長尾加權(quán)相依的隨機(jī)變量和的精確大偏差

華志強(qiáng)，張春生

( 內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼028000)

大偏差理論是隨機(jī)過程中的一個重要組成部分，近年來它在保險精算，計算機(jī)，物理等領(lǐng)域得到快速的發(fā)展．長尾分布族［1］是重尾分布族［1］的子族之一，重尾分布族是研究極端事件的重要分布族，而大偏差理論是研究重尾分布族的有力理論工具．本文主要研究了長尾分布族上的隨機(jī)變量序列的隨機(jī)加權(quán)的和的精確大偏差．設(shè)為一負(fù)相依的［2］、取值非負(fù)的同分布的隨機(jī)變量序列，其共同分布為記為X的尾分布函數(shù)．{Xk，k≥1}在保險精算風(fēng)險模型中常用來表示索賠額過程．常令是一個取值為非負(fù)的整數(shù)值的計數(shù)過程，它表示的是到時刻t為止發(fā)生的索賠次數(shù)，且與相互獨(dú)立，記EN(t)=λ(t)，當(dāng)t→∞時有λ(t)→∞． {θk，k≥1}是一個隨機(jī)權(quán)重序列，且滿足存在兩個正數(shù)b≥a＞0 使得P(a≤θk≤b)=1．因此，記表示加權(quán)的非隨機(jī)和表示加權(quán)的隨機(jī)和．文獻(xiàn)［3］研究了長尾分布族上的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的和的非加權(quán)形式的精確大偏差;文獻(xiàn)［4］研究了長尾分布族上的負(fù)相依同分布的隨機(jī)變量的和的非加權(quán)形式的精確大偏差;文獻(xiàn)［1］研究了長尾分布族上的寬相依同分布的隨機(jī)變量的和的非加權(quán)形式的精確大偏差;文獻(xiàn)［5］研究了一致變化分布族上的負(fù)相依同分布的隨機(jī)變量的和的加權(quán)形式的精確大偏差．其中長尾分布族包含一致變化分布族，詳見文獻(xiàn)［6］．本文在此基礎(chǔ)上討論了長尾分布族上負(fù)相依同分布的加權(quán)的非隨機(jī)和加權(quán)的隨機(jī)和的精確大偏差，從而對文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］的相應(yīng)結(jié)論進(jìn)行了推廣．

1 預(yù)備知識

定義1［1］稱某一非負(fù)隨機(jī)變量X或者其分布F(x)為重尾的，如果不存在指數(shù)矩，即對任意t＞0，EetX不存在．

定義2［1］稱非負(fù)分布F(x)屬于長尾分布族的，如果對一切y＞0 成立(或等價地，對y=1成立)．

定義3［2］定義1［1］稱隨機(jī)變量序列Xk，k≥1

{ }

1)下負(fù)相依，如果對于任意的n=1，2，…及任意的n個實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn，有:

2)下負(fù)相依，如果對于任意的n=1，2，…及任意的n個實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn，有:

3)負(fù)相依，如果對任意的n=1，2，…及任意的n個實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn，式(1)和式(2)同時成立．

性質(zhì)1［5］設(shè){Xk，k≥1}是一個隨機(jī)變量序列，{gk(·)，k≥1}是實(shí)值函數(shù)序列，

1)當(dāng){Xk，k≥1}是 一 個延 拓負(fù) 相依 的 隨 機(jī) 變量 序列，{gk(·)，k≥1}是 單調(diào) 函數(shù) 序列，則{gk(·)，k≥1}也是一個延拓負(fù)相依的隨機(jī)變量序列;

2)當(dāng){Xk，k≥1}是一個非負(fù)的、延拓負(fù)相依的隨機(jī)變量序列，對于每一個正整數(shù)n，有:

2 加權(quán)的非隨機(jī)和的精確大偏差

證明 根據(jù)定理的條件及文獻(xiàn)［2］的定理2 知，X1θ1的分布仍屬于長尾分布族的，且{Xkθk，k≥1}還是一個非負(fù)的負(fù)相依的隨機(jī)變量序列．

整理可得:

由于E(X1θ1)存在，所以當(dāng)n→∞時，對x≥γn一致地有nP(X1θ1＞x)→0，代入上式，故定理1 得證．

3 加權(quán)的隨機(jī)和的精確大偏差

當(dāng)t→∞時，可以得到如下的漸近關(guān)系:

又由定理1 可得:

從上式可導(dǎo)出:

故定理2 結(jié)論成立．

［1］ 華志強(qiáng)，楊少華，石新勇．寬上限相依的隨機(jī)變量和的精確大偏差［J］．應(yīng)用泛函分析學(xué)報，2013，15(4):345－348．

［2］ Cline D B H，Samorodnitsky G．Subexponentiality of the product of independent random variables［J］．Stochastic Processes and their Applications，1994，49:75－98．

［3］ Konstantinides D，Loukissas F．Precise large deviations for long－tailed distributions［J］．Journal of Theoretical Probability，2012，25:913－924．

［4］ Konstantinides D，Loukissas F．Precise large deviations for sums of negatively dependent random variables with commom long－tailed distributions［J］．Statistics Theory and Methods，2011，40:3663－3671．

［5］ 沈新美．重尾場合下相依風(fēng)險模型的尾概率問題［D］．杭州:浙江大學(xué)，2009．

［6］ 華志強(qiáng)．多元重尾大偏差及位相型破產(chǎn)概率［M］．哈爾濱:地圖出版社，2013．