大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中關(guān)于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的不確定度的計(jì)算和分析

孫紅章 王翚 蘇向英

摘要：本文首先討論了大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中關(guān)于不確定理論中的直接測量量的A類、B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度和合成不確定度以及間接測量量的不確定度的通常表示方法，隨后推算出了幾個(gè)基本物理實(shí)驗(yàn)中各個(gè)測量量不確定度的計(jì)算公式，對大學(xué)本科學(xué)生的物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)具有指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué);不確定度計(jì)算;固體密度測量;楊氏彈性模量測量;共軛法測凸透鏡焦距

中圖分類號(hào)：G642 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2015）35-0169-02

現(xiàn)如今在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中為了更加準(zhǔn)確和精確的表示實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果，常使用不確定度理論來表示實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果。[1，2]在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，不確定度的計(jì)算一直是一個(gè)難點(diǎn)，也是一個(gè)重點(diǎn)，許多本科學(xué)生因?yàn)椴淮_定度的計(jì)算方法非常復(fù)雜，而且計(jì)算量很大，而放棄對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的科學(xué)處理。這里我們將闡述大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中不確定度的通常表示方法，并結(jié)合有關(guān)的基本物理實(shí)驗(yàn)，在課堂上用多媒體演示，使大學(xué)一年級(jí)學(xué)生很容易掌握不確定度的計(jì)算，取得了良好的教學(xué)效果。

一、不確定度理論的一般原理和計(jì)算方法[3，4]

不確定度理論對于直接測量量把數(shù)據(jù)的不確定度根據(jù)數(shù)據(jù)的性質(zhì)來分類，把符合正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)規(guī)律的稱之為A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度，而不符合正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)規(guī)律的稱之為B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度。把兩類不確定度的平方和的根稱之為測量量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，或者簡稱為不確定度。

大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中物理量的直接測量量的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差即為A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度，它的計(jì)算公式為：

t的大小與物理量的測量次數(shù)n和置信概率p有關(guān)系，置信概率p一般約定取值為68.3%，特殊情況下置信概率p取95.4%。如果我們測量9次，置信概率取p=68.3%，那么置信因子取t=1.07。如果我們測量5次，置信概率取p=68.3%，置信因子取t=1.14。

物理測量量的B類不確定的計(jì)算公式為：uB=

Δ儀/C，Δ儀被稱之為實(shí)驗(yàn)儀器的“最大允差”，C是實(shí)驗(yàn)儀器誤差概率分布的置信因子系數(shù)。實(shí)驗(yàn)儀器的誤差分布一般有正態(tài)分布和均勻分布，呈正態(tài)分布時(shí)C=3，呈均勻分布時(shí)C= 。但是如果實(shí)驗(yàn)儀器誤差的分布不能確定為何種分布，我們可以把它簡單認(rèn)為是均勻分布。如果當(dāng)A類不確定度和B類不確定度是相互獨(dú)立的時(shí)候，它們的合成絕對不確定度的計(jì)算公式為：u = =（u ?+u ?） 。直接測量量的相對不確定度的計(jì)算公式為：E =u ? ×100%.

如果實(shí)驗(yàn)中間接測量量的函數(shù)關(guān)系方程是

N=f（x1，x2，…，xn），那么它的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算公式是：

u = = （？鄣f/？鄣x ） u ? （2）

在公式中u 為實(shí)驗(yàn)中各直接測量量xi的合成絕對標(biāo)準(zhǔn)不確定度，它的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算公式是：

E = = （？鄣ln f / ？鄣x ） u ? （3）

這兩個(gè)公式被稱之為不確定度的傳遞公式，如果測量量的表達(dá)式是各個(gè)直接測量量的積和商的形式，先計(jì)算其相對不確定度較方便。間接測量量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度和相對不確定度的關(guān)系為u = ·E ，所以測量量最終結(jié)果的一般形式表示為：

N= ±u E =u ? 100%，p=68.3%。 （4）

二、固體密度的測量實(shí)驗(yàn)中不確定度的計(jì)算方法

固體密度的測量實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的一個(gè)重要基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)。

當(dāng)待測物體是一銅圓柱體時(shí)，其直徑的多次測量的平均值為 ，高度的多次測量的平均值為為 ，質(zhì)量的多次測量的平均值為為 ，則銅圓柱體密度的最佳值為 =4 （π 2 ）-1，我們先計(jì)算出各個(gè)直接測量量的不確定度，因?yàn)殂~圓柱體密度的表達(dá)式是各個(gè)直接測量量的積和商的形式，所以先計(jì)算其相對不確定度較方便，根據(jù)不確定度的傳遞公式得到銅圓柱體密度的相對不確定度：

銅圓柱體密度的絕對不確定度表示為：u = Eρ。

當(dāng)待測物體是一空心的鋁圓管時(shí)，設(shè)其外徑的多次測量的平均值為 ，內(nèi)徑的多次測量的平均值為 ，高度的多次測量的平均值為 ，質(zhì)量的多次測量的平均值為 ，則鋁圓管密度的最佳估計(jì)值為

=4 （π（ 2- 2） ）-1。我們先計(jì)算出各個(gè)直接測量量的不確定度，因?yàn)殇X圓管體密度的表達(dá)式主要是各個(gè)直接測量量的積和商的形式，所以先計(jì)算其相對不確定度較方便，然后根據(jù)不確定度的傳遞公式得到空心鋁圓管密度的相對不確定度：

鋁圓管密度的絕對不確定度為：u = Eρ。

三、共軛法測薄凸透鏡焦距實(shí)驗(yàn)中的不確定度的計(jì)算方法

測量薄透鏡的焦距實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中重要的基本光學(xué)實(shí)驗(yàn)，共軛法是測定薄透鏡焦距的主要方法之一[1]。我們設(shè)f為薄凸透鏡焦距，物和像屏的距離為D（要求D>4f）。當(dāng)移動(dòng)薄凸透鏡在某一位置處，像屏上將出現(xiàn)倒立放大的實(shí)像。當(dāng)薄凸透鏡又在另一位置時(shí)，在屏上得到倒立縮小的實(shí)像，這就稱之為共軛法。如果兩次成像間位移為d，那么我們得到焦距的基本公式：f=（D2-d2）（4D）-1。只要我們測出D、d，就能夠計(jì)算出f的大小。共軛法最大的優(yōu)點(diǎn)是很大程度上避免了物距和像距在測量時(shí)因?qū)Ρ⊥雇哥R光心位置估計(jì)不準(zhǔn)而帶來的偏差，而把f測量歸為對精確測量量D和d的精準(zhǔn)測量。

因?yàn)榻咕鄁的表達(dá)式主是各個(gè)直接測量量的積和商的形式，所以先計(jì)算它的相對不確定度較方便，根據(jù)不確定度的傳遞公式，其相對不確定度為：

焦距f的絕對不確定度uf=Er* 。

四、楊氏彈性模量測量實(shí)驗(yàn)的不確定度計(jì)算方法

彈性模量又被稱之為楊氏模量，是表示材料抵抗形變性能的一個(gè)很重要的物理參量，有著重要的實(shí)際應(yīng)用意義。[5]楊氏模量測量實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)本科教學(xué)中的一個(gè)非常重要的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)儀器主要有：望遠(yuǎn)鏡光杠桿鏡尺組、楊氏模量測定儀、千分尺、鋼卷尺、游標(biāo)卡尺、砝碼等。在實(shí)驗(yàn)中我們采用拉伸法測量鋼絲的楊氏彈性模量，這里采用光杠桿法來測量鋼絲因受力而產(chǎn)生的微小形變，這是實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵。

測鋼絲楊氏模量的公式為Y= ，其中Y表示鋼絲的楊氏模量，F(xiàn)是單個(gè)砝碼對應(yīng)的重力，L是鋼絲的原長，D為光杠桿的鏡面到標(biāo)尺的距離，d是鋼絲的直徑，b是光杠桿前后腳之間的距離，Δn為鏡中的標(biāo)尺讀數(shù)加減單個(gè)砝碼的平均變化量的大小，Δn的大小用逐差法處理測量數(shù)據(jù)而得到。

因?yàn)闂钍夏Ａ縔的基本表達(dá)式是各個(gè)直接測量量的積和商的形式，所以我們先計(jì)算其相對不確定度比較方便，根據(jù)不確定度的傳遞公式得到

Er=

鋼絲楊氏模量的絕對不確定度為u = ·E 。

五、結(jié)束語

本文總結(jié)了大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中關(guān)于不確定理論中的直接測量量的A類、B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度和合成不確定度以及間接測量量的不確定度的通常表示方法，隨后得到了固體密度的測量實(shí)驗(yàn)、共軛法測薄凸透鏡焦距實(shí)驗(yàn)和楊氏彈性模量測量實(shí)驗(yàn)中的各測量量不確定度的計(jì)算公式，并且我們在課堂上用多媒體演示，使大學(xué)一年級(jí)學(xué)生很容易掌握不確定度的計(jì)算，取得了不錯(cuò)的教學(xué)效果，這對大學(xué)本科學(xué)生的物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)具有積極的指導(dǎo)意義。

參考文獻(xiàn)：

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[2]陳慶東，鞏曉陽.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教程[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2013：56-69.

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[5]胡益豐，等.用拉伸法測鋼絲楊氏模量實(shí)驗(yàn)中的不確定度分析[J].廣西物理，2007，28（4）：56-59.