)，舉反例：Q(x,y)=xy，按照文獻1,4中的定義，這個函數(shù)既是x又是y的奇函數(shù)，同時又是xy的偶函數(shù)，矛盾.

注明2：本文中f(x,y,z)可以簡記為f.

[1]張青娥,郝新生.二元奇偶函數(shù)在對稱區(qū)域上的積分公式及其證明[J].數(shù)學的實踐與認識，2005,35(5).

[2]時統(tǒng)業(yè),周本虎.第二類平面曲線積分的對稱性質(zhì)及其應(yīng)用[J].高等數(shù)學研究，2006，9(2)：25-29.

[3]晉慧峰，張福偉.對稱弧段上的對弧長的曲線積分的研究[J].太原理工大學學報，2011，42(3)：320-322.

[4]紀榮芳,婁本平.對稱性在曲線積分及曲面積分計算中的應(yīng)用[J].泰山學院學報，2004，26(3):11-14.

[5]程希旺.對稱性在曲線積分和曲面積分計算中的應(yīng)用[J].遵義師范學院學報，2007，9(5)：72-75.[6]江蓉，王守中.關(guān)于曲線積分與曲面積分教學的探討[J].西南師范大學學報（自然科學版），2012，37（2）:142-146.

[7]王慧，葉永升.對稱性在兩類曲線積分中的應(yīng)用[J].淮北師范大學學報(自然科學版)，2011，32（4）：72-75.

[8]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（下）[M].北京：高等教育出版社，2007，185-200.

Curvilinear Integral Formulae and Demonstration of Odd-even Function in Symmetric Area

GUO Gaorong,YAN Yanju
(Faculty of Science,Anyang Institute of Thechnology,Anyang 455000,China)

In this paper,first curvilinear integra formulae and second curvilinear integra formulae of odd-even function in Symmetric area are discussed.The integral formulae of two-variable odd-even function in Symmet?ric area are obtained and the integral formulae are demonstrated to simplify the calculation of some integral.

second curvilinear integra;symmetry;odd function;even function

G642

A

1673-2928（2015）06-0088-03

(責任編輯：郝安林）

2015-07-26

2014年安陽工學院教學項目（基于應(yīng)用型人才培養(yǎng)的具有專業(yè)特色的大學數(shù)學教學研究與實踐）。

郭高榮(1978-),女,河南省汝南縣人，安陽工學院講師,碩士,從事偏微分方程研究。