n 元半群的軟集理論

周小伍，向大晶

( 湖北民族學院 數(shù)學系，湖北 恩施445000)

軟集理論是俄羅斯學者Molodtsov［1］在1999 年最早提出的．作為一種全新的處理不確定性問題的工具，軟集理論從提出至今被很多的專家學者進行研究和發(fā)展，得到了許多豐富的結論．早期對軟集的研究主要集中在運算上［2－3］，這些運算為人們研究實際問題提供了很好的方法．很多學者對n元半群進行了研究，其中Dudek［4］詳細研究了n 元半群的相關性質(zhì)及結論．Aktas 和Cagman［5］最早將軟集理論作用到群中，得到了軟群的概念并給出了許多相關的結論，隨后Acar［6］和Feng［7］等人將軟集理論作用到環(huán)、半環(huán)等代數(shù)結構中，進一步研究了環(huán)與半環(huán)的相關性質(zhì)，此外Hila［8－9］等人將軟集理論應用到超代數(shù)結果，研究了m元超半群的性質(zhì)．本文將軟集理論與n元半群理論相結合，得到軟n元半群的概念及相關性質(zhì)，并給出了軟n元半群同態(tài)的定義和相關結論．

1 預備知識

令S是非空集合，考慮代數(shù)結構(S，f)，其中f是Sn→S的映射，記作(x1，x2，…，xn)af(x1，x2，…，xn)，這

里n≥2，那么稱(S，f)為n元廣群．為了敘述的方便，序列元素簡記為，當j＜i時無意義．如果，那么記因此記，并且:

稱n元廣群(S，f)為(i，j)結合的，如果對任意x1，x2，…，x2n－1∈S有下式成立:

若上式對于任意的1≤i≤j≤n成立，那么就稱運算f是結合的，并且(S，f)是n元半群．在本文中(S，f)表示有零元的n元半群，簡記為S．

定義1［4］設(S1，f)和(S2，g)是兩個n元半群，若對任意的x1，x2，…，xn∈S1，映射φ:S1→S2滿足，則稱φ 是n元半群同態(tài)．如果φ 單射、滿射、雙射，則分別稱φ 為單同態(tài)、滿同態(tài)、同構．

Molodtsov 給出了軟集的定義．令U是初始的論域，E是參數(shù)集，A是E的子集，U的冪集記為P(U)．

定義2［1］稱序?qū)?F，A)是論域U上的軟集，其中F是一個集值映射，滿足F:A→P(U)．

定義3［3］令(F，A)和(G，B)是論域U的軟集，那么:

(1)(F，A)和(G，B)的嚴格交記為(F，A)∩R(G，B)，定義為軟集(H，C)，其中C=A∩B并且對任意c∈C有:H(c)=F(c)∩G(c)，

(2)(F，A)和(G，B)的拓展交記為(F，A)∩E(G，B)，定義為軟集(H，C)，其中C=A∪B，并且任意的e∈C有:

(3)(F，A)和(G，B)的嚴格并記為(F，A)∪R(G，B)，定義為軟集(H，C)，其中C=A∩B并且對任意c∈C有:H(c)=F(c)∪G(c)，

(4)(F，A)和(G，B)的拓展并記為)，定義為軟集(H，C)，其中C=A∪B，并且任意的e∈C有:

定義4［2］設(F，A)和(G，B)是論域U的軟集，那么:

(1)運算“(F，A)AND(G，B)”記為，定義為軟集(H，C)，其中C=A×B并且對任意(a，b)∈C有:H(a，b)=F(a)∩G(b)，

(2)運算“(F，A)OR(G，B)”記為，定義為軟集(H，C)，其中C=A×B并且對任意(a，b)∈C有:H(a，b)=F(a)∪G(b)．

定義5［3］設(F，A)是論域U的軟集，則記Supp(F，A)={x∈A|F(x)≠?}為(F，A)的支集．若一個軟集的支集不為空集，則稱它為非空軟集．

2 軟n 元半群

定義6 設(F，A)是S上的非空軟集，如果對任意x∈Supp(F，A)，F(xiàn)(x)是S的n元子半群，則稱(F，A)是S上的軟n元半群．

例1 令S={－i，0，i}，f是復數(shù)的普通乘法的三元運算，則(S，f)是三元半群．設(F，A)是S的軟集，其中A={a，b，c}并且F:A→P(S)是集值映射，定義如下:對任意x∈A，F(xiàn)(x)={y∈S|(x，y)∈R}，這里R={(a，0)，(c，－i)，(c，0)，(c，i)}．那么有F(a)={0}，F(xiàn)(b)=?，F(xiàn)(c)={－i，0，i}．因此(F，A)是S的軟三元半群．

命題1 設(F，A)和(G，B)是S的軟n元半群，那么:

(1)(F，A)∩E(G，B)是S的軟n元半群，

(2)若A∩B≠?，則(F，A)∩R(G，B)是S的軟n元半群，

(3)若A∩B≠?，則是S的軟n元半群，

(4)若對任意x∈A∩B，有F(x)?G(x)或G(x)?F(x)，則(F，A)∪R(G，B)是S的軟n元半群．

證明 (1)記(F，A)∩E(G，B)=(H，C)，其中C=A∪B，對任意的x∈C，

當x∈A－B時，由于(F，A)是S的軟n元半群，所以H(x)=F(x)是S的n元子半群;當x∈B－A時，由于(G，B)是S的軟n元半群，所以H(x)=G(x)是S的n元子半群;當x∈A∩B時，由于S的兩個n元子半群的交還是S的n元子半群，所以H(x)=F(x)∩G(x)是S的n元子半群．因此(F，A)∩E(G，B)=(H，C)是S的軟n元半群．

結論(2)～(4)類似于(1)的證明．

命題2 設(F，A)和(G，B)是S的軟n元半群，那么:

(1)若(F，A)∧～(G，B)是非空的，則它是S的軟n元半群，

(2)對任意(x，y)∈A×B，若F(x)?G(y)或G(y)?F(x)，則的軟n元半群．

證明 (1)顯然成立．

(2)令(F，A)∨～(G，B)=(H，C)，其中C=A×B，并且對任意(x，y)∈A×B有H(x，y)=F(x)∪G(y)．因為(F，A)和(G，B)是S的軟n元半群，所以對任意x，y∈S，F(xiàn)(x)和G(y)是S的n元子半群，因此H(x，y)=F(x)∪G(y)=G(y)或F(x)．所以的軟n元半群．

定義7 設(F，A)是S的軟n元半群，那么:

(1)若對任意x∈A有F(x)={0}，其中0 是S的零元，則稱(F，A)是平凡軟n元半群，

(2)若對任意x∈A有F(x)=S，則稱(F，A)是完全軟n元半群．

定義8 令S1和S2是兩個n元半群．設(F，A)是S1的軟集，并且φ:S1→S2是n元半群同態(tài)．定義S2的軟集(φ(F)，A)，其中φ(F):A→P(S2)，對任意x∈A有φ(F)(x)=φ(F(x))．

命題3 令S1和S2是兩個n元半群，φ 是S1到S2的同態(tài)．設(F，A)是S1的軟n元半群．

(1)若對任意的x∈A有F(x)=kerφ，那么(φ(F)，A)是S2的平凡軟n元半群，

(2)若(F，A)是S1的完全軟n元半群并且φ 是滿同態(tài)，那么(φ(F)，A)是S2的完全軟n元半群．

證明 (1)令x∈A，則φ(F)(x)=φ(F(x))= φ(kerφ)= {02}，其中02是S2的零元．所以(φ(F)，A)是S2的平凡軟n元半群．

(2)因為(F，A)是S1的完全軟n元半群，所以對任意x∈A有F(x)=S1．又φ 是滿同態(tài)，因此φ(F)(x)=φ(F(x))=φ(S1)=S2．所以(φ(F)，A)是S2的完全軟n元半群．

定義9 設S1和S2是兩個n元半群，(F，A)和(G，B)分別是S1和S2的軟集．令φ:S1→S2，η:A→B是兩個映射并且滿足對任意x∈A有φ(F(x))=G(η(x))，則稱序?qū)?φ，η)是(F，A)到(G，B)的軟映射．并且:

(1)(F，A)在(φ，η)下的象記為(φ，η)(F，A)=(φ(F)，B)是S2的軟集，定義為對任意x∈A，y∈B

(2)(G，B)在(φ，η)下的逆象記為(φ，η)－1(G，B)= (φ－1(G)，A)是S1的軟集，定義為對任意x∈A，φ－1(G)(x)=φ－1(G(η(x)))．

定義10 設S1和S2是兩個n元半群，(F，A)和(G，B)分別是S1和S2的軟n元半群．令(φ，η)是(F，A)到(G，B)的軟映射，若(φ，η)滿足:

(1)φ 是n元半群滿同態(tài)，

(2)η 是滿射．

則稱(φ，η)是軟n元半群同態(tài)．

注:如果(F，A)和(G，B)間存在軟n元半群同態(tài)，我們稱(F，A)軟同態(tài)于(G，B)，記為(F，A)～(G，B)．進一步，若φ 是n元半群同構并且η是雙射，則稱(φ，η)是軟n元半群同構，此時稱(F，A)軟同構于(G，B)，記為(F，A)?(G，B)．

例2 設Z是所有正整數(shù)構成的集合，令S1=2Z+1，S2=2Z，f和g分別是S1和S2普通乘法的n元運算，則(S1，f)和(S2，g)是n元半群．定義φ:S1→S2，對任意x∈S1，φ(x)=x+1．顯然φ 是n元半群同構．令A=B=Z并且η:A→B是恒等映射，顯然η 是雙射．令(F，A)是S1的軟集，其中F:A→P(S1)定義為F(x)=，容易驗證對任意x∈A，F(xiàn)(x)是S1的n元子半群，所以(F，A)是S1的軟n元半群．令(G，B)是S2的軟集，其中定義為，容易驗證對任意y∈B，G(y)是S2的n元子半群，所以(G，B)是S2的軟n元半群．此外，因為并且G(η(x))=，所以對任意x∈Z，φ(F(x))=G(η(x))．因此(φ，η)是軟n元半群同構，即(F，A)?

定理1 設S1和S2是兩個n元半群，(F，A)和(G，B)分別是S1和S2的軟n元半群．令(φ，η)是(F，A)到(G，B)的軟n元半群同態(tài)，那么:

(1)如果η 是雙射，則(φ，η)(F，A)是S2的軟n元半群，

(2)(φ，η)－1(G，B)是S1的軟n元半群．

證明 (1)由定義4 可知，(φ，η)(F，A)=(φ(F)，B)是S2的軟集．因為(F，A)是S1的軟n元半群，所以對任意x∈A，F(xiàn)(x)是S1的n元子半群．又(φ，η)是(F，A)到(G，B)的軟n元半群同態(tài)，所以有φ(F(x))是S2的n元子半群．因為η 是雙射，根據(jù)定義4(1)有φ(F)(y)=φ(F(x))，所以φ(F)(y)是S2的n元子半群．因此，(φ，η)(F，A)是S2的軟n元半群．

(2)因為(G，B)是S2的軟n元半群，所以對任意y∈B，G(y)是S2的n元子半群．又(φ，η)是(F，A)到(G，B)的軟n元半群同態(tài)，所以有φ－1(G(y))是S1的n元子半群．根據(jù)定義4(2)有(φ，η)－1(G，B)=(φ－1(G)，A)．又由于對任意x∈A，有φ－1(G)(x)= φ－1(G(η(x)))= φ－1(G(y))．因此，φ－1(G)(x)是S1的n元子半群．所以(φ，η)－1(G，B)是S1的軟n元半群．

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