軟交n 元群

潘文君，詹建明

( 湖北民族學(xué)院 數(shù)學(xué)系，湖北 恩施445000)

軟集理論是俄羅斯學(xué)者Molodtsov［1］在1999 年最早提出的．作為一種全新的處理不確定性問題的工具，軟集理論從提出至今被很多的專家學(xué)者進行研究和發(fā)展，得到了許多豐富的結(jié)論．n元群是一種重要的代數(shù)結(jié)構(gòu)，Dudek［2］詳細(xì)地討論了n元群的相關(guān)性質(zhì)．隨后，Williams［3］將n元群與模糊集理論相結(jié)合研究了模糊n元群，Heidari［4］將n元代數(shù)結(jié)構(gòu)理論與Γ 群相結(jié)合得到n元Γ 群．2012 年，Cagman［5］將軟集理論與群理論與結(jié)合得到了軟交群的概念并研究了相關(guān)性質(zhì)．2013 年，Alshehri［6］將軟集與K代數(shù)結(jié)合研究了軟K代數(shù)、軟交K代數(shù)．本文將軟集理論推廣應(yīng)用到n元群，從而得到了軟交n元群的概念及相關(guān)性質(zhì)．

1 預(yù)備知識

令G是非空集合，考慮代數(shù)結(jié)構(gòu)(G，f)，其中f是Gn→G的映射，記作(x1，x2，…，xn)af(x1，x2，…，xn)，這里n≥2，那么稱(G，f)為n元廣群．為了敘述的方便，序列元素簡記為當(dāng)j＜i時無意義．如果那么記因此記，并且:稱n元廣群(G，f)為(i，j)結(jié)合的，如果對任意x1，x2，…，x2n－1∈S有下式成立:

若上式對于任意的1≤i≤j≤n成立，那么就稱運算f是結(jié)合的．

如果對于任意的x0，x1，x2，…，xn∈G，1≤i≤n，存在元z∈G使得:

則稱此等式是i可解的．如果這個解是唯一的，則稱此等式是唯一i可解的．

稱n元廣群(G，f)為n元擬群，如果對于任意的i=1，2，…，n，(G，f)都是唯一可解的．結(jié)合的n元擬群稱為n元群．

n元群中，e稱為單位元，如果對于任意的x∈G，1≤i≤n有

n元群中稱為斜交元，如果對于任意的x∈G有

n元群(G，f)的非空子集J稱為n元子群，如果(J，f)是n元群，也就是J在運算f下保持封閉并且對于任意的x∈J有x－∈J．在本文中(G，f)表示只有一個單位元的n元群，簡記為G．

Molodtsov［1］給出了軟集的定義．令U是初始的論域，E是參數(shù)集，A是E的子集，U的冪集記為P(U)．

定義1［1］稱序?qū)?F，A)是論域U上的軟集，其中F是一個集值映射，滿足F:A→P(U)．

定義2［7］令(F，A)和(T，B)是論域U的軟集，那么

(1)(F，A)和(T，B)的拓展交記為(F，A)∩E(T，B)，定義為軟集(H，C)，其中C=A∪B，并且任意的d∈C有:

定義3［8］設(shè)(F，A)和(T，B)是論域U的軟集，那么:

(1)運算“(F，A)AND(T，B)”記為，定義為軟集(H，C)，其中C=A×B并且對任意(a，b)∈C有H(a，b)=F(a)∩T(b);

(2)運算“(F，A)OR(T，B)”記為，定義為軟集(H，C)，其中C=A×B并且對任意(a，b)∈C有H(a，b)=F(a)∪T(b)．

定義4［9］設(shè)(F，A)是論域U的軟集，則記Supp(F，A)={x∈A F(x)≠?}為(F，A)的支集．若一個軟集的支集不為空集，則稱它為非空軟集．

2 軟交n 元群

定義1 設(shè)(G，f)是n元群，A是G的n元子群，(F，A)是G上的軟集．則(F，A)稱為G上的軟交n元群，如果對于任意的x，x1，x2，…，xn∈A滿足以下條件:

(3)F(e)?F(x)．

例1 令G= { 1，－1，i，－i}，f是復(fù)數(shù)的普通乘法的四元運算，則(G，f)是四元群．設(shè)(F，A)是G的軟集，其中A=G并且F:A→P(G)是集值映射，定義如下:F(1)=G，F(xiàn)(－1)={1，i，－i}F(i)=F(－i)={i，－i}，不難驗證(F，A)是G的軟交四元群．

定理1 令(F，A)和(T，B)是G上的軟交n元群，則(F，A)∧～(T，B)是G的軟交n元群．

證明 對于任意的x∈A，y∈B，(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)∈A×B有:

又因為:

例2 假設(shè)(G，f)是例1 中的四元群．令A(yù)=G，B={1，－1}．G上的軟集(F，A)，(T，B)定義如下:F(1)=不難證明(F，A)和(T，B)都是G的軟交四元群．但是，而顯然{1}?{－1}，因此不是G上的軟交四元群．

定理2 如果(F，A)和(T，A)是G上的軟交n元群，則(F，A)∩E(T，A)是G上的軟交n元群．

證明 令x，x1，x2，…，xn∈A，則有:

又因為:

因此(F，A)∩E(T，A)是G上的軟交n元群．

不難證明(F，A)，(T，A)都是G上的軟交四元群．但是由于，因此不是G上的軟交四元群．

定義2 令(F，A)和(T，B)是G上的軟交n元群，則(F，A)和(T，B)的卡式積定義如下=(H，C)，其中C=A×B且對于任意的(x，y)∈A×B有

定理3 如果(F，A)和(T，B)是G上的軟交n元群，則)是G×G上的軟交n元群．

又因為:

定義3 令(F，A)是G上的軟交n元群且M?G，則(F，A)的M包含記為(F，A)M且

注意到，如果M=?，則集合稱為(F，A)的支集．

定理4 令(F，A)是G上的軟交n元群且M?G，當(dāng)(F，A)M非空時，(F，A)M是G上的n元子群．

證明 如果(F，A)M≠?，則對于任意的x，x1，x2，…，xn∈(F，A)M有:

(1)如果η 是雙射，則(φ，η)(F，A)是S2的軟n元半群，

(2)(φ，η)－1(G，B)是S1的軟n元半群．

證明 (1)由定義4 可知，(φ，η)(F，A)=(φ(F)，B)是S2的軟集．因為(F，A)是S1的軟n元半群，所以對任意x∈A，F(xiàn)(x)是S1的n元子半群．又(φ，η)是(F，A)到(G，B)的軟n元半群同態(tài)，所以有φ(F(x))是S2的n元子半群．因為η 是雙射，根據(jù)定義4(1)有φ(F)(y)=φ(F(x))，所以φ(F)(y)是S2的n元子半群．因此，(φ，η)(F，A)是S2的軟n元半群．

(2)因為(G，B)是S2的軟n元半群，所以對任意y∈B，G(y)是S2的n元子半群．又(φ，η)是(F，A)到(G，B)的軟n元半群同態(tài)，所以有φ－1(G(y))是S1的n元子半群．根據(jù)定義4(2)有(φ，η)－1(G，B)=(φ－1(G)，A)．又由于對任意x∈A，有φ－1(G)(x)= φ－1(G(η(x)))= φ－1(G(y))．因此，φ－1(G)(x)是S1的n元子半群．所以(φ，η)－1(G，B)是S1的軟n元半群．

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