方差成比例時2個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗

冒霜霜，焦肖紅，鄧錦葉

（中南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 長沙 410006）

方差成比例時2個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗

冒霜霜，焦肖紅，鄧錦葉

（中南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 長沙 410006）

在方差未知但相等，或方差未知且大樣本的情況下，2個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗已經(jīng)給出了解決方法；但是在方差不等且小樣本的情況下，2個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗少有研究。針對這一問題，給出了理論證明的處理方法，并設(shè)計了實現(xiàn)流程和用于實現(xiàn)的MATLAB程序，最后，以實際案例給出了實現(xiàn)的具體方法。與大樣本情況下的方法對比，該方法所需樣本數(shù)量較小。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計；假設(shè)檢驗；方差成比例；MATLAB

1 研究背景

對于假設(shè)檢驗

有如下3種情形：

情形1 對于2個正態(tài)總體方差都已知，要檢驗2個正態(tài)總體均值是否相等，有檢驗統(tǒng)計量[1-2]

情形2 對于2個正態(tài)總體方差都未知但相等，要檢驗2個正態(tài)總體均值是否相等，有檢驗統(tǒng)計量

情形3 對于2個正態(tài)總體方差都未知，要檢驗2個正態(tài)總體均值是否相等，當(dāng)m, n很大時(m, n≥50)，有檢驗統(tǒng)計量

對于方差不等且小樣本的情形下，2個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗，目前的研究成果少見。本文給出對于方差不等且小樣本的情形下，2個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗的方法。

2 方差成比例時2個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗有關(guān)定理

3 方差成比例時2個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗步驟

此時的拒絕域為

綜上所述，在小樣本的情形下，對于2個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗可按圖1所示流程進行。

圖1 小樣本情形下2個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗流程Fig.1 Flowchart of hypothesis test of the means of two normal populations in the case of small samples

4 應(yīng)用案例

根據(jù)調(diào)查得知男女各250名的月收入[6]（見附表1）。首先，對數(shù)據(jù)進行正態(tài)性檢驗[7]（相應(yīng)函數(shù)的MATLAB程序見附錄1），在MATLAB中輸入如下程序：

檢驗結(jié)果如下：

正態(tài)性檢驗的結(jié)果表明，男性和女性2組樣本均服從正態(tài)分布。

此時，樣本容量為250，屬于大樣本的情形，可直接利用函數(shù)fun_2[8-9]進行假設(shè)檢驗

在MATLAB中輸入如下命令：

運行結(jié)果如下：

現(xiàn)在考慮更符合實際的一種情況，由于抽樣受限，只得到了其中男女各40組數(shù)據(jù)。

男性：16 500，7 800，1 200，16 900，4 900，7 700，48 100，44 300，14 500，22 900，14 200，11 900，55 300，29 400，30 500，32 600，51 000，1 400，31 400，44 400，19 800，8 400，23 700，18 500，17 600，39 400，37 500，16 200，4 400，40 900，2 500，37 200，17 500，26 900，25 400，15 300，22 600，44 500，34 200，7 700。

女性：27 400，16 300，11 100，8 200，15 400，11 200，13 100，32 000，29 200，9 400，800，21 500，18 400，1 300，9 000，13 600，23 000，12 400，11 600，27 600，20 500，200，13 000，14 400，21 800，40 900，7 100，8 200，26 900，12 300，8 100，8 400，3 900，9 500，23 800，38 800，16 000，18 400，12 900，2 400。

此時，屬于小樣本情形，可按圖1給定的流程進行假設(shè)檢驗。

同樣地，首先對數(shù)據(jù)進行正態(tài)性檢驗，在MATLAB中輸入以下程序：

檢驗結(jié)果如下：

正態(tài)性檢驗的結(jié)果表明，男性和女性2組樣本均服從正態(tài)分布。

現(xiàn)為確定男性與女性的工資是否存在顯著差異，從男女中各隨機抽出20組數(shù)據(jù)。

男性：22 600，55 300，7 800，44 300，4 900，16 900，16 500，39 400，1 400，15 300，48 100，16 200，7 700，32 600，1 200，14 200，44 400，11 900，37 200，17 500。

女性：16 000，18 400，16 300，32 000，15 400，8 200，27 400，40 900，12 400，38 800，1 3100，8 200，2 400，13 600，11 100，800，27 600，21 500，8 400，3 900。

利用函數(shù)fun_3，在MATLAB中輸入如下命令：

運行結(jié)果如下：

然后，進行假設(shè)檢驗

此時，用抽中的樣本確定常數(shù)，得c=2.139 1。

利用函數(shù)fun_4，在MATLAB中輸入如下命令：

運行結(jié)果如下：

最后進行假設(shè)檢驗

利用函數(shù)fun_5，在MATLAB中輸入如下命令：

運行結(jié)果如下：

綜合以上結(jié)果可知，男女工資均值不相等，方差成比例，因此男女工資存在顯著性差異。這與用大樣本的方法直接進行假設(shè)檢驗所得的結(jié)果一致。

5 結(jié)語

從以上實際應(yīng)用可以看出，本文在方差成比例時2個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗方法是可行的，而且此方法所需的數(shù)據(jù)量較少，在實際應(yīng)用中具有一定的優(yōu)勢。此外，本文編程得到的5個MATLAB函數(shù)fun_1，fun_2，fun_3，fun_4，fun_5，能為解決一些假設(shè)檢驗問題提供便捷的方法。

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[6]薛 薇. 統(tǒng)計分析與SPSS[M]. 2版. 北京：中國人民大學(xué)出版社，2007：136-145. Xue Wei. Statistical Analysis and SPSS[M]. 2nd ed. Beijing：China Renmin University Press，2007：136-145.

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[9]劉二根，王廣超. MATLAB與數(shù)學(xué)實驗[M]. 北京：國防工業(yè)出版社，2014：116-141. Liu Ergen，Wang Guangchao. MATLAB and Mathematical Experiment[M]. Beijing：National Defend Industry Press，2014：116-141.

（責(zé)任編輯：鄧光輝）

附表1 男女各250名月收入表Appendix 1 Monthly income table of 250 men and 250 women

續(xù)表

續(xù)表

附錄1 fun_1～ fun_5的MATLAB程序

Hypothesis Test of the Means of Two Normal Populations with Proportional Variances

Mao Shuangshuang，Jiao Xiaohong，Deng Jinye
（School of Mathematics and Statistics，Central South University，Changsha 410006，China）

For two normal populations with unknown but equal variances or unknown variances but with large sample size, hypothesis test of the means has given a solution. But there is short of research for unequal variances with small sample size. To address the problem, the processing method of theoretical proof is put forward, and the realizing process and MATLAB program for realization are designed. Finally an actual case is used to illustrate the feasibility of the method. Compared with the situation of large sample, this method needs less samples.

probability and statistics；hypothesis test；proportional variances；MATLAB

O212.1

A

1673-9833(2015)03-0101-08

10.3969/j.issn.1673-9833.2015.03.019

2015-04-07

冒霜霜（1990-），女，湖南邵陽人，中南大學(xué)碩士生，主要研究方向為概率論與數(shù)理統(tǒng)計，E-mail：canjingdao@163.com