用數(shù)學(xué)語言寫就的物理之詩
——重溫傅里葉《熱的解析理論》

■ 葉夢(mèng)姝

用數(shù)學(xué)語言寫就的物理之詩
——重溫傅里葉《熱的解析理論》

■ 葉夢(mèng)姝

【編者語】

熱的作用服從于一些不變的規(guī)律，如果不借助于數(shù)學(xué)分析，就不可能發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。傅里葉闡明的這個(gè)理論的目的就是要論證這些規(guī)律：它把熱傳導(dǎo)的所有物理研究都?xì)w結(jié)為已經(jīng)有實(shí)驗(yàn)所給出的那些積分運(yùn)算問題。

法國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家傅里葉（1768—1830年）的論著《熱的解析理論》是科學(xué)史上公認(rèn)的劃時(shí)代經(jīng)典著作。從研究對(duì)象上來看，它突破了牛頓以來所規(guī)定的理論力學(xué)范圍，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)物理學(xué)的嶄新領(lǐng)域；從研究方法上來看，它記載著傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉積分的誕生經(jīng)過，被恩格斯和麥克斯韋評(píng)為“一首優(yōu)美的數(shù)學(xué)的詩”。本書的另一個(gè)震撼之處在于其命題的宏大與數(shù)學(xué)處理的普遍性，傅里葉希望解釋的熱現(xiàn)象是包括大氣、海洋、地殼等在內(nèi)廣泛的自然熱現(xiàn)象，他希望為這個(gè)太陽輻射籠罩的星球上無處不在的熱對(duì)流和熱交換建立一個(gè)基于數(shù)學(xué)的統(tǒng)一理論體系。

一、熱學(xué)：19世紀(jì)物理學(xué)的使命

19世紀(jì)初時(shí)，力學(xué)已經(jīng)發(fā)展到了一個(gè)較為完善的階段，歐拉和拉格朗日引入了更多數(shù)學(xué)方法使得矢量力學(xué)發(fā)展成為了分析力學(xué)，并得到了適用于廣義坐標(biāo)和廣義力的拉格朗日方程，力學(xué)研究的范圍大大擴(kuò)展了。但于此同時(shí)，熱學(xué)和電學(xué)等現(xiàn)象的研究仍然游離于數(shù)學(xué)方法之外，一方面由于其本質(zhì)尚未被人類透徹了解，另一方面表達(dá)其物理過程的數(shù)學(xué)模型較為復(fù)雜。對(duì)于熱學(xué)來說，幾個(gè)世紀(jì)以來，人們一直為熱到底是一種物質(zhì)還是一種運(yùn)動(dòng)而爭論不休。整個(gè)18世紀(jì)，人們都用熱質(zhì)說來解釋能量守恒定律、比熱、潛熱等現(xiàn)象，甚至在拉瓦錫的元素列表中，也把熱算作是一種無重量流體。雖然18世紀(jì)末時(shí)，倫福德和戴維通過實(shí)驗(yàn)向“熱質(zhì)說”和“燃素說”發(fā)起了有力的挑戰(zhàn)，但直到1860年能量守恒及轉(zhuǎn)化定律建立之前，“熱質(zhì)說”一直支配著主流的熱學(xué)研究。

二、適用于廣泛熱現(xiàn)象的數(shù)學(xué)規(guī)律

傅里葉對(duì)熱現(xiàn)象的興趣來源于其對(duì)氣候、天氣、天文、潮汐等自然現(xiàn)象的觀察。他在《熱的解析理論》的緒論中聲稱，“和重力一樣，熱貫穿在宇宙間一切物質(zhì)之中，它的射線充斥于空間的所有部分”，他思考了氣候帶與緯度、海拔、地形、盛行風(fēng)向的關(guān)系，觀察到了太陽輻射引起的空氣的大規(guī)模運(yùn)動(dòng)，以及不同高度的氣溫差異。但是，他并沒有陷入到對(duì)熱本質(zhì)的糾纏中，也沒有執(zhí)著于某個(gè)熱定的熱現(xiàn)象（當(dāng)時(shí)的觀測資料也不足夠），而是致力于從現(xiàn)象出發(fā)建立關(guān)于熱的普遍理論，集中解決了熱在非均勻加熱的固體中的分布傳播問題?！爱?dāng)熱貫穿到流體物質(zhì)中，并在它們之中以不斷改變每一分子的溫度和密度而決定內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們能夠用微分方程來表示這樣的復(fù)雜作用的規(guī)律嗎？流體動(dòng)力學(xué)一般方程中的有效變化是怎樣的”，傅里葉希望“揭示這種元素（熱）所服從的數(shù)學(xué)規(guī)律”，因?yàn)闊岬睦碚撌恰皹?gòu)成物理學(xué)的最重要的分支之一”。對(duì)于物理學(xué)來說，他把物理問題表述為線性偏微分方程的邊值問題來處理，也極具創(chuàng)新。

三、造福后人的數(shù)學(xué)工具

數(shù)學(xué)分析是傅里葉的工具。原書題目下面柏拉圖的名言“數(shù)控制著火”表明了傅里葉新柏拉圖主義者的身份，他聲稱“數(shù)學(xué)的分析同自然界本身一樣廣闊” ，早年作為中學(xué)數(shù)學(xué)教員和拉格朗日助教的經(jīng)歷使得傅里葉對(duì)于線性偏微分方程的處理駕輕就熟。為了解析熱的過程，他開創(chuàng)了“傅里葉分析”這一數(shù)學(xué)分支：即任意函數(shù)通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦和余弦函數(shù)在物理上是已被充分研究的一類函數(shù)，其性質(zhì)和計(jì)算方法都相對(duì)簡單。正如傅里葉所說，“對(duì)自然的深入研究是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)最豐富的源泉”，他從大氣等的熱現(xiàn)象抽象出來的數(shù)學(xué)問題推動(dòng)了純數(shù)學(xué)的研究。現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，傅里葉變換具有非常好的性質(zhì)，它既有用、又好用，以至于各學(xué)科科研與工程技術(shù)中，傅里葉積分和傅里葉變換都是廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)方法。

四、未完成的數(shù)學(xué)與物理之詩

作為一名理論學(xué)家，傅里葉論著的簡潔性、清晰性和普遍性一直為人稱道。他的理論有很強(qiáng)的幾何直觀，每一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式都有其對(duì)應(yīng)的物理意義。科學(xué)史家認(rèn)為，這與傅里葉廣泛參與社會(huì)活動(dòng)，而非在象牙塔中苦心孤詣?dòng)嘘P(guān)。傅里葉的科學(xué)研究幾乎都是業(yè)余完成的，年輕時(shí)他曾是一名文學(xué)愛好者，后來成為了一名數(shù)學(xué)助教，而后從政，以埃及研究院秘書的身份隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，并作為地方行政長官歷經(jīng)多次宦海沉浮，年近半百才到科學(xué)院任職，有時(shí)間專心完成學(xué)術(shù)專著。

傅里葉對(duì)熱現(xiàn)象的研究并沒有隨著《熱的解析理論》一書的出版而畫上句點(diǎn)， 大氣的熱現(xiàn)象持續(xù)吸引著這位科學(xué)家的好奇心，使他成為了大氣層保溫效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)者。在閱讀了洪堡的《論等溫線的溫度報(bào)告》后，傅里葉計(jì)算出，一個(gè)物體，如果有地球那樣的大小，以及到太陽的距離和地球一樣，如果只考慮入射太陽輻射的加熱效應(yīng)，那它應(yīng)該比地球?qū)嶋H的溫度更冷。傅里葉猜測，是星際輻射或者地球的大氣層的隔熱作用使得大氣保持了現(xiàn)在的溫度。事實(shí)上，他原計(jì)劃將他對(duì)熱的相關(guān)研究的物理工作也擴(kuò)充成一本書，名為《熱的物理理論》，這也是他晚年一直鉆研的問題。此書或許能對(duì)《熱的解析理論》中未能充分討論的熱的動(dòng)力效應(yīng)進(jìn)行解釋，大氣熱力學(xué)和動(dòng)力學(xué)的發(fā)展歷史或許能夠改寫。然而傅里葉于1830年溘然長逝，本書最終未能完成，在科學(xué)史上留下了永恒的遺憾。