雙纜多跨懸索橋力學性能及主纜用鋼量研究

柴生波+王秀蘭+任翔

摘要：為了進一步明確雙纜多跨懸索橋的力學和經(jīng)濟性能，比較了雙纜多跨懸索橋與傳統(tǒng)多跨懸索橋在活載作用下的加勁梁變形及橋塔受力，分析了二者主纜用鋼量的差異；擬定雙纜體系與傳統(tǒng)體系的四塔三跨懸索橋有限元模型，分別計算了活載作用下的結(jié)構(gòu)變形及受力。研究結(jié)果表明：雙纜懸索橋體系的主纜縱向剛度可達傳統(tǒng)懸索橋體系的2～4倍甚至更高，雙纜體系縱向剛度與上纜和下纜的垂度及恒載在上下纜之間的分配比例有關，雙纜體系主纜用鋼量與傳統(tǒng)體系相當；在橋塔抗推剛度相對較低的情況下，雙纜多跨懸索橋在活載作用下的加勁梁撓度及塔底彎矩均遠小于傳統(tǒng)多跨懸索橋體系，采用雙纜體系可有效增大多跨懸索橋的結(jié)構(gòu)剛度。

關鍵詞：懸索橋；雙纜；多跨；力學性能；用鋼量

中圖分類號：U448.25 文獻標志碼：A

0 引 言

進入21世紀，跨海橋梁不斷涌現(xiàn)，橋梁的跨度紀錄被不斷刷新，現(xiàn)有橋梁結(jié)構(gòu)的跨越能力已經(jīng)接近極限，迫切需要發(fā)展新型超大跨度橋梁結(jié)構(gòu)[1-2]。Gimsing[3]曾設想過一種雙主纜懸索橋結(jié)構(gòu)，在同一索面采用垂度不同的2根主纜，2根主纜用吊索相連，下纜通過吊索與橋面相連，或者上纜與下纜分別與橋面直接相連。然而，目前對雙纜體系的研究不多，雙纜體系是否適合于建造多跨懸索橋尚待進一步研究。

雙纜體系在多跨懸索橋中重要的潛在應用價值引起眾多學者的關注，對其力學特性已經(jīng)有初步研究。陳艾榮等[4]分析了幾種有可能用于多跨懸索橋的新型纜索體系，認為雙纜體系具有良好的剛度特性，非常適合于建造多跨懸索橋。張新軍等[5]研究了雙纜體系的抗風穩(wěn)定性，認為采用雙纜體系的三塔懸索橋相比于傳統(tǒng)的三塔懸索橋可以改善結(jié)構(gòu)的抗風穩(wěn)定性。張勁泉等[6]指出Gimsing關于均布荷載作用下雙纜受力的研究結(jié)論是錯誤的，雙纜體系在大跨度懸索橋中是否適用尚需進一步論證。柴生波等[7-9]研究了均布荷載作用下雙纜的受力，推導了雙纜體系對橋塔的縱向約束剛度。Gimsing等[10]對比了雙纜多跨懸索橋與傳統(tǒng)三塔懸索橋體系主纜用鋼量，認為雙纜體系主纜用鋼量將比傳統(tǒng)體系多約20%，橋塔材料用量減小約15%。肖汝誠[11]研究了活載作用下雙纜多跨懸索橋的變形及橋塔受力，認為多跨懸索橋在剛度方面具有優(yōu)勢，但主纜與鞍座之間的抗滑穩(wěn)定性較難滿足。由此可見，目前對雙纜多跨懸索橋的研究尚處于初步階段，對其力學性能缺乏深入了解。雖然已有研究確認了雙纜多跨懸索橋在結(jié)構(gòu)剛度方面具有優(yōu)勢，但雙纜體系對于增大結(jié)構(gòu)剛度的效果尚缺乏定量研究。另外，采用雙纜體系時，主纜用鋼量是否多于傳統(tǒng)懸索橋也無定論，這些問題決定了雙纜多跨懸索橋是否可行，因此需要進一步研究。

目前，雙纜體系懸索橋尚處于理論發(fā)展階段，還未用于實際工程。一是因為雙纜體系的理論發(fā)展尚不完備，雙纜的合理成橋狀態(tài)、施工控制等還未見相關研究報道；二是因為雙纜體系的優(yōu)勢在于其主纜的縱向剛度大，這種優(yōu)勢僅在建造多跨懸索橋時才能體現(xiàn)出來，目前世界上建造大跨度多跨懸索橋處于起步階段，并且僅有的幾座大跨度懸索橋沿用了傳統(tǒng)的纜索體系。

為明確雙纜多跨懸索橋這種新型橋梁結(jié)構(gòu)的適用性，本文首先比較雙纜的縱向約束剛度與傳統(tǒng)懸索橋主纜的縱向約束剛度，推導主纜用鋼量計算公式。擬定1座具有3個主跨的多跨懸索橋，分別采用傳統(tǒng)纜索體系與雙纜體系2種形式，比較二者在活載作用下加勁梁的變形以及橋塔的受力情況，分析雙纜多跨懸索橋與傳統(tǒng)多跨懸索橋體系主纜用鋼量差異。

1 主纜縱向約束一般原理

圖1為雙纜懸索橋示意。在多跨懸索橋中，中間橋塔在不平衡活載作用下的縱向變形是造成結(jié)構(gòu)變形過大的主要原因。中塔的變形除了受其本身抗推剛度的影響，還取決于主纜對橋塔的約束作用。如圖2所示的傳統(tǒng)多跨懸索橋，若活載作用于中間主跨，則加載跨主纜內(nèi)力增大，2號塔和3號塔發(fā)生朝向加載跨的位移。以2號橋塔為例，其位移大小不僅取決于橋塔本身剛度，同時取決于1號塔和2號塔之間的主纜對2號橋塔的約束作用。若橋塔之間的縱向聯(lián)系足夠強大，則活載作用下各個橋塔便可以協(xié)同受力，增大結(jié)構(gòu)剛度，減小變形。

傳統(tǒng)的懸索橋體系主纜縱向約束主要來自于主纜線形改變引起的水平力改變，恒載作用下主纜水平力H可由式（1）求得

H=gL28f

（1）

式中：L為跨長；f為主纜垂度；g為恒載集度。

橋塔發(fā)生縱向位移時，主纜線形發(fā)生改變，主纜水平力也發(fā)生變化，由此產(chǎn)生對橋塔的約束作用。

雙纜懸索橋體系（圖3）對橋塔的縱向約束與傳統(tǒng)懸索橋體系差異較大。采用雙纜體系的懸索橋在橋塔發(fā)生縱向位移時，由于2根主纜的垂度不同，塔頂位移引起的主纜垂度改變量也不同，2根主纜之間的距離有改變的趨勢，連接上纜與下纜的吊桿內(nèi)力產(chǎn)生變化，由此造成了荷載在2根主纜之間的重新分配。荷載在上纜與下纜之間的重新分配導致了主纜水平力的改變，由此形成了對橋塔的約束作用[8-9]。

研究結(jié)果表明，雙纜的縱向約束比傳統(tǒng)懸索橋體系更為強大。雙纜懸索橋中間主跨受到活載作用時，雙纜體系能夠?qū)⒒钶d引起的主纜水平力增量有效傳遞到1號塔、4號塔以及錨碇，增強結(jié)構(gòu)的整體性，從而減小橋塔及加勁梁的變形，提高結(jié)構(gòu)剛度。

在研究主纜的縱向受力時，圖2，3所示的懸索橋可簡化為圖4所示的力學模型，主纜對橋塔的約束作用近似看作是具有一定剛度的彈簧。

懸索橋邊跨主纜對橋塔的約束作用較強，邊橋塔（最外側(cè)橋塔）在活載作用下的變形遠小于中間橋塔，多跨懸索橋的變形主要由中塔的縱向變形引起。中塔位移與橋塔本身剛度和橋塔之間的主纜縱向約束剛度有關，對于傳統(tǒng)的懸索橋體系，主纜對橋塔的縱向約束作用已經(jīng)有較為精確的解析解法[12-15]，文獻[13]提供的主纜縱向約束剛度Kc的解析式為

Kc=3128g（Lf）3+gL4f

（2）

由式（2）可以看出，主纜的縱向約束剛度與恒載集度成正比，與垂跨比倒數(shù)的三次方近似成正比，傳統(tǒng)懸索橋垂跨比的取值范圍一般為1/12～1/9，這也就決定了主纜的縱向約束剛度存在一個大致范圍。

雙纜體系對橋塔的縱向約束剛度可以按式（3）求解[9]，即

Kc=L28δ（gt+aδft-bδ+gb-aδfb-bδ-gtft-gbfb）

（3）

a=316L（1ft-1fb）/[1EtAtu（nt）+1EbAbu（nb）]

（4）

b=3L16（1ft-1fb）/[1+EtAtu（nt）EbAbu（nb）]-3L16ft

（5）

u（n）=8（163n2-1285n4）/（1+83n2-325n4）

（6）

式中：gt，gb分別為上纜與下纜承擔的恒載；δ為塔頂位移，計算時可取δ=0.01 m；ft，fb分別為雙纜體系中上纜與下纜的垂度；Et，Eb分別為上纜和下纜的彈性模量；At，Ab分別為上纜和下纜的截面面積；nt，nb分別為上纜和下纜的垂跨比；n為主纜垂跨比，n=f/L。2 雙纜體系與傳統(tǒng)體系縱向剛度比較

由于雙纜的縱向約束剛度受到多個參數(shù)的影響，為直觀比較雙纜與傳統(tǒng)主纜縱向約束剛度的差異，假定主跨長度L=1 000 m，橋面恒載集度（不含主纜）為230 kN·m-1，分別計算傳統(tǒng)懸索橋主纜體系與雙纜體系縱向約束剛度以及主纜用鋼量。

傳統(tǒng)體系的主纜垂跨比取1/12～1/9。雙主纜體系下纜垂跨比取為1/8～1/5，上纜垂跨比取為1/15～1/12，恒載在上纜與下纜的分配比例分別取為3∶7，4∶6，5∶5三種情況。主纜截面面積按恒載作用下主纜跨中的應力620 MPa確定。由式（2）求得傳統(tǒng)懸索橋體系的主纜縱向剛度如圖5所示，由式（3）求得雙纜體系的縱向約束剛度如圖6所示。

由圖5可以看出，采用傳統(tǒng)懸索體系，主纜垂跨比由1/9減小至1/12，主纜縱向約束剛度從5 MN·m-1增大至12.5 MN·m-1。由圖6可以看出，隨著上纜承擔恒載比例的增大以及上下纜垂度差值的增大，主纜的縱向約束剛度從5.75 MN·m-1增大至31 MN·m-1。恒載在上纜分配的比例越大，雙纜的縱向約束剛度越大；上纜垂度越小而下纜垂度越大時，雙纜的縱向約束剛度越大。雙纜的縱向約束剛度變化范圍較大，其最大能夠提供的縱向約束剛度遠大于傳統(tǒng)懸索橋體系，雙纜的最大縱向約束剛度達到傳統(tǒng)主纜剛度的2倍以上。

對于傳統(tǒng)懸索橋體系，在恒載集度確定之后，主纜的縱向約束剛度僅受主纜垂跨比的影響。雙纜體系的縱向約束剛度則要復雜得多，主要受到雙纜的垂跨比、恒載在上纜與下纜之間的分配比例及主纜的軸向剛度等因素影響。由圖6還可知，上纜與下纜的垂跨比差值越大（上纜垂度越小而下纜垂度越大），恒載分配給上纜的比例越大，雙纜體系的縱向約束剛度越大[9]。3 主纜用鋼量分析

雙纜體系雖然在同一個索面內(nèi)有垂度不同的2根主纜，并不意味著主纜用鋼量多于傳統(tǒng)的懸索橋體系，恰恰相反，由于下側(cè)主纜可采用較大的垂度，恒載在下纜中引起的內(nèi)力較小，上下主纜的內(nèi)力之和甚至小于傳統(tǒng)單根主纜懸索橋。因此，采用雙纜體系的多跨懸索橋其主纜總用鋼量不會多于傳統(tǒng)體系的多跨懸索橋，主纜用鋼量可按以下方法求解。

假定懸索橋主纜總體線形為拋物線，則其線形可表示為

y=-4fL2x（L-x）

（7）

主纜長度S可表示為

S=∫L0（1+y′2）dx=L（1+163n2）

（8）

令主纜截面面積為A，恒載引起的主纜跨中處應力為σ，則主纜水平力為

H=Aσ

（9）

單位橋長恒載由主纜荷載集度和橋面荷載集度（加勁梁及鋪裝）兩部分構(gòu)成，即

g=q+γA

（10）

式中：q為橋面荷載集度；γ為主纜重度。

將式（9），（10）代入式（1）得

Aσ=（q+γA）L28f

（11）

由式（11）得主纜截面面積為

A=qL28fσ-γL2

（12）

將主纜長度與截面面積進行相乘，可得每個主跨主纜的用鋼量Q為

Q=AS=qL3（1+16n2/3）8fσ-γL2

（13）

由式（13）可知，在確定了橋面荷載集度q、主纜垂度f、跨長L、主纜重度γ以及恒載引起的主纜跨中處應力σ，即可由式（13）求得單跨主纜用鋼量。

為直觀比較傳統(tǒng)懸索體系與雙纜體系的主纜用鋼量差異，假定橋面荷載集度為230 kN·m-1，令恒載作用下主纜應力為620 MPa，按照式（13）求得的傳統(tǒng)纜索體系多跨懸索橋單跨的主纜用鋼量如圖7所示，雙纜體系的單跨用鋼量如圖8所示。

由圖7，8可以看出，傳統(tǒng)單根主纜的懸索橋用鋼量在4 000～5 500 t之間，而雙纜體系用鋼量在3 000～5 500 t之間。雙纜體系與傳統(tǒng)懸索橋體系的主纜用鋼量均受垂跨比影響，垂跨比越小（L/f越大），主纜用鋼量越多。雙纜的用鋼量還受荷載在上下纜之間分配比例的影響，上纜分配的恒載荷載集度越多，則雙纜體系用鋼量越大。這是因為主纜水平力主要取決于主纜垂跨比及荷載在上纜與下纜之間的分配比例。4 數(shù)值模擬比較

為比較雙纜多跨懸索橋與傳統(tǒng)多跨懸索橋的結(jié)構(gòu)剛度，采用MIDAS/Civil建立2座四塔三跨懸索橋有限元模型，纜索體系分別采用傳統(tǒng)體系與雙纜體系（圖9），主要構(gòu)件材料參數(shù)如表1所示。主纜及吊桿采用受拉桁架單元模擬，橋塔及加勁梁采用梁單元模擬，根據(jù)主纜及吊索承擔的恒載分別計算

各單元的初始內(nèi)力并賦予相應單元。對圖9所示的3種加載工況分別計算其加勁梁變形及橋塔受力。

懸索橋各主跨長度均為1 000 m，橋面荷載集度為230 kN·m-1（包括加勁梁及橋面鋪裝，不含主纜），圖9中采用的傳統(tǒng)纜索體系橋塔高度為170 m，主纜垂跨比分別取1/9，1/10，1/11，1/12；雙纜體系由于下纜采用較大垂跨比，橋塔高度為260 m，雙纜體系參數(shù)按以下2種情況取值：①荷載在上纜與下纜之間分配比例為3∶7，上纜垂跨比取1/12，下纜垂跨比取1/5；②荷載在上纜與下纜之間分配比例為3∶7，上纜垂跨比取1/14，下纜垂跨比取1/6。不同垂跨比下的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示。3種加載工況下活載集度均為40 kN·m-1。

4.1 加勁梁撓度

3種加載工況下，傳統(tǒng)多跨懸索橋與雙纜多跨懸索橋的加勁梁撓度分別如圖10～12所示。由圖10可知，按工況1加載時，第3跨撓度最大，傳統(tǒng)體系的撓度為3.22～3.85 m，垂跨比越小，撓度越大。采用雙纜體系，上纜垂跨比取1/12，下纜垂跨比取1/5時，第3跨撓度最大為2.03 m；上下纜垂跨比分別取1/14，1/6時，最大撓度為2.31 m。雙纜體系的撓度比傳統(tǒng)體系減小30%以上。

由圖11可知，按工況2加載時，第2跨撓度較大，傳統(tǒng)體系的撓度為2.65～3.00 m，垂跨比越小，撓度越大。采用雙纜體系，上下纜垂跨比取1/12，

31/5時的撓度為1.61 m，上下纜垂跨比取1/14，1/6時撓度的為1.77 m，雙纜體系的撓度比傳統(tǒng)體系減小約40%。

由圖12可知，按工況3加載時第2跨撓度最大，這也是整個結(jié)構(gòu)撓度最大的加載工況，傳統(tǒng)體系的撓度為4.39～4.94 m。采用雙纜體系，上下纜垂跨比取1/12，1/5時，第2跨最大撓度為2.31 m；上下纜垂跨比分別取1/14，1/6時，最大撓度為2.61 m。雙纜體系的撓度比傳統(tǒng)體系減小40%以上。

采用傳統(tǒng)體系的多跨懸索橋，主纜垂跨比越大，撓度越小。這是因為采用較小垂跨比時，雖然主纜的縱向約束剛度有所增大，但活載引起的水平力也會相應增大，并且在主纜垂度越小時，塔頂位移引起的主纜撓度越大[16]。

采用傳統(tǒng)體系時，按照工況3加載的加勁梁撓度超過4 m，撓跨比大于1/250，結(jié)構(gòu)剛度過低。采用雙纜體系時，跨中最大撓跨比可控制在1/383，結(jié)構(gòu)剛度滿足要求。3種加載工況下，雙纜體系的加勁梁撓度均比傳統(tǒng)體系減小30%以上，結(jié)構(gòu)最大撓度減小40%以上，由此可見，雙纜體系有效提高了多跨懸索橋結(jié)構(gòu)剛度。

4.2 橋塔受力

在本文模型中，雙纜體系的橋塔抗推剛度約為傳統(tǒng)體系抗推剛度的1/2（表2），在3種加載工況下，雙纜體系塔頂位移均小于傳統(tǒng)體系的多跨懸索橋，因此其塔底彎矩也比傳統(tǒng)體系的懸索橋大幅減小。3種加載工況下采用傳統(tǒng)多跨懸索橋體系和雙纜多跨懸索橋體系橋塔的塔底彎矩見圖13～15。

由圖13～15可知，采用雙纜體系的多跨懸索橋在3種加載工況下其塔底彎矩均遠小于采用傳統(tǒng)體系的懸索橋，彎矩下降40%～50%，這主要是雙纜體系的縱向約束較強，加載跨的主纜水平力增量被傳遞到邊橋塔以及錨碇，橋塔受到的不平衡水平力減小，因此塔底彎矩較小。由此可見，采用雙纜體系的多跨懸索橋，在結(jié)構(gòu)剛度提高的同時，橋塔及基礎的受力也有所改善。

4.3 主纜用鋼量

主纜截面面積按恒載狀態(tài)下主纜跨中應力為620 MPa確定。圖9所示傳統(tǒng)體系的多跨懸索橋垂跨比從1/9減小至 1/12時，每個主跨主纜用鋼量從3 492.3 t增大至5 490.4 t。若采用雙纜體系，當上下纜垂跨比分別為1/12，1/5時，每個主跨主纜用鋼量為3 164.1 t，當上下纜垂跨比分別為1/14，1/6時，每個主跨主纜用鋼量為3 796.5 t。由此可見，雙主纜懸索橋的主纜用鋼量與傳統(tǒng)懸索橋相當，若對主纜垂跨比及恒載在上下纜的分配比例進行優(yōu)化，雙纜體系的鋼量甚至可以小于傳統(tǒng)纜索體系的懸索橋。5 結(jié) 語

（1）雙纜多跨懸索橋主纜的縱橋向約束剛度達到傳統(tǒng)懸索橋的2～6倍，在多跨懸索橋的最不利加載工況下，采用雙纜體系的多跨懸索橋的加勁梁撓度比傳統(tǒng)體系有明顯減小，雙纜體系可以有效增大多跨懸索橋的結(jié)構(gòu)剛度。

（2）雙纜體系的多跨懸索橋在受到活載作用時，橋塔受到的不平衡水平力比傳統(tǒng)懸索橋有明顯減小，塔底彎矩降低40%～50%。由此可見，多跨懸索橋中采用雙纜體系可降低橋塔下部結(jié)構(gòu)造價。

（3）雙纜體系的用鋼量與傳統(tǒng)懸索橋相當，若雙纜體系中采用較大的下纜垂度，雙纜體系的主纜用鋼量甚至小于傳統(tǒng)體系懸索橋。

參考文獻：

References：

[1] 王 達，李宇鵬，劉 揚.大跨度懸索橋錨跨索股張力精細化控制分析[J].中國公路學報，2014，27（1）：51-56.

WANG Da，LI Yu-peng，LIU Yang.Analysis of Refinement Control of Anchor Cable Tension for Long-span Suspension Bridge[J].China Journal of Highway and Transport，2014，27（1）：51-56.

[2]李永樂，侯光陽，喬倩妃，等.超大跨徑懸索橋主纜材料對靜風穩(wěn)定性的影響[J].中國公路學報，2013，26（4）：72-77.

LI Yong-le，HOU Guang-yang，QIAO Qian-fei，et al.Effects of Different Cable Materials on Aerostatic Stabilities of Super-long-span Suspension Bridges[J].China Journal of Highway and Transport，2013，26（4）：72-77.

[3]GIMSING N J.Cable Supported Bridges：Concept and Design[M].2nd ed.Chichester：John Wiley & Sons，1997.

[4]陳艾榮，陳文明.多跨懸索橋的性能[C]//中國公路學會.中國公路學會橋梁和結(jié)構(gòu)工程學會2001年橋梁學術研討會論文集.北京：人民交通出版社，2001：561-566.

CHEN Ai-rong，CHEN Wen-ming.Performances of Multi-span Suspension Bridge[C]//China Highway and Transportation Society.Proceedings of 2001 Symposium on Bridge，Bridges and Structures Society，China Highway and Transportation Society.Beijing：China Communications Press，2001：561-566.

[5]張新軍，陳 蘭，趙孝平.三塔懸索橋的纜索體系及其抗風穩(wěn)定性[J].浙江工業(yè)大學學報，2010，38（4）：437-441.

ZHANG Xin-jun，CHEN Lan，ZHAO Xiao-ping.Cable System and Wind Stability of Three-tower Suspension Bridges[J].Journal of Zhejiang University of Technology，2010，38（4）：437-441.

[6]張勁泉，曲兆樂，宋建永，等.多塔連跨懸索橋綜述[J].公路交通科技，2011，28（9）：30-45，52.

ZHANG Jin-quan，QU Zhao-le，SONG Jian-yong，et al.Overview of Multi-pylon Multi-span Suspension Bridge[J].Journal of Highway and Transportation Research and Development，2011，28（9）：30-45，52.

[7]柴生波，肖汝誠，孫 斌.雙纜懸索橋體系的力學特性（Ⅰ）[J].華南理工大學學報：自然科學版，2011，39（12）：159-164.

CHAI Sheng-bo，XIAO Ru-cheng，SUN Bin.Mechanical Properties of Double-cable Suspension Bridge System（Ⅰ）[J].Journal of South China University of Technology：Natural Science Edition，2011，39（12）：159-164.

[8]柴生波，肖汝誠.雙纜懸索橋體系的力學特性（Ⅲ）[J].華南理工大學學報：自然科學版，2013，41（8）：120-126.

CHAI Sheng-bo，XIAO Ru-cheng.Mechanical Properties of Double-cable Suspension Bridge System（Ⅲ）[J].Journal of South China University of Technology：Natural Science Edition，2013，41（8）：120-126.

[9]CHAI S B，XIAO R C，LI X N.Longitudinal Restraint of a Double-cable Suspension Bridge[J].Journal of Bridge Engineering，2014，19（4）：111-122.

[10]GIMSING N J，GEORGAKIS C T.Cable Supported Bridges：Concept and Design[M].3rd ed.Chichester：John Wiley & Sons，2012.

[11]肖汝誠.橋梁結(jié)構(gòu)體系[M].北京：人民交通出版社，2013.

XIAO Ru-cheng.Bridge Structural Systems[M].Beijing：China Communications Press，2013.

[12] YOSHIDA O，OKUDA M，MORIYA T.Structural Characteristics and Applicability of Four-span Suspension Bridge[J].Journal of Bridge Engineering，2004，9（5）：453-463.

[13]柴生波，肖汝誠，張學義，等.多跨懸索橋中塔縱向剛度研究[J].中國公路學報，2012，25（2）：67-71.

CHAI Sheng-bo，XIAO Ru-cheng，ZHANG Xue-yi，et al.Study of Longitudinal Stiffness of Middle Pylon in Multi-span Suspension Bridge[J].China Journal of Highway and Transport，2012，25（2）：67-71.

[14]KIUREGHIAN A D，SACKMAN J L.Tangent Geometric Stiffness of Inclined Cables Under Self-weight[J].Journal of Structure Engineering，2005，131（6）：941-945.

[15]CHOI D H，GWON S G，NA H S.Simplified Analysis for Preliminary Design of Towers in Suspension Bridge[J].Journal of Bridge Engineering，2014，19（3）：165-184.

[16]柴生波，肖汝誠，孫 斌.活載下懸索橋主纜變形特性[J].同濟大學學報：自然科學版，2012，40（10）：1452-1457.

CHAI Sheng-bo，XIAO Ru-cheng，SUN Bin.Deformation Characteristics of Main Cable in Suspension Bridge Caused by Live Load[J].Journal of Tongji University：Natural Science，2012，40（10）：1452-1457.