二次曲線中的定值(點)問題再探討

●吳鋒刃(杭州外國語學校浙江杭州310023)

二次曲線中的定值(點)問題再探討

●吳鋒刃(杭州外國語學校浙江杭州310023)

眾所周知，在圓錐曲線中蘊含著許多幾何性質，它們和諧統(tǒng)一，簡潔明了，美輪美奐，是激發(fā)學生學習興趣、感受數(shù)學美的好素材.在教材和練習中經(jīng)常出現(xiàn)類似的問題:過二次曲線上一定點P0(x0，y0)的2條直線與曲線交于點P1，P2，直線P0P1和直線P0P2的斜率分別為k1和k2，當k1，k2滿足k1k2=-1或k1+k2=0時，探討直線P1P2是否過定點、斜率是否為定值.文獻［1］指出:過二次曲線上一定點P0(x0，y0)的2條直線與曲線交于點P1，P2，直線P0P1和直線P0P2的斜率分別為k1和k2，當k1，k2滿足k1k2=t(其中t≠0)時，直線P1P2過定點或直線P1P2的斜率為定值(并加以論證).

在這里有幾個問題值得再思考:1)一般論證都比較繁瑣，論證過程能否有更為統(tǒng)一并簡化的形式?2)如果二次曲線出現(xiàn)xy項呢?還有類似結論嗎?3)這個定值(點)的幾何意義是什么?

演示1如圖1，若過雙曲線x2-y2=1上的點，作2條互相垂直的直線P0P1，P0P2，移動點P1并測算P1P2的斜率，發(fā)現(xiàn)直線P1P2的斜率為定值，這讓我們直觀感受到“對圓錐曲線上的定點張直角的弦恒過一定點”是一個錯誤結論.

圖1

圖2

演示2如圖2，若過雙曲線xy=1上的點P0(1，1)作2條斜率互為相反數(shù)的直線P0P1，P0P2，移動點P1并測算P1P2的斜率，發(fā)現(xiàn)P1P2的斜率不是定值，但P1P2過定點(0，0)，這說明“對過圓錐曲線上的定點斜率互為相反數(shù)的2條直線交圓錐曲線獲得弦斜率是定值”也是一個錯誤結論.

下面筆者用統(tǒng)一的方法對此加以論證，由于探索的問題都是涉及斜率的和與積，嘗試能否構造關于斜率的一元二次方程，利用韋達定理的形式加以解決呢?為了方便表達和研究，不妨先將坐標原點平移至點P0(對于定點問題，只需求出定點再反過來平移回來即可，而對于斜率來說不受平移變換的影響).一般地，可設曲線方程為Ax2+Bxy+Cy2+ Dx+Ey=0(經(jīng)過原點P0)，設直線P1P2的方程為lx+my+n=0，顯然直線P1P2不過點P0，故n≠0，

式(1)是過原點的2條直線，且點P1，P2坐標滿足式(1)，故其可表示直線P0P1和直線P0P2.

設這2條直線的斜率分別為k1和k2，則k1，k2是方程

的2個根.

1)當P0P1⊥P0P2時，

此式對于任意的l，m均成立，故恒過定點

2)當k1+k2=0時，即

此式對于任意的l，m均成立，故恒過定點

這里，直線P1P2的斜率有它自身的幾何意義.將曲線方程求導可獲得曲線在點P0處切線的斜率，即將x=0，y=0代入2Ax+By+Bxy'+2Cyy'+ D+Ey'=0，即得(曲線在點P0處的切線的斜率).因此，對比后可發(fā)現(xiàn):直線P1P2的斜率(定值)是點P0處切線斜率的相反數(shù)，或與點P0處切線斜率的乘積為-1(即直線P1P2與過點P0的切線互相垂直).

本文演示1即為情形1)中A+C=0的情況，演示2即為情形2)中B≠0的情況.更一般地，當k1k2=t(常數(shù))時，

此式對于任意的l，m均成立，故恒過定點

類似地，對于k1+k2=t(常數(shù))，利用此方法可以獲得過定點和定值的結論，這里不再贅述.

［1］施開明.對一類定點(值)問題結論的修正和補充［J］.數(shù)學通報，2013(8):54-55.

［2］謝黎靜.圓錐曲線中關于定點問題的再研究［J］.數(shù)學教學通訊2012(18):63-64.