一類具有時滯和放養(yǎng)的擴散系統(tǒng)的周期解

王暉

（內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028000）

一類具有時滯和放養(yǎng)的擴散系統(tǒng)的周期解

王暉

（內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028000）

研究一類具有Beddington功能反應(yīng)和放養(yǎng)的Lotka-Volterra 擴散系統(tǒng)。證明了系統(tǒng)正周期解的存在性，并通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函，給出了正周期解全局穩(wěn)定的充分條件。

時滯；擴散；放養(yǎng)；正周期解；全局穩(wěn)定性

1 研究背景

國內(nèi)外很多學(xué)者對具有功能反應(yīng)的捕食周期系統(tǒng)進(jìn)行了大量研究[1-8]。如：文獻(xiàn)[6]研究了時標(biāo)上具有階段結(jié)構(gòu)的三種群捕食系統(tǒng)。運用時標(biāo)上連續(xù)拓?fù)涠榷ɡ?，得到了系統(tǒng)存在周期解的充分條件，其研究方法使系統(tǒng)的連續(xù)時間情形和離散時間情形的周期解問題得到了統(tǒng)一。文獻(xiàn)[7]研究了一類具有保護區(qū)和避難所效應(yīng)的捕食系統(tǒng)周期解存在性。利用重合度理論，得到系統(tǒng)至少存在8個正周期解的充分條件,并舉例子說明了結(jié)果的有效性。由于環(huán)境的變化、人為的干預(yù)或外來物的影響，都不同程度地影響著生物的持續(xù)生存和滅絕，于是越來越多的現(xiàn)實因素被考慮到模型中來。不論是野生的還是人工飼養(yǎng)的種群，人們常采取擴散和放養(yǎng)（食餌補充）來加以保護或控制。特別是當(dāng)捕食者種類多、密度大或捕食能力強時，常通過補充食餌使種群的數(shù)量趨于穩(wěn)定，以達(dá)到生態(tài)平衡。

文獻(xiàn)[8]研究了具有擴散和放養(yǎng)的兩種群競爭系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)周期解的存在性，唯一性和全局漸近穩(wěn)定性的充分條件，但文獻(xiàn)[8]研究的種群比較少，且沒有給出捕食者種群的捕食率，而生態(tài)系統(tǒng)中多見的是多種群相繼捕食的生物鏈。因此，本文在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上考慮了捕食率為Beddington型功能反應(yīng)的三種群相繼捕食的擴散模型，即如下模型：

式中：xi(t)(i=1, 2, 3, 4)分別為被捕食種群和捕食者種群的密度，x1(t), x2(t)分別為被捕食種群在斑塊Ⅰ和Ⅱ中的密度，而捕食者種群被限制在斑塊中不能擴散；

x3(t)以x1(t)為食，x4(t)以x3(t)為食，如此相繼捕食，形成了一個生物食物鏈；

Di(t)(i=1, 2)，Si(t)(i=1, 2)分別為被捕食種群在斑塊Ⅰ或Ⅱ中的擴散率和投放率，

ri(t), ai(t), ci(t),i(t) (i=1, 2, 3, 4)均為模型的系數(shù)；

ki(s)（i=1, 2, 3, 4）, v(t), h(t)均表示函數(shù)。

2 基本概念和假設(shè)

3 解的正性

4 周期解的持久性

由定義1和引理2可得如下定理：

定理1 如果模型（1）滿足條件H1～H7，則模型（1）是一致持久的。

5 周期解的唯一性和全局穩(wěn)定性

定理2 假設(shè)在H1～H7下，還有：

因此，模型（1）的周期解是唯一的且是全局穩(wěn)定的。

[1]Xu R，Chaplain M A J，Davidson F A. Periodic Solution of a Lotka-Volterra Predator-Prey Model with Dispersion and Time Delays[J]. Appl. Math. Comput.，2004，148 (2)：537-560.

[2]Song Xinyu，Chen Lansun. Persistence and Global Stability for Nonautonomous Predator Prey System with Diffusion and Time Delay[J]. Computers Math. Applic.，1998，35 (6)：33-40.

[3]Chen Fengde，Shi Jinlin，Chen Xiaoxing.A Nonautonomous Diffusion Predator-Prey System with Functional Response and Time Delay[J]. Pure and Applide Mathematics，2003，19(4)：311-317.

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[5]Dong Ranran，Zhang Daoxiang，Yin Hongyun. Periodic Solutions for a Ratio-Dependent Three-Species Predator-Prey Diffusion System with the Beddington-DeAngelis Functional Response[J]. Journal of Biomathematics，2012，27(2)：213-223.

[6]徐昌進(jìn). 時標(biāo)上具有階段結(jié)構(gòu)的三種群捕食系統(tǒng)的周期解[J]. 經(jīng)濟數(shù)學(xué)學(xué)報，2013，30(1)：5-11. Xu Changjin. Periodic Solutions for a Three Species Predator-Prey System with Stage-Structure on Time Scales[J]. Journal of Quantitative Economics，2013，30(1)：5-11.

[7]賈素娟，魏鳳英. 具有保護區(qū)和避難所效應(yīng)的捕食系統(tǒng)周期解的存在性[J]. 福州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，40(4)：423-428. Jia Sujuan，Wei Fengying. Existence of Solutions to Predator-Prey Systems with Protected Areas and Refuges [J]. Journal of Fuzhou University：Natural Science Edition，2012，40(4)：423-428.

[8]陳福來，文賢章. 具有擴散和放養(yǎng)的時滯競爭系統(tǒng)的正周期解[J]. 生物數(shù)學(xué)學(xué)報，2006，21(1)：57-67. Chen Fulai，Wen Xianzhang. Positive Periodic Solution for Delay Competition System with Diffusion and Stock[J]. Journal of Biomathematics，2006，21(1)：57-67.

[9]Barbalat I. Systems D’equations Differentielle D’oscillations Nonlinraires[J]. Rev. Roumaine Math. Pures Appl.，1959，4：267-270.

（責(zé)任編輯：鄧光輝）

The Periodic Solutions of Diffusion System with Stock and Time Delay

Wang Hui
（Mathematics College，Inner Mongolia University for the Nationalities，Tongliao Inner Mongolia 028000，China）

Researches a Lotka-Volterra diffusion system with Beddington function response and stock. Proves the existence of positive periodic solution for the system, and by constructing appropriate Lyapunov function, provides sufficient conditions for the global stability of positive periodic solution.

time delay；diffusion；stock；positive periodic solution；global stability

O175.13

A

1673-9833(2015)03-0094-07

10.3969/j.issn.1673-9833.2015.03.018

2015-04-04

內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)校教學(xué)改革研究基金資助項目（2013NMJG032），內(nèi)蒙古民族大學(xué)教育教學(xué)研究基金資助項目（MDYB201406）

王 暉（1982-），女，四川德陽人，內(nèi)蒙古民族大學(xué)講師，碩士，主要研究方向為生物數(shù)學(xué)，E-mail：whll_clam@163.com