低速滲流“非線性”探測構(gòu)想

齊成偉

（重慶科技學(xué)院-石油與天然氣工程學(xué)院，重慶　401331）

低速滲流“非線性”探測構(gòu)想

齊成偉

（重慶科技學(xué)院-石油與天然氣工程學(xué)院，重慶401331）

將Darcy定律中的壓強梯度分量寫為冪比形式，然后在分母中添加同指數(shù)干擾項使之不可約分，得到了能描述低速滲流“非線性”現(xiàn)象的本構(gòu)方程。將“雙曲非線性”本構(gòu)方程中的速率替換為徑矢長度的函數(shù)，然后求一階非齊次非線性常微分方程的符號解，得到了二維和三維徑向穩(wěn)態(tài)流場的壓強關(guān)于徑矢長度的顯函數(shù)。根據(jù)所得壓強函數(shù)提出的低速滲流“非線性”存在與否的空變壓強梯度探測構(gòu)想實現(xiàn)了不同滲流速度共存于同一次壓強測量并回避了對滲流速度的測量，而正是弛豫時間的難以統(tǒng)一把握和滲流速度的難以精確測量被認為導(dǎo)致了低速滲流“非線性”假象。

滲流力學(xué)致密油藏廣密壓裂冪比方程雙飛燕方程漸近線截距空變壓強梯度球心角體

0　引言

低速滲流“非線性”，是真實還是假象？時至今日，仍無定論。筆者試圖提出一個合理的探測構(gòu)想。

1　前情回顧

1856年，法國水力工程師Henry Darcy發(fā)表了隨后被稱為“Darcy定律”的實驗規(guī)律：填砂管內(nèi)的滲流速度與水力梯度呈線性關(guān)系。1933年，最早繪制注采舌進圖［1］的美國Gulf Research and Develop?ment Corporation的R.D.Wyckoff將Darcy定律中的比例常數(shù)分離為多孔介質(zhì)滲透率除以流體動力黏度，得到Darcy定律的現(xiàn)代（分量）形式：

式中，v為宏觀流速，m／s；k為多孔介質(zhì)滲透率，m2；μ為流體動力黏度，Pa·s；p為流體壓強，Pa；x為Descartes坐標系的橫坐標（作為角標，示意方向），m。Darcy定律的矢量形式為v=-(k/μ)▽p。

1885年，麻省理工學(xué)院的Newell在固結(jié)巖石中發(fā)現(xiàn)了低速滲流“非線性”現(xiàn)象。

2　唯象理論

2.1本構(gòu)方程

將Darcy定律中的壓強梯度分量寫為冪比形式，然后在分母中添加同指數(shù)干擾項使之不可約分，得到能描述低速滲流“非線性”現(xiàn)象的本構(gòu)方程：

式中，n為非線性指數(shù)；?為漸近線截距，Pa／m。

圖1　低速滲流“非線性”本構(gòu)方程圖

如圖1所示：若?=0，則式（2）退化為線性形式；若n=1，則式（2）退化為雙曲形式，暫稱“雙飛燕方程”，其漸近線過點(?,0)且斜率為k/μ；若n>1，則式（2）曲線為勺形，其漸近線過點(0,0)且斜率仍為k/μ，拐點對應(yīng)?p/?x=?[(n+1)/(n-1)]1/n。式（2）暫稱“冪比方程”。下文以雙飛燕方程為例進行討論。

2.2壓強函數(shù)

2.2.1二維徑向滲流

式中，q為點匯的強度，m2／s。

解微分方程（3），略去積分常數(shù)，得壓強函數(shù)：

2.2.2三維徑向滲流

式中，Q為點匯的強度，m3／s。

解微分方程（5），略去積分常數(shù)，得壓強函數(shù)：

將?=0代入式（6）得p=-Qμ/(4πkr)，即若漸近線截距等于0則三維徑向“非線性”滲流退化為三維徑向線性滲流。

3　探測構(gòu)想

3.1“空變壓強梯度”穩(wěn)態(tài)滲流場

圓管巖心夾持器或填砂圓管限定流動為直線單向滲流，故而穩(wěn)態(tài)滲流情況下其內(nèi)部壓強梯度處處相等。要測得滲流速度與壓強梯度間的數(shù)量關(guān)系，只能間歇地改變巖心或砂體兩端的壓強差，待流動穩(wěn)定后測量滲流速度。

滲流速率的測量方法是用滲出的液體體積除以圓管內(nèi)橫截面積再除以時間，于是相同時間內(nèi)，壓強差越小則滲流速率的測量誤差越大。而且，不同壓強差下的弛豫時間也不相同，過了弛豫時間達到穩(wěn)態(tài)后的測量才精確，但弛豫時間的長短難以把握。

能不能將不同的壓強梯度及其對應(yīng)的不同滲流速度放在同一個滲流場中同時進行無差別測量？

當然能！二維或三維徑向滲流場內(nèi)的壓強梯度便隨著徑矢的變化而變化，滲流速度亦如此。要對二維和三維徑向滲流進行模擬，僅須將巖心夾持器或填砂容器內(nèi)腔設(shè)計為圓環(huán)形和減掉（同心同軸同角的）小球心角體的大球心角體形，如圖2所示。

3.2低速滲流“非線性”存亡判據(jù)

記球心角為2θ，則過流斷面（即球冠）的面積為2πr2(1-cosθ)，易知巖心或砂體兩端面的面積之比為(ri/ro)2，滲流速率之比vi/vo=(ro/ri)2。其中：下角標i、o、m依次標示入口端面、出口端面、入口端面與出口端面之間的某個過流斷面處的幾何量或物理量。

圖2　空變壓強梯度滲流巖心夾持器或填砂容器內(nèi)腔形狀

為區(qū)分起見，將根據(jù)直線單向、二維徑向、三維徑向滲流測試得到的漸近線截距依次記為、、。令vo等于?1d對應(yīng)的滲流速率，調(diào)節(jié)壓強差使穩(wěn)定后的流量Qθ=2π(1-cosθ)vo。相同層段的巖心在三維徑向滲流測試中，若壓強與徑矢長度滿足關(guān)系：

則說明低速滲流“非線性”是測量誤差帶來的假象（對于二維徑向，式（7）右端為ln(ri/rm)/ln(rm/ro)，可在一非常接近水平且滲透率水平各向同性的致密油藏內(nèi)負壓鉆幾口鉛垂測試井，所得結(jié)果更為可信）。

若測試所得數(shù)據(jù)不滿足式（7），可通過式（6）確定滲透率和漸近線截距。將做替換Q→2Qθ/(1-cosθ)后的式（6）簡記為p=p(k,?3d,r)，對方程組：

進行數(shù)值求解可得k,?3d的數(shù)值。注意剔除重力影響。

4　結(jié)束語

無論低速滲流“非線性”是真實還是假象，致密油藏內(nèi)人工裂縫和天然裂縫圍成的狹長“半島”、有頸“半島”和“群島”內(nèi)的壓強梯度都會降至極低而導(dǎo)致碎裂區(qū)成為“死油區(qū)”（即滯油區(qū)），猶如辮狀河的心灘內(nèi)的滲流速率遠遠低于河道內(nèi)的水流速率，詳見《致密油藏水力碎裂區(qū)是“死油區(qū)”》。筆者將演繹《致密油藏滲流理論基礎(chǔ)》，敬請期待。

［1］齊成偉.還注采舌進圖一個理論基礎(chǔ)［J］.天然氣技術(shù)與經(jīng)濟，2014，8（3）：34-36.

［2］齊成偉.平面穩(wěn)態(tài)流速場運動學(xué)通式［J］.天然氣技術(shù)與經(jīng)濟，2013，7（6）：27-28.

（編輯：李臻）

A

2095-1132（2015）06-0037-02

10.3969／j.issn.2095-1132.2015.06.010

修訂回稿日期：2015－09－23

齊成偉（1983－），碩士，實驗師，從事流體力學(xué)、油氣水滲流力學(xué)基礎(chǔ)理論研究。E-mail：1261621@qq.com。