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    追求“自然”思路,實(shí)現(xiàn)有效解題

    2015-12-08 11:24:18陶磊
    黑河教育 2015年12期
    關(guān)鍵詞:自然思路高中數(shù)學(xué)

    陶磊

    [內(nèi)容摘要]高中數(shù)學(xué)對學(xué)生來說很重要,教師應(yīng)教導(dǎo)學(xué)生在解題時追求“自然”的思路,以促使解題高效化,有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。本文主要研究如何實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)解題中所追求的“自然”思路,并提高解題有效性。

    [關(guān)鍵詞]“自然”思路;高中數(shù)學(xué);解題

    目前,教師在進(jìn)行解題教學(xué)時,常喜歡變換不同的教學(xué)方法,以突破常規(guī)教學(xué)方法的限制,促使學(xué)生產(chǎn)生更多的思考,并有效提高其求知興趣。相關(guān)教學(xué)研究表明:學(xué)生雖能進(jìn)行解題,但解題思路并不清晰,亦不“自然”;如果題目形式稍有改變,學(xué)生就難以靈活解答,從而使解題效率降低。所謂“自然”思路,即把解題規(guī)律探析置于首位,通過淡化解題技巧的使用,加之注重解題中的貫通性,追溯至題目本源,進(jìn)而促使貼近實(shí)際的新型解題方式,起到有效提高解題能力的作用。

    一、返璞歸真

    高中數(shù)學(xué)常使用的基本解題方法包括:代入、消元、解方程組、待定系數(shù)法等;此類方法不僅易增加學(xué)生的聯(lián)想發(fā)散性,而且能提高解題時操作的效率,促使解題思路“自然”化。比如:已知a2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=2,求ab+bc+ca的最小值。多數(shù)學(xué)生看到該題時首先想到的解題思路是解基本不等式,通過求解ab+bc+ca≤a2+b2+ c2可以得出上述式子的最大值,但此結(jié)果與題意背離,無法解出答案;學(xué)生繼續(xù)思索,隨即想到三角代換方法,但此類方法較復(fù)雜,且學(xué)生無法完全掌握。實(shí)際上,就題目本身而言即為一個三元方程組,學(xué)生只需把其解出即能完成解題的要求;然而,為什么學(xué)生無法想到如此基本又簡便的方法呢?可能因為學(xué)生的解題思路已被書本中特有的模式所圈套住,從而使解題進(jìn)入盲區(qū),無法發(fā)現(xiàn)題目中所包含的基礎(chǔ)性信息。教師應(yīng)從上述現(xiàn)象中吸取教訓(xùn),以改變學(xué)生的思路想法為主要目的,培養(yǎng)學(xué)生積極分析基礎(chǔ)解法,使其從解題的慣有模式中逃出。歷來大型考試時,出題均圍繞基礎(chǔ)知識,只是在其基礎(chǔ)上進(jìn)行深化和改變,實(shí)則是平凡常見的題目;學(xué)生應(yīng)積極掌握“自然”思路的使用方法,從而有效減少解題時間。

    二、追本溯源

    高中數(shù)學(xué)解題時應(yīng)追溯題目的源頭,這有助于“自然”思路的形成;為了順利解決問題,首先應(yīng)理解題目中已知條件的作用以及問題的方向,并進(jìn)一步思考此類題目針對的是哪類知識點(diǎn)和方法,加之詳細(xì)研究所運(yùn)用知識點(diǎn)的具體特征,進(jìn)而通過充分了解問題本質(zhì),促使解題方向回歸定義,目標(biāo)更加確切,具體執(zhí)行方法如下:

    1.掌握本質(zhì)

    例1.直角坐標(biāo)平面有一點(diǎn)列:P1(a1,b1),P2(a2,b2)至Pn(an,bn),且其對于任意n∈N+上的點(diǎn)均有意義,Pn(an,bn)位于y=ax(a>0,且a≠1)上,并且Pn、(n,0)與(n+2,0)三點(diǎn)能構(gòu)成一個以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形。在此基礎(chǔ)上求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn,并假設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和表示為Sn,試問常數(shù)t是否存在?且能使數(shù)列{Sn-t}成為等比數(shù)列。

    教師可使用“自然”思路對學(xué)生進(jìn)行教學(xué),由題目可知bn=an+1,且加之bn+1/bn=a,即可得出Sn=[a2(1-an)]/1-a;問題即迎刃而解,但是仍有較多學(xué)生無法想到此類方法,促使解答復(fù)雜化,從而提高解題難度,增加解題時間。通過教師的觀察與分析,學(xué)生在解此類題時可能會使用下述方法:首先,通過對存在的常數(shù)t進(jìn)行假設(shè),使數(shù)列{Sn-t}成為等比數(shù)列,即可發(fā)現(xiàn)Sn+1-t/Sn-t為常數(shù);其次,通過將Sn與Sn+1代入方程,進(jìn)而可以使用待定系數(shù)法予以解答,但此方法步驟較為繁瑣,多數(shù)學(xué)生無法完成。此時教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生所使用的方法積極進(jìn)行思路引導(dǎo),解答此題時應(yīng)設(shè)目標(biāo)為源頭,為了滿足題目要求,應(yīng)先列出Sn-t=[a2/(1-a)]-[an/(1-a)]-t,再通過分析等比數(shù)列的通項形式,即a1qn-1,發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列即為常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積,對比上述式子可得(a2/1-a)-t應(yīng)等于0,且在q=a時才成立,隨即可解出常數(shù)t=a2/(1-a);再進(jìn)一步進(jìn)行驗證得出當(dāng)t=[a2/(1-a)]時,Sn+1-t/Sn-t=a,即得以證實(shí)存在一個常數(shù)t使{Sn-t}為等比數(shù)列。上述所使用的方法主要是依靠題目“本質(zhì)”的掌握,進(jìn)而從本質(zhì)上得以升華,靈活使用基礎(chǔ)性知識,為解題找到新型思路。

    2.關(guān)注目標(biāo)

    例2.在三角形ABC中,角A為120度,且a+c=20,a+b=24,求a是多少?

    根據(jù)詳細(xì)分析得出,題目已知三角形的三邊關(guān)系與其中一個角的度數(shù),看似給出的信息較多,實(shí)則不是每一項均有作用,學(xué)生常因條件的多樣而無法找到主要思路,從而耽誤解題時間。教師應(yīng)有針對性地引導(dǎo)其專注于目標(biāo)分析,此題所求為a的數(shù)值,則很容易想到應(yīng)消除等式中多余的b與c;因此,根據(jù)基礎(chǔ)性三邊定理中的余弦定理即可得出a2=(24-a)2+(20-a)2-2(24-a)(20-a)cos120°,通過化簡可解得a=14。由此,可表明當(dāng)無法看清題目方向時,應(yīng)根據(jù)題目條件或結(jié)論作為依據(jù),有效通過目標(biāo)性的分析,并實(shí)施合理的公式變形運(yùn)用,從而有效減少解題中出現(xiàn)彎路,提高解題效率。

    三、緊扣特征

    學(xué)生解決問題時常從正面理解角度出發(fā),僅依舊條件所提供的信息進(jìn)行分析思考,其實(shí),解題時應(yīng)實(shí)施變化性的解題策略,通過“自然”性思路,使常用方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換,從而有效解答特殊化、復(fù)雜化類型的試題,進(jìn)而加強(qiáng)學(xué)生的解題應(yīng)變能力。

    1.正難則反

    例3.一個三邊長分別為5、7、8的三角形,其最大與最小角之和為多少?

    依據(jù)上述問題進(jìn)行詳細(xì)剖析,學(xué)生應(yīng)使用“自然”思路,從問題的正面方向出發(fā);通過假設(shè)5、7、8三邊所對應(yīng)的角為角A、B、C,即可得出cosA的值,但仍不能得出答案;隨即應(yīng)從反面進(jìn)行思考,由于角B為角A與角C之和的補(bǔ)角,則可通過求cosB而得出答案,即角B為60度,由此可推出最大與最小角之各和為120度。教師在此應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生切勿僅使用正面解題方式,而忽略反面解題的重要性,有時僅轉(zhuǎn)換一下解題角度,即可離答案更進(jìn)一步,從而提高反向思維能力。

    2.特殊化法

    例4.在銳角三角形ABC中,角A、B、C分別對應(yīng)邊a、b、c,且已知b/a+a/b=6cosC,求tanC/tanA+tanC/tanB的值。

    對本題進(jìn)行剖析,因本題為填空題,不需使用較為復(fù)雜的解答方法,避免時間的浪費(fèi),但學(xué)生常會被題目信息所誤導(dǎo),不知解題時應(yīng)使用特殊三角形還是等邊三角形或是等腰三角形,從而為解題帶來較大困難。教師應(yīng)做好引導(dǎo)工作,要求學(xué)生仔細(xì)閱讀題目,因此不難發(fā)現(xiàn)題目中還有一個重要條件即為b/a+a/b=6cosC,根據(jù)此條件可以得出本題所涉及的三角形為等腰三角形;且又可由條件得出a=b,即cosC=1/3,隨之可求出2cos2(C/2)-1=1/3;又因角A與角C/2互為余角,即可得出sinA=cos(C/2),隨之可得出tanC/tanA+tanC/tanB=2tanC/tanA。由上述方法可得出,教師在講解選擇或填空等分值較小的題目時,應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生使用特殊性方法,從而有效分析此類題目的主要目的;能通過出題目的,有針對性地解題,以弄清題目中所含邏輯關(guān)系,再經(jīng)過一般方法的驗證,促使解題理想化,并有效加強(qiáng)學(xué)生對“自然”思路的理解和應(yīng)用,使其加快解題速度,提高解題興趣。

    總之,高中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生使用“自然”思路解題,并通過掌握題目本質(zhì)、關(guān)注解題目標(biāo)以及緊扣題目特征等三方面的詳細(xì)講解,促使學(xué)生提高解題效率,從而形成良好的學(xué)習(xí)氛圍。

    參考文獻(xiàn):

    [1]王戰(zhàn)平.高中數(shù)學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的思維方法和創(chuàng)新能力[J].試題與研究:新課程論壇,2012,(14):21.

    [2]黃凌云.高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)有效性探究[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(高三版),2014,(10):69.

    [3]崔常娥.淺談高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的有效提問[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)(高中數(shù)學(xué)教學(xué)),2014,(5):57.

    [4]張傳鵬.追求解法自然提高學(xué)生思維[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(高中版),2013,(4):22-24.

    [5]王華民,阮必勝,周德明等.追求“自然”思路,實(shí)現(xiàn)“有效”解題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2012,31(8):31-33.

    (責(zé)任編輯 馮 璐)

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